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第四章
图形的性质
第26节
多边形与平行四边形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.多边形的有关知识
1.多边形的相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为
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2.多边形的内角和、外角和
(
1
)
内角和：n边形内角和公式为
（2）外角和：任意多边形的外角和为
°.
3.正多边形
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
（2）正n边形的每个内角为
，每一个外角为
。
(3)
正n边形有n条对称轴.
（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.
■考点2.平行四边形的性质
1.平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示.
2.平行四边形的性质
（1）边：两组对边分别
且
.
即AB∥CD
且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.
（2）角：对角
，邻角互补.
即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.
（3）对角线：互相
.即OA＝OC，OB＝OD
（4）对称性：中心对称但不是轴对称.
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3.平行四边形中的几个解题模型
（1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为
三角形，即AB=
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（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的
.2·1·c·n·j·y
（3）
如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
（4）
根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD.
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注意：利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：
（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的
.
（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.
（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.
■考点3.平行四边形的判定
（1）方法一（定义法）：两组对边分别
的四边形是平行四边形.
即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形.
（2）方法二：两组对边分别
的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形.
（3）方法三：有一组对边
且
的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是平行四边形.
（4）方法四：对角线互相
的四边形是平行四边形.
即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形.
（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是平行四边形.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.多边形的有关知识
◇典例：
（2020年北京市）五边形的外角和等于（）
A．180°
B．360°
C．540°
D．720°
【考点】多边形内角与外角
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．
解：五边形的外角和是360°．
故选B．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．
（2020年广东省）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【考点】多边形的内角和
【分析】根据内角和公式即可求解．
解：设这个多边形的边数为n,
∴（n-2）×180°=540°
解得n=5
故选B．
【点评】此题主要考查多边形的内角和，解题的关键是熟知内角和公式．
◆变式训练
（2020年山东省济宁市）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
（2020年山东省德州市数学中考试卷）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（
）
A．80米
B．96米
C．64米
D．48米
■考点2.平行四边形的性质
◇典例
（2020年辽宁省铁岭、葫芦岛市）一个零件的形状如图所示，，则的度数是（
）
A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
【考点】平行四边形的性质，三角形的内角和定理
【分析】延长DE与BC交于点F，则四边形ABFD是平行四边形，则∠A=∠F，利用三角形内角和定理，即可求出答案．
解：延长DE与BC交于点F，如图：
∵，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴∠A=∠F，
在△BDF中，，
∴，
∴∠A=80°；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线，求出∠F的度数．
◆变式训练
（2020年陕西省）如图，在?ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是?ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）
A．
B．
C．3
D．2
■考点3.平行四边形的判定
◇典例：
（2020年湖南省衡阳市）如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（
）
A．AB∥DC,AB=DC
B．AB=DC,AD=BC
C．AB∥DC,AD=BC
D．OA=OC,OB=OD
【考点】平行四边形的判定
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项分析即可.
解：A.
∵
AB∥DC,AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形；
B.
∵
AB=DC,AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；
C.等腰梯形ABCD满足
AB∥DC,AD=BC，但四边形ABCD是平行四边形；
D.
OA=OC,OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形；
故选C.
