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第三章
空间向量与立体几何
全章素养整合
授课提示：对应学生用书第74页
类型一　空间向量的概念及运算
　题型特点　空间向量的概念是基础，是为空间向量的运算作准备，该部分知识常与空间向量与立体几何结合考查．
方法归纳　进行向量的运算关键是向量的表示及熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则及各运算公式．
[例1]　已知正四面体A?BCD的棱长为1，且＝2，＝2，则·＝(　　)
A.　　　　　　　　B.
C．－
D．－
[解析]　∵＝2，＝2，
∴＝，
∴EF∥BD，
EF＝BD，即＝，则·＝·＝||||cos
＝－.
[答案]　D
[例2]　已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为135°，m＝a＋b，n＝a＋λb.若m⊥n，则λ＝(　　)
A.
B．－
C.
D．－
[解析]　由题意知，m·n＝(a＋b)·(a＋λb)
＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2
＝18＋λ×3×4×cos
135°＋3×4×cos
135°＋λ×16＝6＋4λ.
因为m⊥n，所以6＋4λ＝0，所以λ＝－.
[答案]　D
跟踪训练　1.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　)
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
答案：B
2．已知P是正六边形ABCDEF外一点，O为正六边形ABCDEF的中心，则＋＋＋＋＋等于(　　)
A.
B．3
C．6
D．0
解析：∵O是正六边形ABCDEF的中心，
∴O是对角线AD的中点，也是对角线BE的中点
还是对角线CF的中点．
∴＝，＝，＝，
∴＋＋＋＋＋＝6，
故选C.
答案：C
类型二　空间向量的坐标运算
　题型特点　空间向量的坐标运算主要与立体几何中的位置关系判断、角度及距离的求解结合，作为一种解题工具，常在解答题中出现．
方法归纳　掌握空间向量坐标运算法则及向量夹角、数量积、模的坐标表示是解题的关键．
[例3]　已知a＝(5,3,1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
[解析]　由已知a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－.
因为a与b的夹角为钝角，
所以a·b<0，即3t－<0，
所以t<.
若a与b的夹角为180°，
则存在λ<0，使a＝λb，
即(5,3,1)＝λ，
所以
所以t＝－，
故实数t的取值范围是∪.
跟踪训练　3.已知M(1,2,3)，N(2,3,4)，P(－1,2，－3)．若||＝3||且∥，则Q点的坐标为(　　)
A．(2,5,0)　　　　　
B．(－4，－1，－6)或(2,5,0)
C．(3,4,1)
D．(3,4,1)或(－3，－2，－5)
解析：设Q(x，y，z)，
则＝(1,1,1)，
＝(x＋1，y－2，z＋3)，
∵||＝3||且∥，
∴＝3或＝－3，
∴(x＋1，y－2，z＋3)＝3(1,1,1)，
或(x＋1，y－2，z＋3)＝－3(1,1,1)，
即
或
∴Q点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)，故选B.
答案：B
类型三　利用空间向量解决平行、垂直问题
　题型特点　空间向量是高考的重点内容之一，尤其是在立体几何的解答题中，主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算解决直线、平面位置关系的判断问题，特别是平行与垂直问题常作为一道解答题的某一小问，属于中档题．
方法归纳　利用空间向量证明平行、垂直问题主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助立体几何中关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．
[例4]　如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．
(1)求证：BM∥平面ADEF；
(2)求证：BC⊥平面BDE.
[证明]　∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，
∴ED⊥平面ABCD.
以D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系．
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2)．
(1)∵M为EC的中点，∴M(0,2,1)，
则＝(－2,0,1)，＝(－2,0,0)，＝(0,0,2)，
∴＝＋，故，，共面．
又BM?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.
(2)＝(－2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(0,0,2)，
∵·＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB.
又·＝0，∴BC⊥DE.
又DE∩DB＝D，∴BC⊥平面BDE.
跟踪训练　4.P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，求证：PA⊥平面ABCD.
证明：∵·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，
∴⊥，即AP⊥AB.
∵·＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，
∴⊥，即AP⊥AD.
∴PA⊥平面ABCD.
5.如图，在四面体A?BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.
证明：PQ∥平面BCD.
证明：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O?xyz.由题意知，A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)，设点C的坐标为(x0，y0,0)．
因为＝3，所以可求点Q.
由M为AD的中点，得M(0，，1)．
由P为BM的中点，得P，
所以＝，
又平面BCD的一个法向量n＝(0,0,1)，
所以n·＝0.
由于PQ?平面BCD，
所以PQ∥平面BCD.
类型四　利用空间向量解决空间角的问题
　题型特点　利用空间向量求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角是高考的重点和热点，主要以解答题的形式考查，属于中档题，每年必考．
方法归纳　(1)异面直线所成的角，可通过两异面直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值求解．
(2)线面角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值．
(3)对于二面角应先求两平面法向量的夹角，再结合图形判断二面角是锐角或钝角，最后下结论．
[例5]　如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2.
(1)求证：EG∥平面ADF；
(2)求二面角O?EF?C的正弦值；
(3)设H为线段AF上的点，且AH＝HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．
[解析]　依题意，OF⊥平面ABCD，如图，以O为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(－1，－1,0)，C(1，－1,0)，D(1,1,0)，E(－1，－1,2)，F(0,0,2)，G(－1,0,0)．
(1)证明：依题意，＝(2,0,0)，＝(1，－1,2)．
设n1＝(x，y，z)为平面ADF的法向量，则即
不妨设z＝1，可得n1＝(0,2,1)．
又＝(0,1，－2)，所以·n1＝0.
又因为直线EG?平面ADF，
所以EG∥平面ADF.
(2)易证，＝(－1,1,0)为平面OEF的一个法向量．
依题意，＝(1,1,0)，＝(－1,1,2)．
设n2＝(x′，y′，z′)为平面CEF的法向量，则
即
不妨设x′＝1，可得n2＝(1，－1,1)．
因此cos〈，n2〉＝＝－，
于是sin〈，n2〉＝.
所以，二面角O?EF?C的正弦值为.
(3)由AH＝HF，得AH＝AF.
因为＝(1，－1,2)，
所以＝＝，
进而有H，
从而＝，
因此cos〈，n2〉＝＝－.
所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为.
跟踪训练　6.如图，在四棱锥P?ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A?PB?C的余弦值．
解析：(1)证明：∵∠BAP＝∠CDP＝90°，
∴AB⊥AP，CD⊥DP.
又AB∥CD，
∴AB⊥DP，AP∩DP＝P，AP，DP?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD.
又AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD.
