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微专题7 带电粒子在电场中的运动导学案
考点一 电场强度叠加问题
1.叠加原理:多个电荷在空间某处产生的电场为各电荷在该处所产生的电场强度的矢量和。
2.运算法则:平行四边形定则。
3.计算叠加电场强度常用的方法:
(1)电场叠加合成法:多个电场在空间某点产生的合电场强度等于每个电场单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。
(2)平衡条件法:带电体在电场中受力平衡,根据平衡条件求解。
(3)对称法:对称法实际上就是根据某些物理现象、物理规律、物理过程或几何图形的对称性进行解题的方法。利用对称法分析解决具有对称性电场的叠加电场强度问题,可以避免复杂的数学演算和推导,直接抓住问题的实质,有出奇制胜之效。
(4)微元法:微元法是将研究对象分割成若干微小的单元,或从研究对象上选取某“微元”加以分析,从而使变量、难以确定的量变为常量、容易确定的量。在求解电场强度叠加问题时,若能灵活运用微元法,可使问题简化。
(5)等效法:等效法的实质是在效果相同的情况下,利用物理问题中某些相似或相同效果进行知识迁移的一种方法。利用等效法解决叠加电场强度问题可以将较复杂的电场问题转化为简单易行的问题。
(6)补偿法:当需要求解一个不规则带电体所产生的电场时,因为没有现成的公式可以直接套用,所以就需要变换思维角度,采用补偿法,使问题变得易于求解。
4664710665480探究1.(2020年南京、盐城二模)如图,在真空中的绝缘光滑水平面上,边长为L的正三角形的三个顶点上分别固定放置电荷量为+Q、+Q、-Q的点电荷,以图中顶点为圆心、0.5L为半径的圆与正三角形的腰及底边中线的交点分别A、B、C、D。下列说法正确的是( )。
A.A点的电场强度等于C点的电场强度
B.B点的电势等于D点的电势
C.由A点静止释放一正点电荷+q,其轨迹可能是直线也可能是曲线
left257175反思总结：
反思总结：
D.将正点电荷+q沿圆弧逆时针从B经C移到D,电荷的电势能始终不变




考点二 电场的能的性质的理解
1.电势高低的判断
判断角度
判断方法
依据电场线方向
沿电场线方向电势逐渐降低
依据电场力做功
根据UAB=WABq,将WAB、q的正负号代入,由UAB的正负判断φA、φB的高低
依据场源电荷的正负
取无穷远处电势为零,正电荷周围电势为正值,负电荷周围电势为负值;靠近正电荷处电势高,靠近负电荷处电势低
依据电势能的大小
正电荷电势能越大,所在位置电势越高;负电荷电势能越大,所在位置电势越低
2.电势能大小的判断
判断角度
判断方法
做功判断法
电场力做正功,电势能减小;电场力做负功,电势能增大
电荷电势法
正电荷在电势高的地方电势能大,负电荷在电势低的地方电势能大
公式法
由Ep=qφ,将q、φ的大小、正负号一起代入公式,Ep的正值越大,电势能越大;Ep为负值时绝对值越小,电势能越大
能量守恒法
在电场中,若只有电场力做功,则电荷的动能和电势能相互转化,动能增大,电势能减小;反之,动能减小,电势能增大
探究2.(2020年全国卷Ⅲ,T21)(多选)如图,∠M是锐角三角形PMN最大的内角,电荷量为q(q>0)的点电荷固定在P点。下列说法正确的是( )。
433133549530A.沿MN边,从M点到N点,电场强度的大小逐渐增大
B.沿MN边,从M点到N点,电势先增大后减小
C.正电荷在M点的电势能比其在N点的电势能大
D.将正电荷从M点移动到N点,电场力所做的总功为负
left127000反思总结：
反思总结：







考点三 电容器的问题
1.两类典型的动态变化分析
(1)第一类动态变化:两极板间电压U恒定不变。

(2)第二类动态变化:电容器所带电荷量Q恒定不变。

2.平行板电容器动态问题的分析思路

探究3.(2020年江苏调研)(多选)传感器是智能社会的基础元件。电容式位移传感器的示意图如图所示,观测电容C的变化即可知道物体位移x的变化,ΔCΔx表示该传感器的灵敏度。电容器极板和电介质板长度均为L,测量范围为-L2≤x≤L2。下列说法正确的是( )。
right5715A.电容器的电容变大,物体向x轴负方向运动
B.电容器的电容变大,物体向x轴正方向运动
C.电介质的介电常数越大,传感器灵敏度越高
D.电容器的板间电压越大,传感器灵敏度越高