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
（2020年江苏省淮安市）如图，在平行四边形中，点、分别在、上，与相交于点，且．
（1）求证：≌；
（2）连接、，则四边形
（填“是”或“不是”）平行四边形．
【考点】平行四边形的判定和性质
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行可得到内错角相等，再根据已知条件可利用ASA得到全等；
（2）由（1）可得到AF=EC，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形即可得到答案；
解：（1）∵四边形平行四边形，
∴AD∥BC，
∴，
根据题可知，，
在△AOF和△COE中，
，
∴≌．
（2）如图所示，
由（1）得≌，可得：
，
又∵，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题中主要考查了平行四边形的判定和性质，准确运用全等三角形的条件进行判断是解题的关键．
◆变式训练
（2020年黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件____，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）．
（2020年广西北部湾经济区）如图，点在一条直线上，．
（1）求证：；
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
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（2020年江苏省无锡市）正十边形的每一个外角的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年山东省泰安市）将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则等于（
）
A．80°
B．100°
C．110°
D．120°
（2020年湖北省宜昌市）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行．成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（
）．
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走
B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走
D．每段直路要长
（2020年湖南省邵阳市）如图，四边形是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得，下列不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年湖南省益阳市）如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年吉林省长春市）正五边形的一个外角的大小为__________度．
（2020年陕西省）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是_____．
（2020年广东省广州市）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______．
（2020年陕西省）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．
（2020年宁夏）如图，在ABCD中，点
E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．
求证：FA=AB．
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1、
选择题
（2020年江苏省扬州市）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转后又沿直线前进10米到达点C，再向左转后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（
）
A．100米
B．80米
C．60米
D．40米
（2020年湖北省黄冈市）如果一个多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（　　）
A．7
B．8
C．9
D．10
（2020年四川省眉山市）一副三角板如图所示摆放，则与的数量关系为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省德阳市）多边形的内角和不可能为（　　）
A．180°
B．540°
C．1080°
D．1200°
（2020年湖南省怀化市）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
（2020年湖南省娄底市）正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
（2020年广西玉林市）点D，E分别是三角形ABC的边AB，AC的中点，如图，
求证：且
证明：延长DE到F，使EF=DE，连接FC，DC，AF，
又AE=EC，则四边形ADCF是平行四边形，
接着以下是排序错误的证明过程；
①；
②；
③四边形DBCF是平行四边形；
④且
则正确的证明排序应是：（
）
A．②③①④
B．②①③④
C．①③④②
D．①③②④
（2020年广西河池市）如图，在?ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（　　）
A．5
B．6
C．4
D．5
（2020年山东省泰安市）如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年山东省临沂市）如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（
）
A．
B．
C．
D．的大小与P点位置有关
（2020年四川省自贡市）如图，在平行四边形中，，是锐角，于点，是的中点，连接；若，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年浙江省温州市）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为（
）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
1、
填空题
（2020年河北省）正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，则_________．
（2020年辽宁省沈阳市）如图，在平行四边形中，点为边上一点，，点，点分别是中点，若，则的长为__________．
（2020年天津市）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______．
（2020年黑龙江省牡丹江市）如图，在四边形中，连接，．请你添加一个条件______________，使．（填一种情况即可）
（2020年四川省德阳市）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝_____．
（2020年湖南省株洲市）如图所示，点D、E分别是的边AB、AC的中点，连接BE，过点C做，交DE的延长线于点F，若，则DE的长为________．
1、
解答题
（2020年山东省枣庄市）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat
surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
棱数E
6
12
面数F
4
5
8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________．
（2020年广西柳州市）如图，已知?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD＝12，BD＝10，AC＝26．
（1）求△ADO的周长；
（2）求证：△ADO是直角三角形．
（2020年重庆市中考数学试题B卷）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．
（1）若∠BCF=60°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BE=DF．
（2020年山东省济南市）如图，在?ABCD
中，对角线
AC，BD
相交于点
O，过点
O
的一条直线分别交
AD，BC
于点
E，F．求证：AE=CF．
（2020年湖北省孝感市）如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，满足．连接，分别与，交于点，．求证：．
（2020年湖北省黄冈市）已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：．
（2020年浙江省绍兴市）如图，点E是?ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）若AD的长为2．求CF的长．
（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．
（2020年山东省泰安市）若和均为等腰三角形，且．
（1）如图（1），点B是的中点，判定四边形的形状，并说明理由；
（2）如图（2），若点G是的中点，连接并延长至点F，使．求证：①，②．
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14第四章
图形的性质
第26节
多边形与平行四边形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.多边形的有关知识
1.多边形的相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．
2.多边形的内角和、外角和
(1)
内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.
3.正多边形
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为360°/n.
(3)
正n边形有n条对称轴.
（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.
■考点2.平行四边形的性质
1.平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示.
2.平行四边形的性质
（1）边：两组对边分别平行且相等.
即AB∥CD
且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.
（2）角：对角相等，邻角互补.
即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.
（3）对角线：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD
（4）对称性：中心对称但不是轴对称.
