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2020-2021学年七年级数学下册 平行线与相交线问题
专题练习（三）
1．如图，已知：AB∥CD，E在直线AB上，且EF⊥EG，EF交直线CD于点M．EG交直线CD于点N．
（1）若∠1＝34°，求∠2的度数；
（2）若∠2＝2∠1，直接写出图中等于4∠1的角．
2．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝∠2，证明：ON⊥CD；
（2）若∠1＝∠BOC，求∠BOD的度数．
3．如图所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，若∠E＝∠1，则∠2＝∠3吗？
下面是推理过程，请你填空或填写理由．
证明：∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°　 　，
∴AD∥EG（　 　），
∴∠1＝∠2（　 　），
∵∠E＝∠1（已知）
∴∠E＝∠2（等量代换）
∵AD∥EG，
∴　 　＝∠3（两直线平行，同位角相等）．
∴　 　＝　 　（等量代换）
4．如图，已知AB∥EF，∠BCD＝90°，求∠B+∠D﹣∠E的度数．
5．已知：如图1，AB∥CD，点E，F分别为AB，CD上一点．
（1）在AB，CD之间有一点M（点M不在线段EF上），连接ME，MF，试探究∠AEM，∠EMF，∠MFC之间有怎样的数量关系．请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．
（2）如图2，在AB，CD之间有两点M，N，连接ME，MN，NF，请选择一个图形写出∠AEM，∠EMN，∠MNF，∠NFC 存在的数量关系（不需证明）．
6．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB，∠1＝∠2．
（1）求∠NOD的度数；
（2）若∠AOD＝3∠1，求∠AOC和∠MOD的度数．
7．已知：点E、点G分别在直线AB、直线CD上，点F在两直线外，连接EF、FG
（1）如图1，AB∥CD，求证：∠AEF+∠FGC＝∠EFG；
（2）若直线AB与直线CD不平行，连接EG，且EG同时平分∠BEF和∠FGD如图2，请探索∠AEF、∠FGC、∠EFG之间的数量关系？并说明理由．
8．已知：AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．
（1）如图①，已知AB∥CD，求证：∠AEC＝∠C﹣∠A；
（2）如图②，在（1）的条件下，直接写出∠E与∠F的关系．∠E＝　 　（用含有∠F的式子表示）；
（3）如图③，BD⊥AB，垂足为B，∠BDC＝110°，∠AEC＝40°，求∠AFC的度数．
9．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，OM是∠BOF的角平分线．
（1）若∠AOC＝25°，求∠BOD和∠COE的度数；
（2）若∠AOC＝α，求∠EOM的度数（用含α的代数式表示）．
10．已知直线l1∥l2，A是l1上一点，B是l2上一点，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，在直线CD上有一点P
（1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC、∠APB、∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）
11．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：
①　 　；②　 　．
（2）如果∠AOD＝40°，
①那么根据　 　，可得∠BOC＝　 　度．
②因为OP是∠BOC的平分线，所以∠COP＝∠　 　＝　 　度．
③求∠POF的度数．
12．如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E、F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．
（1）求∠DBE的度数．
（2）若平行移动AD，那么∠BFC：∠BDC的比值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．
（3）在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC＝∠ADB？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．
13．完成下面的证明：
已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．
求证：AB∥CD．
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝　 　（角平分线的性质）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝　 　（角平分线的性质）．
∴∠BDC+∠ABD＝　 　（等式的性质）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝　 　．
∴AB∥CD（　 　）．
14．探究：如图①，AB∥CD∥EF，点G、P、H分别在直线AB、CD、EF上，连接PG、PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠AGP+∠EHP＝∠GPH．下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程，并填空（理由或数学式）．
解：如图①，∵AB∥CD（　 　）
∴∠AGP＝∠GPD
∵CD∥EF
∴∠DPH＝∠EHP（　 　）
∵∠GPD+∠DPH＝∠GPH，
∴∠AGP+∠EHP＝∠GPH（　 　）
拓展：将图①的点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，如图②．试探究∠AGP、∠EHP、∠GPH之间的关系，并说明理由．