(2)如图，取AD，BC的中点分别为E，F，连接PE，EF.
∵PA＝PD，∴PE⊥AD.
又由(1)知AB⊥平面PAD，PE?平面PAD，∴AB⊥PE.
又AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD.
又AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD，
∴四边形ABCD为矩形，
∴PE，AE，EF两两垂直．以E为原点，EA为x轴，EF为y轴，EP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系E?xyz.
设PA＝PD＝AB＝CD＝a(a>0)，
则AD＝a，PE＝a，
于是E(0,0,0)，A，P，
B，C，
＝，
＝，
＝.
设平面PAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则
即
取x1＝1，则z＝1，y1＝0，
于是m＝(1,0,1)．
设平面PBC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则
即
取z2＝，则x2＝0，y2＝1，
即n＝(0,1，)．
设二面角A?PB?C的平面角为θ，
∴|cos
θ|＝＝.
又由题可知，θ为钝角，
∴二面角A?PB?C的余弦值为－.
类型五　利用空间向量求距离
　题型特点　空间距离在高考中考查较少，一般考查两点间的距离和点到平面的距离，常在大题中的一问中考查．
方法归纳　
两点间的距离一般利用向量的模求解，而线面距、面面距通常转化为点面距求解．点面距的求法为：如图，设AB为平面α的一条斜线段，A为线段与平面α的交点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝.
[例6]　如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为(　　)
A.　　　　　　　　
B.
C.
D.
[解析]　如图，以D为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则D1(0,0,1)，E(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)．
∴＝(1,1，－1)，＝(－1,2,0)，＝(－1,0,1)．
设平面ACD1的法向量为n＝(a，b，c)，
则令a＝2，得n＝(2,1,2)．
∴点E到平面ACD1的距离为h＝＝＝.
[答案]　C
跟踪训练　7.如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP＝2.
(1)求二面角A?PE?D的余弦值；
(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．
解析：如图，以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系A?xyz，则各点的坐标为B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．
(1)∵AD⊥平面PAB，
∴是平面PAB的一个法向量，＝(0,2,0)．
∵＝(1,1，－2)，＝(0,2，－2)，
设平面PED的法向量为m＝(x，y，z)，
则m·＝0，m·＝0，
即
令y＝1，解得z＝1，x＝1.
∴m＝(1,1,1)是平面PED的一个法向量，
cos〈，m〉＝＝，
∴二面角A?PE?D的余弦值为.
(2)＝(－1,0,2)，
设＝λ＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)．
又＝(0，－1,0)，
则＝＋＝(－λ，－1,2λ)．
又＝(0，－2,2)，
∴cos〈，〉＝＝.
设1＋2λ＝t，t∈[1,3]，
则cos2〈，〉＝＝≤，当且仅当t＝，即λ＝时，|cos〈，〉|的最大值为.
∵y＝cos
x在上是减函数，
∴当λ＝时，直线CQ与DP所成角取得最小值，
又∵BP＝＝，
∴BQ＝BP＝.
授课提示：对应学生用书第76页
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
解析：(1)证明：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又BF?平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz.
由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.又PF＝1，EF＝2，故PE⊥PF.
可得PH＝，EH＝.
则H(0,0,0)，P(0,0，)，D(－1，－，0)，＝，＝(0,0，)，为平面ABFD的法向量．
设DP与平面ABFD所成角为θ，则sin
θ＝＝＝.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
2.(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P?ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M?AB?D的余弦值．
解析：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD.由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，又BC＝AD，所以EF綊BC，四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF，又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB.
(2)由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，则
A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，＝(1,0，－)，＝(1,0,0)．
设M(x，y，z)(0＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－)．
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos〈，n〉|＝sin
45°，＝，
即(x－1)2＋y2－z2＝0.①
又M在棱PC上，设＝λ，则
x＝λ，y＝1，z＝－λ.②
由①，②解得(舍去)，或，
所以M，从而＝.
设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则
即
所以可取m＝(0，－，2)．
于是cos〈m，n〉＝＝.
因此二面角M?AB?D的余弦值为.
3.(2017·高考天津卷)如图，在三棱锥P?ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.
(1)求证：MN∥平面BDE；
(2)求二面角C?EM?N的正弦值；
(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．
解析：(1)证明：如图，以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)．
＝(0,2,0)，＝(2,0，－2)．
设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，
则，即.
不妨设z＝1，可得n＝(1,0,1)．
又＝(1,2，－1)，可得·n＝0.
因为MN?平面BDE，所以MN∥平面BDE.
(2)易知n1＝(1,0,0)为平面CEM的一个法向量．
设n2＝(x1，y1，z1)为平面EMN的法向量，
则.
因为＝(0，－2，－1)，＝(1,2，－1)，
所以.
不妨设y1＝1，可得n2＝(－4,1，－2)．
因此有cos〈n1，n2〉＝＝－，于是sin〈n1，n2〉＝.
所以二面角C?EM?N的正弦值为.
(3)依题意，设AH＝h(0≤h≤4)，则H(0,0，h)，
进而可得＝(－1，－2，h)，＝(－2,2,2)．
由已知，得|cos〈，〉|＝＝＝，
整理得10h2－21h＋8＝0，解得h＝或h＝.
所以线段AH的长为或.第3课时　用空间向量解决空间角与距离问题
内　容　标　准
学　科　素　养
1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成的角．2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成的角．3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小．4.理解点到面的距离，会用向量方法求点到平面的距离.
应用直观想象发展逻辑推理提升数学运算
授课提示：对应学生用书第71页
[基础认识]
知识点一　空间角的向量求法
(1)两异面直线所成角的范围是多少？
(2)直线与平面所成的角是怎样定义的？它的取值范围是多少？
(3)怎样作出二面角的平面角？它的取值范围是多少？
提示：(1)(0°，90°]．
(2)直线与它在该平面上的射影所成的角，叫做直线与平面所成的角．取值范围为[0°，90°]．
(3)过二面角棱上任一点O在两个半平面内分别作棱的垂线OA、OB，则∠AOB就是二面角的平面角．取值范围为[0°，180°]．
(1)两异面直线l，m的方向向量分别是a，b，则异面直线所成的角α，有cos
α＝|cos〈a，b〉|.
(2)直线与平面的方向向量和法向量分别为a，n，则直线与平面所成的角为β，则sin
β＝|cos〈a，n〉|.