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3.平行四边形中的几个解题模型
（1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三角形，即AB=BF.21教育名师原创作品
（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.【出处：21教育名师】
（3）
如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
（4）
根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
注意：利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：
（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.
（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.
（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.
■考点3.平行四边形的判定
（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是□.
（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是□.
（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是□.
（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是□.
（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是□.
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■考点1.多边形的有关知识
◇典例：
（2020年北京市）五边形的外角和等于（）
A．180°
B．360°
C．540°
D．720°
【考点】多边形内角与外角
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．
解：五边形的外角和是360°．
故选B．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．
（2020年广东省）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【考点】多边形的内角和
【分析】根据内角和公式即可求解．
解：设这个多边形的边数为n,
∴（n-2）×180°=540°
解得n=5
故选B．
【点评】此题主要考查多边形的内角和，解题的关键是熟知内角和公式．
◆变式训练
（2020年山东省济宁市）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【考点】多边形内角和定理．
【分析】根据多边形内角和定理解答
解：设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）=1080，
解此方程即可求得答案：n=8．
故选C．
（2020年山东省德州市数学中考试卷）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（
）
A．80米
B．96米
C．64米
D．48米
【考点】多边形的外角和定理
【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．
解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．
■考点2.平行四边形的性质
◇典例
（2020年辽宁省铁岭、葫芦岛市）一个零件的形状如图所示，，则的度数是（
）
A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
【考点】平行四边形的性质，三角形的内角和定理
【分析】延长DE与BC交于点F，则四边形ABFD是平行四边形，则∠A=∠F，利用三角形内角和定理，即可求出答案．
解：延长DE与BC交于点F，如图：
∵，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴∠A=∠F，
在△BDF中，，
∴，
∴∠A=80°；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线，求出∠F的度数．
◆变式训练
（2020年陕西省）如图，在?ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是?ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）
A．
B．
C．3
D．2
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的性质
【分析】连接AC，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据三角形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长．
解：连接AC，交EF于点H，如图，
∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，
∴Rt△BCF中，EF＝BC＝4，
∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，
∴H是AC的中点，F是AG的中点，
∴EH是△ABC的中位线，FH是△ACG的中位线，
∴，，
而FH=EF-FH=4-，
∴CG=3FH=3，
又∵CD＝AB＝5，
∴DG＝5﹣3＝2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
■考点3.平行四边形的判定
◇典例：
（2020年湖南省衡阳市）如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（
）
A．AB∥DC,AB=DC
B．AB=DC,AD=BC
C．AB∥DC,AD=BC
D．OA=OC,OB=OD
【考点】平行四边形的判定
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项分析即可.
解：A.
∵
AB∥DC,AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形；
B.
∵
AB=DC,AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；
C.等腰梯形ABCD满足
AB∥DC,AD=BC，但四边形ABCD是平行四边形；
D.
OA=OC,OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形；
故选C.