考点四 “等分法”处理电场强度、电场线间的关系
1.等分法
在匀强电场中,沿任意一个方向(垂直于电场线方向除外),电势变化都是均匀的,故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等。如果把某两点间的距离等分为n段,则每段两端点的电势差等于原电势差的1n,像这样采用等分间距求电势问题的方法,叫作等分法。
2.等分法常用的重要结论
(1)在匀强电场中,沿任意方向相互平行且相等的线段两端点的电势差相等。
(2)匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC=φA+φB2。
(3)在匀强电场中,相互平行的两条线段,无论它们是否与电场线方向平行,只要一条线段是另一条线段的n倍,这条线段两端点的电势差就一定是另一条线段两端点电势差的n倍。
3.等分法解题的一般步骤

探究4.(2020年福建期末)如图,在直角坐标系xOy中有a、b、c、d四点,c点坐标为(-4 cm,3 cm)。现加上一方向平行于xOy平面的匀强电场,b、c、d三点电势分别为9 V、25 V、16 V,将一电荷量为-2×10-5 C的点电荷从a点沿abcd移动到d点,下列说法正确的是( )。
418338046990A.坐标原点O的电势为-4 V
B.电场强度的大小为500 V/m
C.该点电荷在a点的电势能为2×10-4 J
D.将该点电荷从a点移到d点的过程中,电场力做的功为8×10-4 J
left46355反思总结：
反思总结：



考点五、电场中的E-x、φ-x图像问题
1.E-x、φ-x图像的特点
E-x图像
①反映了电场强度随位移变化的规律;
②E>0表示电场方向沿x轴正方向;E<0表示电场方向沿x轴负方向;
③图线与x轴围成的“面积”表示电势差,“面积”大小表示电势差大小,两点的电势高低根据电场方向判定
φ-x图像
①电场强度的大小等于φ-x图线的斜率大小,电场强度为零处,φ-x图线存在极值,其切线的斜率为零;
②在φ-x图像中可直接判断各点电势大小,并可根据电势大小关系确定电场强度方向;
③在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化,可用WAB=qUAB,进而分析WAB的正负,然后做出判断
2.几种常见电场的电场强度与电势分布规律
电场
等势面(实线)
E-x
φ-x
匀强电场



点电荷的电场







等量异号点电荷的电场

两电荷连线上
两电荷连线上


连线中垂线上
连线中垂线上各点电势相等且为零
等量同号正点电荷的电场

两电荷连线上
两电荷连线上


连线中垂线上
连线中垂线上

4307205280670探究5.(2020年江苏联考)某静电场中有电场线与x轴重合,x轴上各点电势φ分布如图所示,图线关于纵轴对称。则( )。
A.x1处和-x1处电场强度方向相同
B.x1处和-x2处电场强度大小相等
C.某带电粒子在x2处和-x2处电势能相等
D.某带电粒子在x2处的电势能大于在-x2处的电势能
00反思总结：
反思总结：




考点六 带电体在电场中的运动问题
1.两个思维方法
(1)类比法。若电场力为恒力,做功与重力相似,因此,带电粒子只在电场力作用下的运动常与物体只在重力作用下的运动相类比,如电场中的类平抛运动与重力场中的平抛运动相类比。
(2)整体法。电荷间的作用是相互的,若把电荷系统取为研究对象,则可不必考虑电荷间的相互作用,使问题得到简化。因为电场力做功与路径无关,在求解与能量变化有关的问题时可取整个过程进行研究,问题将大为简化,从而迅速确定解题方案。
2.三条求解思路
(1)若带电粒子受到的合力是恒力,可选用牛顿运动定律,也可选用动量定理或动能定理求解。
(2)若带电粒子所受的合力是变力,一般应选用动量定理、动能定理和能量守恒定律求解。
(3)若带电粒子不止一个,涉及粒子间相互作用的问题一般要选用动量守恒定律和能量守恒定律求解。
3.四种常考题型
(1)平衡问题
求解的依据是平衡条件,即合外力等于零。常用的方法有合成法、正交分解法、整体法和隔离法等。
(2)带电粒子在电场中做直线运动
求解时常用牛顿运动定律、动能定理和动量定理等物理规律。
(3)带电粒子在电场中做类平抛运动、圆周运动
①类平抛运动(偏转问题)
带电粒子在电场中做类平抛运动时常用运动的分解来求解。

②圆周运动
带电粒子在电场力和其他力的作用下做圆周运动,求解此类问题需应用动能定理、能量守恒定律和相关的圆周运动知识。
(4)带电粒子在交变电场中的运动
带电粒子在交变电场中运动时,若仅受电场力的作用,则带电粒子常见的运动有直线运动、曲线运动和振动等。研究此类问题的关键在于根据受力特点,确定运动特征。一般选用牛顿第二定律、运动学规律和图像法求解。
探究6.(2020年全国卷Ⅰ,T25)在一柱形区域内有匀强电场,柱的横截面是以O为圆心、半径为R的圆,AB为圆的直径,如图所示。质量为m,电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场,速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子,自圆周上的C点以速率v0穿出电场,AC与AB的夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。
4787900-3175(1)求电场强度的大小。
(2)为使粒子穿过电场后的动能增量最大,该粒子进入电场时的速度应为多大?
(3)为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0,该粒子进入电场时的速度应为多大?