(3)如图AB、CD是二面角α?l?β的两个半平面与棱垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．
　　　
知识梳理　空间三种角的向量求法
空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
角的分类
向量求法
范围
异面直线所成的角
设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos
θ＝|cos〈a，b〉|＝
直线与平面所成的角　　　
设直线l与平面α所成的角为θ
，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin
θ＝|cos〈a，n〉|＝
二面角
设二面角α?l?β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos
θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝
[0，π]
知识点二　利用空间向量求距离
知识梳理　点到平面的距离
用空间向量法求点到平面的距离具体步骤如下：
先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长．如图，设n＝(a，b，c)是平面α的一个法向量，P0(x0，y0，z0)为α外一点，P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P0到平面α的距离d＝＝.
线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离，因此，只要掌握点到平面距离的求法，就可解决其他的距离问题．
[自我检测]
1．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于(　　)
A．－　　　　　　　　　
B.
C．－
D.
答案：B
2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)
A．120°
B．60°
C．150°
D．30°
答案：D
3．二面角α?l?β中，平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量是n2＝，那么二面角α?l?β的大小等于(　　)
A．120°
B．150°
C．30°或150°
D．60°或120°
答案：C
授课提示：对应学生用书第72页
探究一　利用向量方法求两异面直线所成角
　[教材P111习题3.2A组1题]如图，点M，N分别是正方体ABCD?A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，求：
(1)MN和CD′所成角的大小；
(2)MN和AD所成角的大小．
解析：以，，为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，设正方体棱长为1，则C(0,1,0)，D′(0,0,1)，A(1,0,0)，M，N，
∴＝(0，－1,1)，＝(－1,0,0)，＝.
(1)∵cos〈，〉＝＝＝，
∴〈，〉＝60°，即MN和CD′所成角的大小为60°.
(2)∵cos〈，〉＝＝＝，
∴〈，〉＝45°，即MN和AD所成角的大小为45°.
[例1]　如图所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角．
[解析]　分别以直线BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(如图)．
设AB＝1，则B(0,0,0)，E，F，C1(0,1,1)，
所以＝，＝(0,1,1)．
于是cos〈，〉＝＝＝，
所以直线EF和BC1所成角的大小为60°.
方法技巧　1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤．
(1)建立适当的空间直角坐标系．
(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标．
(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角．
(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角．
2．求两条异面直线所成的角的两个关注点．
(1)余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角．
(2)范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值．
跟踪探究　1．已知在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为(　　)
A.　　　　　　
B.
C．－
D．－
解析：∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，
∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，
∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，
∴cos〈，〉＝
＝＝，
又异面直线所成角的范围是，
∴AB1与ED1所成角的余弦值为.
故选A.
答案：A
探究二　利用向量方法求直线与平面所成角
　[教材P113页习题3.
2A组10题]如图，线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，CD＝25，求线段BD与平面α所成的角．
解析：＝＋＋，⊥，⊥，
＝＋＋＋2·＋2·＋2·，
∴252＝242＋72＋242＋2×24×24·cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝－，∴〈，〉＝120°，
∴AC与BD的夹角为60°，
∴BD与平面α所成的角为30°.
[例2]　如图，在四棱锥P?ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．
(1)求证：PB⊥DM；
(2)求BD与平面ADMN所成的角．
[解析]　(1)证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
设BC＝1，
则A(0,0,0)，
P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,1,0)，M.
∵·＝(2,0，－2)·＝0，
∴PB⊥DM.
(2)∵·＝(2,0，－2)·(0,2,0)＝0，
∴PB⊥AD.
又∵PB⊥DM，AD∩DM＝D，
∴PB⊥平面ADMN.
即为平面ADMN的一个法向量．
因此〈，〉的余角即是BD与平面ADMN所成的角．
∵cos〈，〉＝
＝＝，
且〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝，
∴BD与平面ADMN所成的角为.
方法技巧　1.利用向量方法求直线与平面夹角的两种思路．
(1)思路一：根据线面角的定义，若直线PA与平面α相交于点A，PO⊥α于点O，则AO即为直线PA在平面内的射影，这时直线与平面所成角θ＝〈，〉．
(2)思路二：利用平面的法向量，将直线与平面所成的角转化为其方向向量与平面法向量所成的锐角的余角进行求解．
以上两种思路中，思路一需要用到线面角的定义，在解题中并不实用，而思路二则不需要找出要求的角，只需利用法向量求解即可，因此一般多采用思路二．
2．利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线PA的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)设线面角为θ，则sin
θ＝.
跟踪探究　2.如图所示，三棱柱ABC?A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
解析：(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.
∵CA＝CB，∴OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B为等边三角形，∴OA1⊥AB.
∵OC∩OA1＝O，∴AB⊥平面OA1C.
又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.
又平面ABC⊥平面AA1B1B，
交线为AB，OC?平面ABC，
所以OC⊥平面AA1B1B，
故OA，OA1，OC两两垂直．
以O为坐标原点，OA，OA1，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
设AB＝2，则A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)，
则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，－，)．
设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，
则即
可取n＝(，1，－1)．
故cos〈n，〉＝＝－，
∴A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.
探究三　利用向量方法求二面角
　[阅读教材P106例2]如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处．从A，B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值．
题型：利用向量法求二面角的大小．
方法步骤：(1)根据向量加法法则表示出；
(2)根据a2＝|a|2，求出·；
(3)根据·求出与的夹角即为二面角的平面角．
[例3]　如图所示，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角A?A1D?B的余弦值．
[解析]　取BC的中点O，连接AO，因为△ABC是正三角形，所以AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO?平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，分别以OB，OO1，OA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．
设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)，
＝(－1,1，－)，＝(0,2,0)．
因为n⊥，n⊥，
所以得
所以
令z＝1，得n＝(－，0,1)为平面A1AD的一个法向量．
又因为＝(1,2，－)，＝(－2,1,0)，＝(－1,2，)，
所以·＝－2＋2＋0＝0，
·＝－1＋4－3＝0，
所以⊥，⊥，
即AB1⊥BD，AB1⊥BA1，
且BD∩BA1＝B，
所以AB1⊥平面A1BD，
所以是平面A1BD的一个法向量，
所以cos〈n，〉＝
＝＝－，
又二面角A?A1D?B为锐二面角，
所以二面角A?A1D?B的余弦值为.
方法技巧　利用向量方法求二面角的大小时，多采用法向量法，即求出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小，但利用这种方法求解时，要注意结合图形观察分析，确定二面角是锐二面角还是钝二面角，不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来．
跟踪探究　3．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，求二面角B1?A1C?C1的大小．
解析：如图，建立空间直角坐标系．则A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)，
设AC的中点为M，连接BM，因为BM⊥AC，BM⊥CC1，
所以BM⊥平面A1C1C，
即＝(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量．
设平面A1B1C的一个法向量是n＝(x，y，z)，＝(－2,2，－2)，＝(－2,0,0)，
所以n·＝－2x＝0，n·＝－2x＋2y－2z＝0，
令z＝1，解得x＝0，y＝1，
故n＝(0,1,1)．
设法向量n与的夹角为φ，二面角B1?A1C?C1的大小为θ，显然θ为锐角．
因为cos
θ＝|cos
φ|＝＝，
解得θ＝，
所以二面角B1?A1C?C1的大小为.