应用：如图③，AB∥CD∥EF，点G、H分别在直线AB、EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连接QG、QH．若∠GQH＝70°，则∠AGQ+∠EHQ＝　 　度．
15．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOD．
（1）若∠AOC＝32°，求∠EOF的度数；
（2）若∠EOF＝60°，求∠AOC的度数．
参考答案
1．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠1＝∠GEB＝34°，
∵EF⊥EG，
∴∠2＝180°﹣90°﹣34°＝56°；
（2）∵∠2＝2∠1，∠1＝∠GEB，
∴∠2＝2∠GEB，
又∵∠2+∠GEB＝90°，
∴∠GEB＝30°＝∠1，
∴4∠1＝120°，∠2＝60°，
∴∠FMN＝∠CME＝∠MEB＝120°，
即图中等于4∠1的角为∠FMN，∠CME，∠MEB．
2．（1）证明：∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝∠BOM＝90°，
∴∠1+∠AOC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠AOC＝90°，
即∠CON＝90°，
∴ON⊥CD；
（2）解：∵∠1＝∠BOC，
∴∠BOM＝3∠1＝90°，
解得：∠1＝30°，
∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°．
3．证明：∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（垂直的定义），
∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∵∠E＝∠1（已知）
∴∠E＝∠2（等量代换）
∵AD∥EG，
∴∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等）．
∴∠2＝∠3（等量代换），
故答案为：垂直的定义，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，∠E，∠2，∠3．
4．解：过点C作直线CM∥AB，过点D作直线DN∥EF，给各角表示序号，如图所示．
∵AB∥EF，CM∥AB，DN∥EF，
∴CM∥DN，
∴∠B＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠E，
∴∠CDE﹣∠E＝∠3+∠4﹣∠E＝∠3＝∠2，
∴∠B+∠CDE﹣∠E＝∠B+∠2＝∠1+∠2＝∠BCD＝90°．
5．解：（1）∠EMF＝∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC＝360°．
证明：过点M作MP∥AB．
∵AB∥CD，
∴MP∥CD．
∴∠4＝∠3．
∵MP∥AB，
∴∠1＝∠2．
∵∠EMF＝∠2+∠3，
∴∠EMF＝∠1+∠4．
∴∠EMF＝∠AEM+∠MFC；
证明：过点M作MQ∥AB．
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD．
∴∠CFM+∠1＝180°；
∵MQ∥AB，
∴∠AEM+∠2＝180°．
∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2＝360°．
∵∠EMF＝∠1+∠2，
∴∠AEM+∠EMF+∠MFC＝360°；
（2）如图2第一个图：∠EMN+∠MNF﹣∠AEM﹣∠NF C＝180°；
如图2第二个图：∠EMN﹣∠MNF+∠AEM+∠NFC＝180°．
6．证明：（1）∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝∠BOM＝90°，
∴∠1+∠AOC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠AOC＝90°，
即∠CON＝90°，
∴∠NOD＝180°﹣∠CON＝180°﹣90°＝90°；
（2）∵∠AOD＝3∠1，
∴∠NOD＝2∠1＝90°，
解得：∠1＝45°，
∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣45°＝45°；
∴∠BOD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MOD＝∠BOD+∠BOM＝45°+90°＝135°．
故答案为：（1）90°； （2）45°，135°．
7．解：（1）如图1，过F作FQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴FQ∥CD，
∴∠AEF＝∠QFE，∠FGC＝∠GFQ，
∴∠AEF+∠FGC＝∠EFQ+∠GFQ＝∠EFG；
（2）如图2，延长AB，CD，交于点P，
∵EG同时平分∠BEF和∠FGD，
∴∠FEG＝∠PEG，∠FGE＝∠PGE，
∴∠F＝∠P，
∵∠FEP＝180°﹣∠AEF，∠FGP＝180°﹣∠FGC，
∴∠FEP+∠FGP＝360°﹣（∠AEF+∠FGC），
∵四边形EFGP中，∠F+∠P＝360°﹣（∠FEP+∠FGP）＝360°﹣[360°﹣（∠AEF+∠FGC）]＝∠AEF+∠FGC，
即2∠EFG＝∠AEF+∠FGC．
8．解：（1）
∵AB∥CD，
∴∠EMB＝∠C，
∵∠E+∠A＝∠EMB，
∴∠AEC＝∠C﹣∠A；
（2）
∵AF平分∠EAB，CF平分∠ECD，
∴∠ECD＝2∠FCD，∠EAB＝2∠FAM，
∵AB∥CD，
∴∠FBM＝∠FCD，∠EGM＝∠ECD，
∵∠FBM是△ABF的外角，
∴∠F＝∠FBM﹣∠FAB＝∠FCD﹣∠FAB
＝∠ECD﹣∠EAB＝∠EGM﹣∠EAB＝（∠EGM﹣∠EAB）＝∠E，
∴∠E＝2∠F，
故答案为：30°
（3）如图3，延长AB，CD交于点H，
∵BD⊥AB，∠BDC＝110°，
∴∠H＝20°，
∵∠ANC＝∠E+∠EAN＝∠H+∠HCE，
∴∠HCE＝20°+∠EAN，且AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．
∴∠HCF＝10°+∠FAN