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
（2020年江苏省淮安市）如图，在平行四边形中，点、分别在、上，与相交于点，且．
（1）求证：≌；
（2）连接、，则四边形
（填“是”或“不是”）平行四边形．
【考点】平行四边形的判定和性质
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行可得到内错角相等，再根据已知条件可利用ASA得到全等；
（2）由（1）可得到AF=EC，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形即可得到答案；
解：（1）∵四边形平行四边形，
∴AD∥BC，
∴，
根据题可知，，
在△AOF和△COE中，
，
∴≌．
（2）如图所示，
由（1）得≌，可得：
，
又∵，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题中主要考查了平行四边形的判定和性质，准确运用全等三角形的条件进行判断是解题的关键．
◆变式训练
（2020年黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件____，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）．
【考点】平行四边形的判定
【分析】根据平行四边形的判定方法添加一个条件即可．
解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加条件AD=BC，
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加条件AB∥DC，
本题只需添加一个即可，
故答案为：AD=BC（答案不唯一）．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
（2020年广西北部湾经济区）如图，点在一条直线上，．
（1）求证：；
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定
【分析】（1）先证明，再利用SSS证明；
（2）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形即可．
证明：
即
证明：
四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
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（2020年江苏省无锡市）正十边形的每一个外角的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】多边形的内角与外角
【分析】利用多边形的外角性质计算即可求出值．
解：360°÷10＝36°，
故选：A．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角性质是解本题的关键．
（2020年山东省泰安市）将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则等于（
）
A．80°
B．100°
C．110°
D．120°
【考点】平行线的性质，多边形的内角和定理
【分析】如图，先根据平行线性质求出∠3，再求出∠4，根据四边形内角和为360°即可求解．
解：如图，由题意得DE∥GF，
∴∠1=∠3=50°，
∴∠4=180°-∠3=130°，
∴在四边形ACMN中，∠2=360°-∠A-∠C-∠4=110°．
故选：C
【点评】本题考查了平行线的性质，四边形的内角和定理，熟知相关定理是解题关键．
（2020年湖北省宜昌市）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行．成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（
）．
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走
B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走
D．每段直路要长
【考点】多边形内角与外角
【分析】根据题意可知封闭的图形是正五边形，求出正五边形内角的度数即可解决问题．
解：根据题意可知，从起点走五段相等直路之后回到起点的封闭图形是正五边形，
∵正五边形的每个内角的度数为：
∴它的邻补角的度数为：180°-108°=72°，
因此，每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走，
故选：A．
【点评】此题主要考查了求正多边形内角的度数，掌握并能运用多边形内角和公式是解题的关键．
（2020年湖南省邵阳市）如图，四边形是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得，下列不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
A.若添加，则无法证明，故A错误；
B.若添加，运用AAS可以证明，故选项B正确；
C.若添加，运用ASA可以证明，故选项C正确；
D.若添加，运用SAS可以证明，故选项D正确．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
（2020年湖南省益阳市）如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】平行四边形的性质，三角形三边的关系
【分析】先根据平行四边形的对角线互相平分得到OA、OB的长度，再根据三角形三边关系得到AB的取值范围，即可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=AC=3，BO=BD=4，
在△AOB中，
4-3∴1结合选项可得，AB的长度可能是6，
故答案为：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
（2020年吉林省长春市）正五边形的一个外角的大小为__________度．
【考点】多边形的内角与外角
【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解．
解：正五边形的一个外角的度数为：，
故答案为：72．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和为360°是解题的关键．
（2020年陕西省）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是_____．
【考点】多边形内角与外角
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝＝108°，BC＝DC，
∴∠BDC＝＝36°，
∴∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144°．
【点评】本题考查了正五边形的性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质和邻补角的定义，求出正五边形的内角是解题关键．
（2020年广东省广州市）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______．
【考点】平移的性质，平行四边形的判定与性质
【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案.
解：过点A作AH⊥x轴于点H，
∵A（1,3），
∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD，
∵，
∴BD=3，
∴AC=3，
∴C(4，3)
故答案为：(4，3).
【点评】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系.