探究四　空间中的距离
　[阅读教材P105例1]如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
题型：利用向量求空间中的距离．
方法步骤：(1)不妨设三棱AB、AD、AA1的长为1；
(2)利用向量的加法法则＝＋＋；
(3)将上式两边平方，得2＝6，即||＝即为所求．
[例4]　已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
[解析]　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)．
所以＝(0,1,0)，＝(－2,1,1)，＝(－1，－1,2)．
设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，
点A到平面EFG的距离为d，
则所以
所以
令z＝1，此时n＝(1,1,1)，
所以d＝＝＝，
即点A到平面EFG的距离为.
方法技巧　向量法求距离
(1)求P，Q两点间的距离，可转化为求的模．
(2)点到平面距离的求法：设n是平面α的法向量，B是平面α外一点，A是平面α内一点，AB是平面α的一条斜线，则点B到平面α的距离为d＝.
(3)线面距离、面面距离均可转化为点面距离求解．
跟踪探究　4.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，DG＝DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求D1A1到平面EFGH的距离．
解析：因为点E，F分别为BB1，CC1的中点，
所以EF∥B1C1∥A1D1.
又因为A1D1?平面EFGH，
EF?平面EFGH，
所以A1D1∥平面EFGH，
所以点D1到平面EFGH的距离即为D1A1到平面EFGH的距离．
以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
则E，F，G，D1(0,0,1)，
所以＝(－1,0,0)，
＝.
设平面EFGH的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝6，可得n＝(0，－1,6)．
设D1A1到平面EFGH的距离为d，连接D1F，
又＝，
所以d＝＝，
即D1A1到平面EFGH的距离为.
授课提示：对应学生用书第73页
[课后小结]
　利用空间向量求空间角的基本思路是把空间角转化为两个向量夹角的关系，解决方法一般有两种，即坐标法和基向量法，当题目中有明显的线面垂直关系时，尽量建立空间直角坐标系，用坐标法解决．需要注意的是要理清所求角与向量夹角之间的关系，以防求错结果．
[素养培优]
1．对空间角与向量夹角之间的关系理解不清致误
在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为________．
易错分析　将向量夹角的余弦值等同于二面角的余弦值．
自我纠正　因为cos
θ＝
＝＝，所以这个二面角的余弦值为或－.
答案：或－
2．正方体ABCD?A1B1C1D1中，求二面角A?BD1?C的大小．
易错分析　用法向量的夹角判断二面角的大小时出现错误，根据法向量的方法可知，二面角为钝角，而不是锐角．
自我纠正　以D为坐标原点，DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)．
由题意知＝(1,0,1)是平面ABD1的一个法向量，
＝(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量．
所以cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝60°.
所以二面角A?BD1?C的大小为120°.
PAGE第2课时　利用向量证明空间中的垂直关系
内　容　标　准
学　科　素　养
1.理解垂直关系与直线方向向量、平面法向量的关系．2.掌握利用空间向量证明线线垂直、线面垂直、面面垂直的基本方法.
利用直观想象发展逻辑推理
授课提示：对应学生用书第68页
[基础认识]
知识点一　线线垂直
立体几何中怎样证明两条直线垂直？
提示：法一：证明两条直线所成的角为90°；
法二：先证明线面垂直，再由线面垂直的性质证明线线垂直．　　　
知识梳理　线线垂直
设直线l，m的方向向量分别为a，b，则
(1)l⊥m?a⊥b?a·b＝0；
(2)当a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)时，l⊥m?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
知识点二　线面垂直
立体几何中直线与平面垂直是怎样判定的？
提示：法一：该直线与平面内的两条相交直线垂直，可以得到线面垂直．
法二：若两条平行线中的一条直线与平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．　　　
(1)已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，若m∥n，则l⊥α.
(2)已知直线l的方向向量为m，平面α内有两条相交直线a，b，
a∩b＝O，直线a，b的方向向量为a，b，
若?m⊥α?l⊥α.
知识梳理　线面垂直
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则
(1)l⊥α?a∥n?a＝λn(λ∈R)；
(2)当a＝(a1，b1，c1)，n＝(a2，b2，c2)，l⊥α?(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)．
知识点三　面面垂直
知识梳理　设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则
(1)α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0；
(2)当n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)时，α⊥β?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
[自我检测]
1．直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则(　　)
A．l1∥l2
B．l1与l2相交，但不垂直
C．l1⊥l2
D．不能确定
答案：C
2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　　　　　
B．－5
C．4
D．－2
答案：B
授课提示：对应学生用书第68页
探究一　利用向量方法证明线线垂直
　[教材P111练习1]
如图，空间四边形ABCD的每条边和AC，BD的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD.
证明：设一个基底＝a，＝b，＝c，则＝－＝b＋c－a，＝－＝c－b.
∵·＝·a
＝a·b＋a·c－a2
＝a2＋a2－a2＝0，
∴⊥.
·＝·(c－b)
＝b·c＋c2－a·c－b2－b·c＋a·b＝0，
∴⊥，∴MN⊥AB，MN⊥CD.
[例1]　已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.
求证：AB1⊥MN.
[证明]　设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由已知得A，
B，C，
N，B1，
∵M为BC中点，
∴M.
∴＝，＝(1,0,1)，
∴·＝－＋0＋＝0.
∴⊥，∴AB1⊥MN.
方法技巧　利用向量方法证明线线垂直的方法
利用向量方法证明线线垂直，其思路是证明两条直线的方向向量互相垂直，具体方法有以下两种．
(1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直；
(2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．
跟踪探究　1.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.
证明：∵直三棱柱ABC?A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，C1C两两垂直．
如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，
∵＝(－3,0,0)，＝(0，－4,4)，
∴·＝0.∴AC⊥BC1.
探究二　利用向量方法证明线面垂直
　[教材P107练习1]如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别是BB1，CD的中点，求证：D1F⊥平面ADE.
证明：以、、为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz(图略)．设正方体棱长为1，则D1(0,0,1)，F，A(1,0,0)，E，
∴＝，＝，
＝.
∵·＝－＝0，∴D1F⊥DE.