课后练习
1.(2020年全国联考)如图所示,粗糙水平轨道与半径为R的竖直光滑、绝缘的半圆轨道在B点平滑连接,过半圆轨道圆心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的匀强电场E,将质量为m的带正电小滑块从水平轨道上的A点由静止释放,运动中由于摩擦起电滑块电荷量会增加,过B点后电荷量保持不变,小滑块在AB段的加速度随位移变化的图像如图2。已知A、B间距离为4R,滑块与轨道间动摩擦因数μ=0.5,重力加速度为g,不计空气阻力,求:

(1)小滑块被释放后运动至B点过程中电荷量的变化量。
(2)滑块对半圆轨道的最大压力。
(3)小滑块再次进入电场时,电场大小保持不变、方向变为向左,求小滑块再次到达水平轨道时的速度大小以及距B点的距离。








微专题7 带电粒子在电场中的运动导学案
考点一 电场强度叠加问题
1.叠加原理:多个电荷在空间某处产生的电场为各电荷在该处所产生的电场强度的矢量和。
2.运算法则:平行四边形定则。
3.计算叠加电场强度常用的方法:
(1)电场叠加合成法:多个电场在空间某点产生的合电场强度等于每个电场单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。
(2)平衡条件法:带电体在电场中受力平衡,根据平衡条件求解。
(3)对称法:对称法实际上就是根据某些物理现象、物理规律、物理过程或几何图形的对称性进行解题的方法。利用对称法分析解决具有对称性电场的叠加电场强度问题,可以避免复杂的数学演算和推导,直接抓住问题的实质,有出奇制胜之效。
(4)微元法:微元法是将研究对象分割成若干微小的单元,或从研究对象上选取某“微元”加以分析,从而使变量、难以确定的量变为常量、容易确定的量。在求解电场强度叠加问题时,若能灵活运用微元法,可使问题简化。
(5)等效法:等效法的实质是在效果相同的情况下,利用物理问题中某些相似或相同效果进行知识迁移的一种方法。利用等效法解决叠加电场强度问题可以将较复杂的电场问题转化为简单易行的问题。
(6)补偿法:当需要求解一个不规则带电体所产生的电场时,因为没有现成的公式可以直接套用,所以就需要变换思维角度,采用补偿法,使问题变得易于求解。
4664710665480探究1.(2020年南京、盐城二模)如图,在真空中的绝缘光滑水平面上,边长为L的正三角形的三个顶点上分别固定放置电荷量为+Q、+Q、-Q的点电荷,以图中顶点为圆心、0.5L为半径的圆与正三角形的腰及底边中线的交点分别A、B、C、D。下列说法正确的是( B )。
A.A点的电场强度等于C点的电场强度
B.B点的电势等于D点的电势
C.由A点静止释放一正点电荷+q,其轨迹可能是直线也可能是曲线
left257175反思总结：
反思总结：
D.将正点电荷+q沿圆弧逆时针从B经C移到D,电荷的电势能始终不变




考点二 电场的能的性质的理解
1.电势高低的判断
判断角度
判断方法
依据电场线方向
沿电场线方向电势逐渐降低
依据电场力做功
根据UAB=WABq,将WAB、q的正负号代入,由UAB的正负判断φA、φB的高低
依据场源电荷的正负
取无穷远处电势为零,正电荷周围电势为正值,负电荷周围电势为负值;靠近正电荷处电势高,靠近负电荷处电势低
依据电势能的大小
正电荷电势能越大,所在位置电势越高;负电荷电势能越大,所在位置电势越低
2.电势能大小的判断
判断角度
判断方法
做功判断法
电场力做正功,电势能减小;电场力做负功,电势能增大
电荷电势法
正电荷在电势高的地方电势能大,负电荷在电势低的地方电势能大
公式法
由Ep=qφ,将q、φ的大小、正负号一起代入公式,Ep的正值越大,电势能越大;Ep为负值时绝对值越小,电势能越大
能量守恒法
在电场中,若只有电场力做功,则电荷的动能和电势能相互转化,动能增大,电势能减小;反之,动能减小,电势能增大
探究2.(2020年全国卷Ⅲ,T21)(多选)如图,∠M是锐角三角形PMN最大的内角,电荷量为q(q>0)的点电荷固定在P点。下列说法正确的是( BC )。
433133549530A.沿MN边,从M点到N点,电场强度的大小逐渐增大
B.沿MN边,从M点到N点,电势先增大后减小
C.正电荷在M点的电势能比其在N点的电势能大
D.将正电荷从M点移动到N点,电场力所做的总功为负
left127000反思总结：
反思总结：







