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第十七章《勾股定理》
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.以下列各组数为边长能构成直角三角形的是（　　）
A．6，12，13 B．3，4，7
C．8，15，16 D．5，12，13
2．已知命题：等边三角形是等腰三角形，则下列说法正确的是（）
A．该命题为假命题 B．该命题为真命题
C．该命题的逆命题为真命题 D．该命题没有逆命题
3．如图，点P是平面直角坐标系中的一点，则点P到原点的距离是()
A．3 B. C. D.

4．直角三角形的一直角边长是7 cm，另一直角边与斜边长的和是49 cm，则斜边的长为()
A．18 cm B．20 cm C．24 cm D．25 cm
5．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为()
A．4 B．8 C．16 D．64
6. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为(　　)
A．4 B．16 C．22 D．55
8．如图，将矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长是（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
9．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为(　 　)
A．x2－6＝(10－x)2 B．x2－62＝(10－x)2
C．x2＋6＝(10－x)2 D．x2＋62＝(10－x)2
10．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为(　 　)
A．13 B．8 C．25 D．64
二、填空题(每小题4分，共24分)
11.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是:_______________________________,
它是__________(填“真”或“假”)命题.
12.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，则这个桌面__________.(填“合格”或“不合格”)
13.若直角三角形的两边长分别为3cm，4cm，则第三边长为__________.
14．一个直角三角形的两边长分别为5 cm，12 cm，则这个直角三角形的第三边长为____________．
15．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为____________．

第15题图 第16题图
16．如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20，3，2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是____________．
三、解答题(共66分)
17. （8分）如图，甲轮船以 海里/小时的速度离开港口 向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达 ， 两点，且知 海里，问乙轮船每小时航行多少海里?


18. （8分）如图，已知四边形 中，，，，，，求四边形 的面积．


19. （8分）写出下列定理的逆命题，并判断其能否成为原定理的逆定理．
（1）等边三角形的三个内角都相等；
（2）全等三角形的对应角相等．
20．已知中，，，．在射线上取一点，使得为等腰三角形，这样的三角形有几个？请你求的周长．
21，如图7，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
22．如图所示，等边△ABC表示一块地，DE，EF为这块地中的两条路，且点D为AB的中点，DE⊥AC，EF∥AB，已知AE＝6m，求地块△EFC的周长．
23、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C
处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1.4m，
BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（取1.732，结果保留
三个有效数字）
24、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，
乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后
分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少
海里？
25、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性
大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、
B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地
的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km
的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（≈1.732）
参考答案
1．D
2.B
3.A
4.D
5.D
6.A　
7.B
8．B　
9.D
10.B
11.面积相等的两个三角形全等 假
12.合格
13.5cm或cm 14.13 cm或 cm　
15.　
16.25
17. 甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行，
，
甲轮船以 海里/小时的速度航行了一个半小时，
海里， 海里，
在 中，，
乙轮船航行的速度为： 海里/小时．
18. 连接 ，如图所示：
，
为直角三角形，
又 ，，
根据勾股定理得：，
又 ，，
，，
，
为直角三角形，，则

故四边形 的面积是 ．
19. （1） 逆命题：三个内角都相等的三角形是等边三角形；它是一个真命题，故可成为原定理的逆定理．
??????（2） 逆命题：各角对应相等的两个三角形是全等三角形；它是一个假命题，故不能成为原定理的逆定理．
20．3个，32m或或
21，如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线.在Rt△A′DB中，由勾股定理求得A′B＝17km.
22．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE＝12（cm），
∵点D为AB中点，
∴AB＝2AD＝24（cm），
∴AC＝BC＝AB＝24（cm），
∴EC＝AC﹣AE＝24﹣6＝18（cm），
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠A＝60°，∠EFC＝∠B＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴△EFC的周长＝18×3＝54（cm）．
23、解析：构造直角三角形，利用勾股定理建立方程可求得．过点D作DE⊥AB于点E，则ED＝BC＝30米，EB＝DC＝1.4米．设AE＝x米，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，则AD＝2x．由勾股定理得：AE2＋ED2＝AD2，即x2＋302＝（2x）2，解得x＝10≈17.32．∴AB＝AE＋EB≈17.32＋1.4≈18.7（米）．
答：树高AB约为18.7米．
24、解析：本题要注意判断角的大小，根据题意知：∠1＝∠2＝45°，从而证明△ABC为直角三角形，这是解题的前提，然后可运用勾股定理求解．B在O的东南方向，A在O的西南方向，所以∠1＝∠2＝45°，所以∠AOB＝90°，即△AOB为Rt△．BO＝16×＝24（海里），AB＝30海里，根据勾股定理，得AO2＝AB2－BO2＝302－242＝182，所以AO＝18．所以乙船的速度＝18÷＝18×＝12（海里/时）．
答：乙船每小时航行12海里．
25、解 如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，由题意可得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，∴∠CBA＝∠BCD，∴BD＝CD．在Rt△ACD中，∠CAB＝30°，∴AC＝2CD．设CD＝DB＝x，∴AC＝2x．由勾股定理
得AD＝＝＝x．∵AD＋DB＝2，
∴x＋x＝2，∴x＝－1．即CD＝－1≈0.732＞0.7，
∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．

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