∵∠FGH＝∠H+∠FCH＝∠AFC+∠FAN，
∴∠AFC＝30°．
9．解：（1）∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＝25°，
∴∠BOD＝∠AOC＝25°，∠COE＝90°﹣∠AOC＝65°；
（2）∵∠AOC＝α，
∴∠BOD＝α，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠BOE＝∠DOF＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣α，
∵OM是∠BOF的角平分线，
∴∠BOM＝∠BOF＝45°﹣α，
∴∠EOM＝90°﹣∠BOM＝45°+α．
10．解：（1）∠PAC+∠PBD＝∠APB．
过点P作PE∥l1，如图1所示．
∵PE∥l1，l1∥l2，
∴PE∥l1∥l2，
∴∠PAC＝∠APE，∠PBD＝∠BPE，
∵∠APB＝∠APE+∠BPE，
∴∠PAC+∠PBD＝∠APB．
（2）过点P作PE∥l1．
当点P在直线l1上方时，如图2所示．
∵PE∥l1，l1∥l2，
∴PE∥l1∥l2，
∴∠PAC＝∠APE，∠PBD＝∠BPE，
∵∠APB＝∠BPE﹣∠APE，
∴∠PBD﹣∠PAC＝∠APB．
当点P在直线l2下方时，如图3所示．
∵PE∥l1，l1∥l2，
∴PE∥l1∥l2，
∴∠PAC＝∠APE，∠PBD＝∠BPE，
∵∠APB＝∠APE﹣∠BPE，
∴∠PAC﹣∠PBD＝∠APB．
11．解：（1）①∵OP是∠BOC的平分线，
∴∠COP＝∠BOP．
②∵直线AB与CD相交于点O，
∴∠AOD＝∠COB．
（2）①∵∠AOD＝40°，
∴根据对顶角相等，可得∠BOC＝40°；
②因为OP是∠BOC的平分线，所以∠COP＝∠BOC＝20度．
③∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90度，
∴∠POF＝70度．
故答案是：∠COP＝∠BOP、∠AOD＝∠COB；对顶角相等，40；20；
12．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣∠C＝80°，
∵∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF，
∴∠DBE＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝40°；
（2）不变．
理由∵AB∥CD，
∴∠BFC＝∠ABF＝2∠ABD，∠ABD＝∠BDC，
∴∠BFC＝2∠BDC，
∴∠BFC：∠BDC＝2：1；
（3）存在．
设∠ABD＝∠DBF＝∠BDC＝x°．
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠ABE＝x°+40°；
∵AB∥CD，
∴∠ADC＝180°﹣∠A＝80°，
∴∠ADB＝80°﹣x°．
若∠BEC＝∠ADB，
则x°+40°＝80°﹣x°，
得x°＝20°．
∴存在∠BEC＝∠ADB＝60°．
13．证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠1（ 角平分线的性质）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠2（角的平分线的性质）．
∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（等式的性质）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ 等量代换）．
∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）．
故答案为：2∠1；2∠2；2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）；180°； 同旁内角互补两直线平行．
14．解：∵AB∥CD（已知）
∴∠AGP＝∠GPD，
∵CD∥EF，
∴∠DPH＝∠EHP（两直线平行，内错角相等）
∵∠GPD+∠DPH＝∠GPH
∴∠AGP+∠EHP＝∠GPH（等量代换）．
故答案分别为：已知；两直线平行，等量代换；
探究：当点P在直线GH的右侧时，其他条件不变，如图2，∠AGP+∠EHP+∠GPH＝360°．
理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AGP+∠GPC＝180°，
∵CD∥EF，
∴∠CPH+∠EHP＝180°，
∴∠AGP+∠GPC+∠CPH+∠EHP＝360°，即∠AGP+∠GPH+∠EHP＝360°；
应用：①当点Q在直线GH的左侧时，则有∠AGQ+∠EHQ＝∠GQH．
若∠GQH＝70°，则∠AGQ+∠EHQ＝70°；
②当点Q在直线GH的右侧时，则有∠AGQ+∠EHQ+∠GQH＝360°．
若∠GQH＝70°，则∠AGQ+∠EHQ＝360°﹣70°＝290°．
综上所述：若∠GQH＝70°，则∠AGQ+∠EHQ＝70°或290°．
故答案为70或290．
15．解：（1）∵∠AOC＝32°
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝148°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF＝74°，
∴∠AOC＝∠BOD＝32°，
∵OD平分∠BOE，
∴∠BOD＝∠EOD＝32°，
∴∠EOF＝∠DOF﹣∠EOD＝74°﹣32°＝42°，
（2）设∠AOC＝∠BOD＝x，则∠DOF＝∠DOE+∠EOF＝x+60，
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠DOF＝2x+120°，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴2x+120°+x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠AOC＝20°．

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