考点三 电容器的问题
1.两类典型的动态变化分析
(1)第一类动态变化:两极板间电压U恒定不变。

(2)第二类动态变化:电容器所带电荷量Q恒定不变。

2.平行板电容器动态问题的分析思路

探究3.(2020年江苏调研)(多选)传感器是智能社会的基础元件。电容式位移传感器的示意图如图所示,观测电容C的变化即可知道物体位移x的变化,ΔCΔx表示该传感器的灵敏度。电容器极板和电介质板长度均为L,测量范围为-L2≤x≤L2。下列说法正确的是( AC )。
right5715A.电容器的电容变大,物体向x轴负方向运动
B.电容器的电容变大,物体向x轴正方向运动
C.电介质的介电常数越大,传感器灵敏度越高
D.电容器的板间电压越大,传感器灵敏度越高



考点四 “等分法”处理电场强度、电场线间的关系
1.等分法
在匀强电场中,沿任意一个方向(垂直于电场线方向除外),电势变化都是均匀的,故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等。如果把某两点间的距离等分为n段,则每段两端点的电势差等于原电势差的1n,像这样采用等分间距求电势问题的方法,叫作等分法。
2.等分法常用的重要结论
(1)在匀强电场中,沿任意方向相互平行且相等的线段两端点的电势差相等。
(2)匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC=φA+φB2。
(3)在匀强电场中,相互平行的两条线段,无论它们是否与电场线方向平行,只要一条线段是另一条线段的n倍,这条线段两端点的电势差就一定是另一条线段两端点电势差的n倍。
3.等分法解题的一般步骤

探究4.(2020年福建期末)如图,在直角坐标系xOy中有a、b、c、d四点,c点坐标为(-4 cm,3 cm)。现加上一方向平行于xOy平面的匀强电场,b、c、d三点电势分别为9 V、25 V、16 V,将一电荷量为-2×10-5 C的点电荷从a点沿abcd移动到d点,下列说法正确的是( B )。
418338046990A.坐标原点O的电势为-4 V
B.电场强度的大小为500 V/m
C.该点电荷在a点的电势能为2×10-4 J
D.将该点电荷从a点移到d点的过程中,电场力做的功为8×10-4 J
left46355反思总结：
反思总结：



考点五、电场中的E-x、φ-x图像问题
1.E-x、φ-x图像的特点
E-x图像
①反映了电场强度随位移变化的规律;
②E>0表示电场方向沿x轴正方向;E<0表示电场方向沿x轴负方向;
③图线与x轴围成的“面积”表示电势差,“面积”大小表示电势差大小,两点的电势高低根据电场方向判定
φ-x图像
①电场强度的大小等于φ-x图线的斜率大小,电场强度为零处,φ-x图线存在极值,其切线的斜率为零;
②在φ-x图像中可直接判断各点电势大小,并可根据电势大小关系确定电场强度方向;
③在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化,可用WAB=qUAB,进而分析WAB的正负,然后做出判断
2.几种常见电场的电场强度与电势分布规律
电场
等势面(实线)
E-x
φ-x
匀强电场



点电荷的电场







等量异号点电荷的电场

两电荷连线上
两电荷连线上


连线中垂线上
连线中垂线上各点电势相等且为零
等量同号正点电荷的电场

两电荷连线上
两电荷连线上


连线中垂线上
连线中垂线上

4307205280670探究5.(2020年江苏联考)某静电场中有电场线与x轴重合,x轴上各点电势φ分布如图所示,图线关于纵轴对称。则( C )。
A.x1处和-x1处电场强度方向相同
B.x1处和-x2处电场强度大小相等
C.某带电粒子在x2处和-x2处电势能相等
D.某带电粒子在x2处的电势能大于在-x2处的电势能
00反思总结：
反思总结：