（2020年陕西省）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．
【考点】平行四边形的判定和性质
【分析】利用已知先证明AB∥DE，进而根据平行四边形的定义：两组对边平行的四边形是平行四边形，即可得出结论．
证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C．
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD＝BE．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用．
（2020年宁夏）如图，在ABCD中，点
E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．
求证：FA=AB．
【考点】全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质
【分析】根据平行四边形的性质，可得AB∥CD，AB=CD，所以∠F=∠FCD，又由AE=DE，∠AEF=∠DEC，证得△AFE≌△DCE，问题得证；
证明：四边形是平行四边形，
．
．
又，
．
．
．
【点评】查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等．还考查了全等三角形的判定与性质；
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1、
选择题
（2020年江苏省扬州市）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转后又沿直线前进10米到达点C，再向左转后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（
）
A．100米
B．80米
C．60米
D．40米
【考点】多边形内角与外角
【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．
解：∵小明每次都是沿直线前进10米后再向左转，
∴他走过的图形是正多边形，边数n=360°÷45°=8，
∴小明第一次回到出发点A时所走的路程=8×10=80米．
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形外角问题的实际应用，根据题意判断小明走过的图形是正多边形是解题的关键．
（2020年湖北省黄冈市）如果一个多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（　　）
A．7
B．8
C．9
D．10
【考点】多边形内角与外角
【分析】根据多边形的外角的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数．
解
：∵一个多边形的每个外角都是36°，∴n=360°÷36°=10．
故选D．
【点评】本题考查了多边形外角与边数的关系，利用外角求正多边形的边数的方法，熟练掌握多边形外角和公式是解决问题的关键．
（2020年四川省眉山市）一副三角板如图所示摆放，则与的数量关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】多边形内角与外角
【分析】先根据对顶角相等得出，，再根据四边形的内角和即可得出结论
解：
∵；
∴；
∵，；
∴
故选：B
【点评】考查了四边形的内角和定理，和对顶角的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键
（2020年四川省德阳市）多边形的内角和不可能为（　　）
A．180°
B．540°
C．1080°
D．1200°
【考点】多边形的内角和
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°（n≥3且n是整数），则多边形的内角和是180度的倍数，由此即可求出答案．
解：多边形的内角和可以表示成（n-2）?180°（n≥3且n是整数），n应为整数，所以n-2也是整数，所以多边形的内角能被180整除，因为在这四个选项中不是180°的倍数的只有1200°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理，牢记定理是解答本题的关键，难度不大．
（2020年湖南省怀化市）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【考点】多边形内角和定理．
【分析】设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）=1080，
解此方程即可求得答案：n=8．
故选C．
【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．
（2020年湖南省娄底市）正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【考点】多边形的外角和
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
解：正多边形的一个外角等于60°，且外角和为360°，
则这个正多边形的边数是：360°÷60°=6，
故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．
（2020年广西玉林市）点D，E分别是三角形ABC的边AB，AC的中点，如图，
求证：且
证明：延长DE到F，使EF=DE，连接FC，DC，AF，
又AE=EC，则四边形ADCF是平行四边形，
接着以下是排序错误的证明过程；
①；
②；
③四边形DBCF是平行四边形；
④且
则正确的证明排序应是：（
）
A．②③①④
B．②①③④
C．①③④②
D．①③②④
【考点】平行四边形的判定与性质
【分析】根据已经证明出四边形ADCF是平行四边形，则利用平行四边形的性质可得，可得，证出四边形DBCF是平行四边形，得出，且,即可得出结论且，对照题中步骤，即可得出答案.
解：四边形ADCF是平行四边形，
，
，
四边形DBCF是平行四边形,
，且;
,
;
且;
对照题中四个步骤，可得②③①④正确；
故答案选：A.
【点评】本题考查平行四边形性质与判定综合应用；当题中出现中点的时候，可以利用中线倍长的辅助线做法，证明平行四边形后要记得用平行四边形的性质继续解题.
（2020年广西河池市）如图，在?ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（　　）
A．5
B．6
C．4
D．5
【考点】平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD＝BC＝EB＝5，根据勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°，再根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝8，∠EDC＝90°，根据勾股定理可求CE的长．
解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝5，
∵EA＝3，ED＝4，
在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，
在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．
（2020年山东省泰安市）如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】含30度角的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质，梯形
【分析】过点F作，AG=2，，可得BG=FM=2，令AF=x，根据，根据正切值可得EM的长，加起来等于BC即可得到结果．
解：如图所示，过点F作交BC于点M，
∵，，AG=2，
∴BG=FM=2，AF=GM，
令AF=x，
∵两个梯形全等，
∴AF=GM=EC=x，
又∵，
∴，
∴，
又∵BC=6，
∴，
∴．
故答案选D．
【点评】本题主要考查了利用特殊角的三角函数值及三角函数的意义进行求解，准确根据全等图形的性质判断边角是解题的关键．
（2020年山东省临沂市）如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（
）
A．
B．
C．
D．的大小与P点位置有关
【考点】三角形的面积，平行四边形的性质
【分析】过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，表示出S1+
S2，得到即可．
解：如图，过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，
根据平行四边形的性质可知PE⊥BC，AD=BC，
∴S1=AD×PF，S2=BC×PE，
∴S1+
S2
=AD×PF+BC×PE
=AD×（PE+PE）
=AD×EF
=S，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的面积和平行四边形的性质，解题的关键是作出平行四边形过点P的高．
（2020年四川省自贡市）如图，在平行四边形中，，是锐角，于点，是的中点，连接；若，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理
【分析】延长EF，DA交于G，连接DE，先证明△AFG≌△BFE，进而得到BE=AG，F是GE的中点，结合条件BF⊥GE进而得到BF是线段GE的垂直平分线，得到GD=DE，最后在Rt△AED中使用勾股定理即可求解.