∵·＝－＝0，∴D1F⊥AE.
又AE∩DE＝E，∴D1F⊥平面ADE.
[例2]　如图所示，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD.
[证明]　如图所示，取BC的中点O，连接AO.
因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO?平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，OB，OO1，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．
所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)，
＝(－2,1,0)．
因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.
·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.
所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.
又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.
方法技巧　利用空间向量证明线面垂直的方法
(1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，在平面内找出两个不共线的向量，也用基向量表示，然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
(2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标，然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
(3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．
跟踪探究　2.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：直线PB1⊥平面PAC.
证明：如图，以D为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，
＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(1,1,1)．
·＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0，
所以⊥，即PB1⊥PC.
又·＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，
所以⊥，即PB1⊥PA.
又PA∩PC＝P，所以PB1⊥平面PAC.
探究三　利用向量法证明面面垂直
　[教材P112页习题3.2A组2题改编]如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1，求证：平面ACD1⊥平面B1DB.
证明：以，，为正交基底建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
＝(1,1,1)，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，
∵·＝－1＋1＝0，
∴DB1⊥AC.
又·＝－1＋1＝0，
∴DB1⊥AD1.
∵AC∩AD1＝A，∴DB1⊥平面ACD1.
又∵DB1?平面DB1B，
∴平面ACD1⊥平面B1DB.
[例3]　三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
[证明]　法一：如图，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)．
∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1,1,0)，
∴＝(1,1,0)，＝(0,0，)，
＝(－2,2,0)，
∴·＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，
·＝0×(－2)＋0×2＋×0＝0，
∴⊥，⊥，
∴BC⊥AD，BC⊥AA1.
又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD.
又BC?平面BCC1B1，
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
法二：同方法一建系后，
得＝(0,0，)，
＝(1,1,0)，＝(－2,2,0)，
＝(0，－1，)．
设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，
∴n1＝(1，－1,0)．
由得
令y2＝1，则x2＝1，z2＝，
∴n2＝.
∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2，
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
方法技巧　1.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．
跟踪探究　3.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．
(1)求证：平面AED⊥平面A1FD1；
(2)在直线AE上求一点M，使得A1M⊥平面AED.
解析：(1)证明：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，
A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，
∴＝＝(2,0,0)，＝(2,2,1)，＝(0,1，－2)．
设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
由
得
令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．
同理，平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0,2,1)．
∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面A1FD1.
(2)由于点M在直线AE上，
因此可设＝λ＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，
则M(2,2λ，λ)，∴＝(0,2λ，λ－2)．
要使A1M⊥平面AED，只需∥n1，
即＝，解得λ＝.
故当AM＝AE时，A1M⊥平面AED.
授课提示：对应学生用书第70页
[课后小结]
　(1)用空间向量解决立体几何中的垂直问题，主要运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也需要借助空间中已有的位置关系及关于垂直的定理．
(2)应用向量证明垂直问题的基本步骤：
①建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系，选取适当的基底)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线和平面；
②通过向量运算研究垂直问题；
③根据运算结果解释相关问题．
[素养培优]
　利用平面的法向量求解空间中的探索性问题
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.
思路点拨　建立直角坐标系，设出点P的坐标，将平面垂直当作已知条件．利用它们的法向量垂直可得P点坐标．
解析：如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，P(0,1，a)，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E，C1(0,1,1)，
＝(0,1,0)，＝(－1,1，a－1)，＝，＝(0,1,1)．
设平面A1B1P的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则?
∴x1＝(a－1)z1，y1＝0.
令z1＝1，得x1＝a－1，
∴n1＝(a－1,0,1)．
设平面C1DE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则??
令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1，
∴n2＝(－2,1，－1)．
∵平面A1B1P⊥平面C1DE，
∴n1·n2＝0，即－2(a－1)－1＝0，得a＝.
∴当P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.
思维启示　立体几何中探索性、存在性问题的思维层次较高，分析时应特别注意．本题考查面面垂直关系的逆用，由题意设出探求点的坐标，求出两平面的法向量是解题的关键．
PAGE3．2　立体几何中的向量方法
第1课时　用空间向量解决立体几何中的平行问题
内　容　标　准
学　科　素　养
1.理解直线的方向向量与平面的法向量．2.掌握用待定系数法求平面法向量的方法．3.掌握利用向量证明空间中的平行关系的基本方法.
利用直观想象发展逻辑推理提升数学运算
授课提示：对应学生用书第65页
[基础认识]
知识点一　直线的方向向量与平面的法向量
为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来，那么如何用向量表示空间中的点、直线、平面的位置呢？
(1)取一定点O作为基点，那么空间中任
意一点P的位置就可以用向量来表示．
(2)空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．点A是直线l上一点，向量a表示直线l的方向(方向向量)．在直线l上取＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得＝t.
这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点．
(3)空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．
设这两条直线相交于点O，
它们的方向向量分别为a和b，P为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb.
这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α内的任意一点．
另外也可以用平面的法向量表示空间中平面的位置．　　　
知识梳理　直线的方向向量与平面的法向量
(1)用向量表示直线的位置
条件
直线l上一点A
表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量)
形式
在直线l上取＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得＝t
作用
定位置
点A和向量a可以确定直线l的位置
定点
可以具体表示出l上的任意一点
(2)用向量表示平面的位置
①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：
条件
平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O
形式
对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得＝xa＋yb
②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：
平面的法向量
直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量
确定平面位置
过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的
(3)直线的方向向量和平面的法向量
直线的方向向量
能平移到直线上的非零向量a，叫做直线l的一个方向向量
平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的方向向量n，叫做平面α的法向量
注意：平面的法向量及其求法
在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：
(1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(2)找出(求出)平面内的两个相交的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；
(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组
(4)解方程组，取其中的一个n的坐标，即得平面的一个法向量．
知识点二　用空间向量处理平行关系
知识梳理　设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行
l∥m?a∥b?a＝kb(k∈R)
线面平行
l∥α?a⊥μ?a·μ＝0
面面平行
α∥β?μ∥v?μ＝kv(k∈R)
[自我检测]
1．若两条直线的方向向量分别是a＝(2,4，－5)，b＝(－6，x，y)，且两条直线平行，则x＝________，y＝________.