考点六 带电体在电场中的运动问题
1.两个思维方法
(1)类比法。若电场力为恒力,做功与重力相似,因此,带电粒子只在电场力作用下的运动常与物体只在重力作用下的运动相类比,如电场中的类平抛运动与重力场中的平抛运动相类比。
(2)整体法。电荷间的作用是相互的,若把电荷系统取为研究对象,则可不必考虑电荷间的相互作用,使问题得到简化。因为电场力做功与路径无关,在求解与能量变化有关的问题时可取整个过程进行研究,问题将大为简化,从而迅速确定解题方案。
2.三条求解思路
(1)若带电粒子受到的合力是恒力,可选用牛顿运动定律,也可选用动量定理或动能定理求解。
(2)若带电粒子所受的合力是变力,一般应选用动量定理、动能定理和能量守恒定律求解。
(3)若带电粒子不止一个,涉及粒子间相互作用的问题一般要选用动量守恒定律和能量守恒定律求解。
3.四种常考题型
(1)平衡问题
求解的依据是平衡条件,即合外力等于零。常用的方法有合成法、正交分解法、整体法和隔离法等。
(2)带电粒子在电场中做直线运动
求解时常用牛顿运动定律、动能定理和动量定理等物理规律。
(3)带电粒子在电场中做类平抛运动、圆周运动
①类平抛运动(偏转问题)
带电粒子在电场中做类平抛运动时常用运动的分解来求解。

②圆周运动
带电粒子在电场力和其他力的作用下做圆周运动,求解此类问题需应用动能定理、能量守恒定律和相关的圆周运动知识。
(4)带电粒子在交变电场中的运动
带电粒子在交变电场中运动时,若仅受电场力的作用,则带电粒子常见的运动有直线运动、曲线运动和振动等。研究此类问题的关键在于根据受力特点,确定运动特征。一般选用牛顿第二定律、运动学规律和图像法求解。
探究6.(2020年全国卷Ⅰ,T25)在一柱形区域内有匀强电场,柱的横截面是以O为圆心、半径为R的圆,AB为圆的直径,如图所示。质量为m,电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场,速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子,自圆周上的C点以速率v0穿出电场,AC与AB的夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。
4787900-3175(1)求电场强度的大小。
(2)为使粒子穿过电场后的动能增量最大,该粒子进入电场时的速度应为多大?
(3)为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0,该粒子进入电场时的速度应为多大?
答案 (1)mv022qR　(2)2v04　(3)0或3v02
解析
4448810481965(1)粒子初速度为零,由C点射出电场,故电场方向与AC平行,由A指向C。由几何关系和电场强度的定义知 AC=R F=qE
由动能定理有
F·AC=12mv02
联立式得E=mv022qR。
(2)如图,由几何关系知AC⊥BC,故电场中的等势线与BC平行。作与BC平行的直线与圆相切于D点,与AC的延长线交于P点,则自D点从圆周上穿出的粒子的动能增量最大。由几何关系知
∠PAD=30°,AP=32R,DP=32R
设粒子以速度v1进入电场时动能增量最大,在电场中运动的时间为t1。粒子在AC方向做加速度为a的匀加速运动,运动的距离等于AP;在垂直于AC的方向上做匀速运动,运动的距离等于DP。由牛顿第二定律和运动学公式有
F=ma AP=12at12 DP=v1t1 联立解式得v1=24v0。
(3)设粒子以速度v进入电场时,在电场中运动的时间为t。以A为原点,粒子进入电场的方向为x轴正方向,电场方向为y轴正方向建立直角坐标系。由运动学公式有
y=12at2 x=vt
粒子离开电场的位置在圆周上,有
x-32R2+y-12R2=R2　
粒子在电场中运动时,其x方向的动量不变,y方向的初始动量为零。设穿过电场前后动量变化量的大小为mv0的粒子,离开电场时其y方向的速度分量为v2,由题给条件及运动学公式有
mv2=mv0=mat
联立解得v=0或v=32v0。
课后练习
1.(2020年全国联考)如图所示,粗糙水平轨道与半径为R的竖直光滑、绝缘的半圆轨道在B点平滑连接,过半圆轨道圆心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的匀强电场E,将质量为m的带正电小滑块从水平轨道上的A点由静止释放,运动中由于摩擦起电滑块电荷量会增加,过B点后电荷量保持不变,小滑块在AB段的加速度随位移变化的图像如图2。已知A、B间距离为4R,滑块与轨道间动摩擦因数μ=0.5,重力加速度为g,不计空气阻力,求:

(1)小滑块被释放后运动至B点过程中电荷量的变化量。
(2)滑块对半圆轨道的最大压力。
(3)小滑块再次进入电场时,电场大小保持不变、方向变为向左,求小滑块再次到达水平轨道时的速度大小以及距B点的距离。
答案 (1)mgE (2)(6+35)mg (3)25gR 6R

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