解：延长EF，DA交于G，连接DE，如下图所示：
∵F是AB的中点，∴AF=BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥BC，∴∠GAB=∠EBF
且∠GFA=∠EFB，∴△AFG≌△BFE(ASA)，
设，
由GF=EF，且∠DFE=90°知，
DF是线段GE的垂直平分线，
∴，
在Rt△GAE中，．
在Rt△AED中，，
∴，解得，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识点，能正确作出辅助线是解题的关键.
（2020年浙江省温州市）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为（
）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
【考点】等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠C的度数，再根据平行四边形的性质解答即可．
解：∵∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠ABC=∠C=70°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠E=∠C=70°．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质和三角形的内角和定理等知识，属于基础题型，熟练掌握等腰三角形和平行四边形的性质是解题关键．
1、
填空题
（2020年河北省）正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，则_________．
【考点】多边形的外角与内角
【分析】先根据外角和定理求出正六边形的外角为60°，进而得到其内角为120°，再求出正n边形的外角为30°，再根据外角和定理即可求解．
解：由多边形的外角和定理可知，正六边形的外角为：360°÷6=60°，
故正六边形的内角为180°-60°=120°，
又正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，
∴正n边形的外角为30°，
∴正n边形的边数为：360°÷30°=12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了正多边形的外角与内角的知识，熟练掌握正多边形的内角和和外角和定理是解决此类题目的关键．
（2020年辽宁省沈阳市）如图，在平行四边形中，点为边上一点，，点，点分别是中点，若，则的长为__________．
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的性质
【分析】先根据三角形中位线定理可得BC的长，再根据平行四边形的性质可得AD的长，然后根据即可得．
解：点，点分别是中点
是的中位线
四边形ABCD是平行四边形
又
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点，熟记三角形中位线定理是解题关键．
（2020年天津市）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______．
【考点】等边三角形的性质,三角形中位线定理,平行四边形的性质
【分析】延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案．
解：如下图所示，延长DC交EF于点M，，，
平行四边形的顶点C在等边的边上，
，
是等边三角形，
．
在平行四边形中，，，
又是等边三角形，
，
．
G为的中点，，
是的中点，且是的中位线，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出是的中位线是解题的关键．
（2020年黑龙江省牡丹江市）如图，在四边形中，连接，．请你添加一个条件______________，使．（填一种情况即可）
【考点】平行四边形的判定和性质
【分析】根据平行四边形的判定和性质添加条件证明AB=CD.
解：添加的条件：AD=BC，理由是：
∵∠ACB=∠CAD，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD.
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握定理内容是解题的关键.