答案：－12　15
2．已知直线l的方向向量为a＝(－1,2,0)，平面α的法向量为n＝(2,1，－1)，则(　　)
A．l⊥α　　　　　　　
B．l∥α
C．l?α
D．l∥α或l?α
答案：D
3．已知A(1,2,3)，B(0,1,2)，C(－1,3,2)，则平面ABC的一个法向量为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：A
授课提示：对应学生用书第66页
探究一　利用方向向量和法向量判定线线、
线面、面面的位置关系
[教材P104练习2]设u，v分别是平面α，β的法向量，根据下列条件判断平面α，β的位置关系：
(1)u＝(－2,2,5)，v＝(6，－4,4)；
(2)u＝(1,2，－2)，v＝(－2，－4,4)；
(3)u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)．
解析：(1)∵u·v＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.
(2)∵u∥v，∴α∥β
或α与β重合．
(3)∵u与v不垂直，也不平行，∴α与β相交．
[例1]　根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：
(1)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；
(2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)；
(3)平面α与β的法向量分别是u＝(1，－1,2)，v＝；
(4)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)；
(5)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(0，－8,12)，u＝(0,2，－3)．
[解析]　(1)∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，
∴a＝－b，∴a∥b，即l1∥l2.
(2)∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)，∴a，b既不共线也不垂直，即l1与l2相交或异面．
(3)∵u＝(1，－1,2)，v＝，
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即α⊥β.
(4)∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，
∴u·v≠0且u≠kv(k∈R)
，∴u与v既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直．
(5)∵a＝(0，－8,12)，u＝(0,2，－3)，
∴u＝－a，∴u∥a，即l⊥α.
方法技巧　(1)两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面．
(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．
(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行或重合(垂直)；否则两平面相交但不垂直．
跟踪探究　1.设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________.
解析：∵α∥β，∴(1,3，－2)＝λ(－2，－6，k)，
∴∴λ＝－，k＝4.
答案：4
探究二　求平面的法向量
[例2]　已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，试求出平面ABC的一个法向量．
[解析]　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．
∵A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，
∴＝(－2,1,3)，＝(1，－1,0)．
则有即
解得令z＝1，则x＝y＝3.
故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1)．
方法技巧　求平面法向量的方法与步骤
(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，；
(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(3)联立方程组并求解；
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．
跟踪探究　2.如图所示，在四棱锥S?ABCD中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．
解析：如图，以A为原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，
则＝，＝.
易知向量＝是平面SAB的一个法向量．
设n＝(x，y，z)为平面SDC的法向量，
则
即
取x＝2，则y＝－1，z＝1，
∴平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)．
探究三　利用空间向量证明线面平行
　[教材P118复习参考题A组13题节选]如图，点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求证：BD∥平面EFGH.
证明：(1)∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴＝.
同理＝，∴＝.
又∵E，F，H，G不共线，
∴E，F，G，H四点共面．
(2)∵E，H分别为AB，AD的中点，
∴＝，∴∥，
∴DB∥HE.
又∵HE?平面EFGH，BD?平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH.
[例3]　(1)在四棱锥P?ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.
[证明]　如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.
法一：连接AC，交BD于点G，连接EG，
依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E.
因为四边形ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，所以＝.
又＝(a,0，－a)，
所以＝2，这表明PA∥EG.
而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
法二：设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
又＝，
＝，
则有
即
即
令z＝1，则所以n＝(1，－1,1)，
又＝(a,0，－a)，
所以n·＝(1，－1,1)·(a,0，－a)＝a－a＝0.
所以n⊥.又PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.
法三：假设存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
即(a,0，－a)＝λ＋μ，
则有
解得
所以＝－＋，又PA?平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
(2)在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CD1B1.
[证明]　以D为原点，分别以向量，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系．
设棱长为1，则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，
∴＝(－1,0，－1)，
＝(0,1，－1)，＝(1,1,0)，＝(0,1，－1)．
设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
?
令z1＝1，
得x1＝－1，y1＝1.
∴平面A1BD的一个法向量为n1＝(－1,1,1)．
设平面CD1B1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则?
令y2＝1，
得x2＝－1，z2＝1，
∴n2＝(－1,1,1)．
∴n1＝n2，即n1∥n2.
∴平面A1BD∥平面CD1B1.
方法技巧　利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：
方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．
方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直．
跟踪探究　3.如图，已知在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD.
解析：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，
如图，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．
不妨令P(0,0，t)，
∴＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)．
设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，解得x＝y＝，
∴n＝.
设点G的坐标为(0,0，m)，
又E，则＝.
要使EG∥平面PFD，只需·n＝0，
即×＋0×＋m×1＝0，
即m－＝0，
解得m＝t，从而满足AG＝AP的点G即为所求．
授课提示：对应学生用书第67页
[课后小结]
(1)利用向量解决立体几何问题的“三部曲”：
①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
②进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；
③根据运算结果的几何意义来解释相关问题．
(2)证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．
[素养培优]
　忽视直线与平面平行的条件致误
若直线l的方向向量为a＝(3，－1,4)，平面α的法向量为n＝，则直线l与平面α的位置关系是________．
易错分析　直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线可能与平面平行，也可能在平面内．考查直观想象和逻辑推理的学科素养．
自我纠正　因为a·n＝(3，－1,4)·＝0，
所以a⊥n.所以l∥α或l?α.故填l∥α或l?α.
答案：l∥α或l?α
PAGE3．1.5　空间向量运算的坐标表示
内　容　标　准
学　科　素　养
1.掌握空间向量运算的坐标表示．2.掌握空间向量平行与垂直的条件及其应用．3.掌握空间向量的模、夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题.
应用直观想象提升逻辑推理和数学运算
授课提示：对应学生用书第63页
[基础认识]
知识点一　空间向量线性运算的坐标表示
(1)已知向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如何表示a＋b，a－b，λa，a·b，|a|.
提示：a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)　a－b＝(a1－b1，a2－b2)　λa＝(λa1，λa2)　a·b＝a1b1＋a2b2，　|a|＝.
(2)如果a∥b(b≠0)，则a，b坐标满足什么关系，a⊥b呢？
提示：a1b2－a2b1＝0　a1b1＋a2b2＝0.　　　
知识梳理　空间向量的坐标运算法则
设向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
(λa1，λa2，λa3)
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
知识点二　空间向量平行与垂直条件的坐标表示
知识梳理　若向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
(2)a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
知识点三　空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示
知识梳理　若向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)|a|＝＝；
(2)cos〈a，b〉＝＝；
(3)若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则A，B两点间的距离为
dAB＝||＝.
[自我检测]
1．已知空间向量m＝(1，－3,5)，n＝(－2,2，－4)，则有m＋n＝________，3m－n＝________，(2m)·(－3n)＝________.
答案：(－1，－1,1)　(5，－11,19)　168
2．已知空间向量a＝(2，λ，－1)，b＝(λ，8，λ－6)，若a∥b，则λ＝________，若a⊥b，则λ＝________.
答案：4　－
3．已知a＝(－，2，)，b＝(3，6,0)，则|a|＝________，a与b夹角的余弦值等于________．
答案：3　
授课提示：对应学生用书第63页
探究一　空间向量的坐标运算
　[教材P97练习1]已知a＝(－3,2,5)，b＝(1,5，－1)．求：
(1)a＋b；(2)3a－b；(3)6a；(4)a·b.
解析：(1)a＋b＝(－2,7,4)．(2)3a－b＝(－10,1,16)．
(3)6a＝(－18,12,30)．(4)a·b＝2.
[例1]　(1)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(2a＋3b)·(a－2b)＝________.
(2)已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉等于(　　)
A.　　　　　　　　　
B.
C.
D.
[解析]　(1)法一：(2a＋3b)·(a－2b)＝(26，－13，－2)·(－8,4，－8)＝－244.
法二：(2a＋3b)·(a－2b)＝2a2－a·b－6b2
＝2×36－22－6×49＝－244.
(2)a＋b＝(2，，2)，
a－b＝(0，，0)，
∴a＝(1，，)，
b＝(1,0，)，
∴a·b＝4，|a|＝，|b|＝2，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
故选C.
[答案]　(1)－244　(2)C
方法技巧　1.一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
跟踪探究　1.若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
解析：∵(c－a)·(2b)＝－2，
∴2b·c－2a·b＝－2，
即8－2(3＋x)＝－2.
∴x＝2.
答案：2
探究二　空间向量平行、垂直的坐标表示
　[阅读教材P96例6]如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证EF⊥DA1.
题型：用向量法证明垂直关系
方法步骤：①建立空间直角坐标系，写出点E，F，D，A1的坐标；
②求出向量，的坐标；
③求出·＝0，因此EF⊥DA1.
[例2]　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，
C(－3,0,4)，设＝a，＝b.
(1)设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
[解析]　(1)因为a＝＝(1,1,0)，
b＝＝(－1,0,2)，所以2a－b＝(3,2，－2)，又c＝，所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c.
(2)因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，
所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或－.
方法技巧　1.平行与垂直的判断
(1)应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线．
(2)判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.
2．平行与垂直的应用
(1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程．
(2)选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
跟踪探究　2.已知空间向量a＝(－1,2，－3)，b＝(2，－4，x)，c＝(4，y,6)．
(1)若m∥a，且|m|＝2，求向量m；
(2)若a⊥c，求实数y的值；
(3)若(2a－b)∥(a＋3b)，求实数x的值．
解析：(1)由于m∥a，可设m＝λa＝λ(－1,2，－3)＝(－λ，2λ，－3λ)．
因为|m|＝2，
所以＝2，
即λ2＝2，解得λ＝±.
故m＝(－，2，－3)或m＝(，－2，3)．
(2)因为a⊥c，所以a·c＝0，
即－4＋2y－18＝0，解得y＝11.
(3)由已知得2a－b＝(－4,8，－6－x)，a＋3b＝(5，－10，3x－3)，而(2a－b)∥(a＋3b)，
所以＝＝，解得x＝6.
探究三　空间向量的夹角与长度的计算
　[阅读教材P96例5]如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E1，F1分别是A1B1，C1D1的一个四等分点，求BE1与DF1所成角的余弦值．
题型：利用数量积求异面直线所成的角．
方法步骤：(1)建立适当的空间直角坐标系．
(2)写出和的坐标，并求出·及||，||.
(3)由cos〈，〉＝，从而求BE1与D1F所成角的余弦值．
[例3]　棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长．
[解析]　(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，F，G.
所以＝，
＝，＝，＝.
因为·＝×＋×＋×0＝0，
所以⊥，即EF⊥CF.
(2)因为·＝×1＋×0＋×＝，
||＝＝，
||＝＝，
所以cos〈，〉＝
＝＝.
又因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为.
(3)|CE|＝||＝＝.
方法技巧　通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．
跟踪探究　3.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC?A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
解析：如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
∴||＝＝，
∴线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(－1,1，－2)，＝(0，－1，－2)，
∴·＝(－1)×0＋1×(－1)＋(－2)×(－2)＝3.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又异面直线所成角为锐角或直角，
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
授课提示：对应学生用书第64页
[课后小结]
(1)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，只是多了对竖坐标的运算．
(2)利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直；可以求向量的模以及两个向量的夹角．
(3)几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．
[素养培优]
1．忽略向量的方向致误
在△ABC中，已知＝(2,4,0)，＝(－1,3,0)，则∠ABC＝________.
易错分析　解答的错误是忽视向量的方向，事实上，∠ABC的大小不是向量，的夹角，而是向量，的夹角．考查直观想象、逻辑推理的学科素养．
自我纠正　∵＝(－2，－4,0)，＝(－1,3,0)，
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∴∠ABC＝135°.
答案：135°
2．忽视两个向量夹角为锐角(钝角)的条件致误
已知a＝(x，－2,3)，b＝(3,1－x，x)，且a与b的夹角为锐角，求实数x的取值范围．
易错分析　若a，b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则有可能a与b同向．考查逻辑推理的学科素养．
自我纠正　因为a，b的夹角为锐角，所以a·b>0，
即3x－2(1－x)＋3x＝8x－2>0，则x>.
又当夹角为0°时，存在λ>0，使b＝λa，
所以解得x＝3，因此实数x的取值范围为∪(3，＋∞).
PAGE3．1.4　空间向量的正交分解及其坐标表示
内　容　标　准
学　科　素　养
1.掌握空间向量基本定理，会用空间向量基本定理解决问题．2.了解空间向量正交分解的含义．3.理解空间向量坐标的含义，能用坐标表示空间向量.
应用直观想象发展逻辑推理提升数学运算
授课提示：对应学生用书第60页
[基础认识]
知识点一　空间向量基本定理
我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示(平面向量基本定理)．对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
如图，设i，j，k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O.对于空间任意一个向量p＝，设点Q为点P在i，j所确定的平面上的正投影，由平面向量基本定理可知，在，k所确定的平面上，存在实数z，使得＝＋zk.
在i，j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对(x，y)，使得
＝xi＋yj.
从而
＝＋zk＝xi＋yj＋zk.
由此可知，如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p，存在一个有序实数组{x，y，z}，使得
p＝xi＋yj＋zk.
在空间中，如果用任意三个不共面向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，可以得出类似的结论．　　　
知识梳理　空间向量基本定理
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
知识点二　空间向量的正交分解及其坐标表示
知识梳理　(1)单位正交基底
三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．
(2)空间直角坐标系
以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.