（2020年四川省德阳市）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝_____．
【考点】平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理
【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解∠CBE=∠BEC，即可得CB=CE，利用等腰三角形的性质得到BF=EF，进而可得GF是△ABE的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BEC，
∴CB=CE．
∵CF⊥BE，
∴BF=EF．
∵G是AB的中点，
∴GF是△ABE的中位线，
∴GF=AE，
∵AE=4，
∴GF=2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明GF是△ABE的中位线是解题的关键．
（2020年湖南省株洲市）如图所示，点D、E分别是的边AB、AC的中点，连接BE，过点C做，交DE的延长线于点F，若，则DE的长为________．
【考点】三角形中位线定理，平行四边形判定与性质
【分析】先证明DE为的中位线，得到四边形BCFE为平行四边形，求出BC=EF=3，根据中位线定理即可求解．
解：∵D、E分别是的边AB、AC的中点，
∴DE为的中位线，
∴DE∥BC，，
∵，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴BC=EF=3，
∴．
故答案为：
【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形判定与性质，熟知三角形中位线定理是解题关键．
1、
解答题
（2020年山东省枣庄市）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat
surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
棱数E
6
12
面数F
4
5
8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________．
【考点】规律型问题，欧拉公式
【分析】（1）通过认真观察图象，即可一一判断；
（2）从特殊到一般探究规律即可．
解：（1）填表如下：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
6
棱数E
6
9
12
12
面数F
4
5
6
8
（2）据上表中的数据规律发现，多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在关系式：．
【点评】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法，属于中考常考题型．
（2020年广西柳州市）如图，已知?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD＝12，BD＝10，AC＝26．
（1）求△ADO的周长；
（2）求证：△ADO是直角三角形．
【考点】平行四边形的性质，勾股定理的逆定理
【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分确定AO和DO的长，然后求得周长即可；
（2）利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线AC与BD相互平分，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AC＝26，BD＝10，
∴OA＝13，OD＝5，
∵AD＝12，
∴△AOD的周长＝5+12+13＝30；
（2）由（1）知
OA＝13，OD＝5，AD＝12，
∵52+
122＝132
，
∴在△AOD中，AD2+DO2＝AO2
，
∴△AOD是直角三角形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形周长的计算和利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，掌握平行四边形的性质
解题的关键．
（2020年重庆市中考数学试题B卷）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．
（1）若∠BCF=60°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BE=DF．
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】（1）根据题意可得∠BCD=2∠BCF=120°，利用平行四边形的性质即可解答；
（2）根据平行四边形的性质及角平分线即可证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质即可证明．
解：（1）∵CF平分∠DCB，
∴∠BCD=2∠BCF=120°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠DCB，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF．
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE=∠BAD，∠CDF=∠DCB，
∴∠BAE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟悉平行四边形的性质以及全等三角形的判定．
（2020年山东省济南市）如图，在?ABCD
中，对角线
AC，BD
相交于点
O，过点
O
的一条直线分别交
AD，BC
于点
E，F．求证：AE=CF．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【分析】利用平行四边形的性质得出
AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO，
再利用
ASA
求出△AOE≌△COF，即可得出答案．
解：∵?ABCD
的对角线
AC，BD
交于点
O，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠EAC=∠FCO，
在△AOE
和△COF
中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
（2020年湖北省孝感市）如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，满足．连接，分别与，交于点，．求证：．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【分析】先根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质、邻补角的定义可得，，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．
解：∵四边形为平行四边形
∴，
∴，
在和中，
∴
∴．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、邻补角的定义、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质，正确找出全等三角形是解题关键．
（2020年湖北省黄冈市）已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：．
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】通过证明即可得证．
证明：∵点是的中点，
．
在中，，
．
在和中，
，
．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等内容，熟练运用平行四边形的性质及全等三角形的判定是解题的关键.
（2020年浙江省绍兴市）如图，点E是?ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）若AD的长为2．求CF的长．
（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥CF，则∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，由点E是CD的中点，得出DE＝CE，由AAS证得△ADE≌△FCE，即可得出结果；
（2）添加一个条件当∠B＝60°时，由直角三角形的性质即可得出结果（答案不唯一）．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CF，
∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AD＝2；
（2）∵∠BAF＝90°，
添加一个条件：当∠B＝60°时，∠F＝90°-60°＝30°（答案不唯一）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（2020年山东省泰安市）若和均为等腰三角形，且．
（1）如图（1），点B是的中点，判定四边形的形状，并说明理由；
（2）如图（2），若点G是的中点，连接并延长至点F，使．求证：①，②．
【考点】平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质证得，，推出，再根据平行于同一直线的两直线平行即可推出结论；
（2）①利用“SAS”证得，即可证明结论；
②延长至点H，使，证得，推出，利用①的结论即可证明．
（1）证明：四边形是平行四边形．
理由如下：
∵为等腰三角形且，
∴，
∵B是的中点，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
（2）证明：①∵和为等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴；
②延长至点H，使．
∵G是中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解答（2）②的关键．
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