(3)空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p.由空间向量基本定理可知，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．
[自我检测]
1．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　)
A．a　　　　　　　　
B．b
C．a＋2b
D．a＋2c
答案：D
2．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则等于(　　)
A．i＋j＋k
B.i＋j＋k
C．3i＋2j＋5k
D．3i＋2j－5k
答案：C
3．若a＝3e1＋2e2－e3，且{e1，e2，e3}为空间的一个单位正交基底，则a的坐标为________．
答案：(3,2，－1)
授课提示：对应学生用书第61页
探究一　对基底与基向量的理解
　[教材P94练习1]已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，从a，b，c中选哪一个向量，一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成空间的另一个基底？
解析：向量c一定可以与p，q一起构成空间的另一个基底．
∵p＝a＋b，q＝a－b与a，b共面，只有c不与p，q共面．
[例1]　判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)空间任意三个不共线的向量均可作为一组基底；
(2)基向量中可以含有零向量，但至多一个；
(3)如果向量a，b与空间任何向量都不能构成一组基底，那么向量a，b一定是共线向量；
(4)如果向量组{a，b，c}是空间的一个基底，且m＝a＋c，那么{a，b，m}也是空间的一组基底．
[解析]　(1)错误，因为空间中三个不共面的向量才能构成一组基底．
(2)错误，基向量中一定不可以含有零向量．
(3)正确，向量a，b与空间任何向量都不能构成一组基底，说明向量a，b与空间任何向量都是共面向量，从而a，b一定是共线向量．
(4)正确，因为若a，b，m共面，则存在唯一实数对(x，y)，使得m＝xa＋yb，即a＋c＝xa＋yb，所以(x－1)a＋yb－c＝0，而a，b，c不共面，所以x－1＝y＝－1＝0，这显然不成立，故a，b，m不共面，即{a，b，m}也是空间的一组基底．
方法技巧　1.对于基底{a，b，c}，(1)a，b，c一定不共面；(2)a，b，c中一定没有零向量．
2．判断a，b，c可否作为空间的一个基底，即判断a，b，c是否共面，若不共面则可以作为基底，否则不能作为基底，实际判断时，假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理建立λ，μ的方程组，若有解则共面，否则不共面．
跟踪探究　1.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．
解析：假设，，共面，
则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3.
∵e1，e2，e3不共面，
∴此方程组无解，
∴，，不共面，故{，，}能作为空间的一个基底．
探究二　用基底表示空间向量
　[阅读教材P94例4]如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点．用向量，，表示和.
题型：用基底表示空间向量
方法步骤：(1)利用向量加法的三角形法则
＝＋；
＝＋.
(2)由M，N，P，Q的位置，根据向量的数乘运算得出
＝＋＋；
＝＋＋.
[例2]　如图，四棱锥P?OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，.
[解析]　连接BO，
则＝
＝(＋)＝(c－b－a)
＝－a－b＋c.
＝＋＝－a＋
＝－a＋(＋)
＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＋(＋)
＝－a＋c＋(－c＋b)
＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
方法技巧　1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的．
2．用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示．
3．在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底．
跟踪探究　2.如图所示，已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1，设＝a，＝b，＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2).
解析：如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中连接AC，AD1，
(1)＝(＋)
＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．
(2)＝(＋)
＝(＋2＋)
＝a＋b＋c.
探究三　空间向量的坐标表示
　[教材P97练习2]
如图，正方体的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学进行交流．
解析：以OA，OC，OO′为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，O′(0,0,2)，A′(2,0,2)，B′(2,2,2)，C′(0,2,2)．
[例3]　在直三棱柱ABO?A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求，的坐标．
[解析]　由题意OA⊥OB，OO1⊥OA，OO1⊥OB，所以以OA，OB，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．则O(0,0,0)，O1(0,0,4)，A(4,0,0)，B(0,2,0)，A1(4,0,4)，B1(0,2,4)，∴D(2,1,4)，
∴＝(－2，－1，－4)，＝(－4,2，－4)．
方法技巧　1.建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此要充分利用题目中所给的垂直关系，即线线垂直、线面垂直、面面垂直，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的把直角边放在坐标轴上．
2．求空间向量坐标的一般步骤：
(1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
(2)运算：综合利用向量的加减及数乘运算；
(3)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标．
跟踪探究　3.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，建立适当坐标系，求向量的坐标．
解析：以AD，AB，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，
则M，
N.
∴＝.
授课提示：对应学生用书第62页
[课后小结]
　(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，任一向量可由基底唯一表示．
(2)向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示，表示时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算．
[素养培优]
1．用错线段的关系式致误
已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，设＝a，＝b，＝c，则用基底{a，b，c}表示为________．
易错分析　由OM＝2MA，误以为M为线段OA的中点，得＝，导致本题错误．考查直观想象、逻辑推理的学科素养．
自我纠正　∵N为BC的中点，∴＝(＋)．
又OM＝2MA，则＝，
∴＝－＝(＋)－＝b＋c－a.
答案：b＋c－a
2．建立空间直角坐标系不当致误
如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，则，的坐标分别为________，________.
易错分析　解答本题时，容易以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建错空间直角坐标系，这里忽视了向量所在直线的垂直性而致误．考查直观想象的学科素养．
自我纠正　分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．
则A，B1，C1，
于是＝，＝.
答案：　
PAGE3．1.3　空间向量的数量积运算
内　容　标　准
学　科　素　养
1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法．2.掌握空间向量数量积及运算律．3.能用空间向量的数量积解决立体几何问题.
利用直观想象发展逻辑推理提高数学运算
授课提示：对应学生用书第57页
[基础认识]
知识点一　空间向量的夹角
(1)如图所示的等边三角形ABC中，，的夹角是60°吗？
提示：不是．
(2)如图，已知在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是AA1和D1C1的中点，如何确定和的夹角．
提示：与平面向量的夹角定义一样，上图中与的夹角就是与的夹角．
即∠AGE就是与的夹角．　　　
知识梳理　空间向量的夹角
(1)如图所示，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)a，b为非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉，a与b的夹角的范围是[0，π]，其中当〈a，b〉＝0时，a与b方向相同；当〈a，b〉＝π时，a与b方向相反；当〈a，b〉＝时，a与b互相垂直．反之，若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；若a⊥b，则〈a，b〉＝.
知识点二　空间向量的数量积及其性质
平面向量的数量积a·b的结果怎样？这一结果是向量还是数量？数量积满足什么运算律？
提示：|a||b|cos
α(α为a与b的夹角)是数量．
交换律a·b＝b·a.
分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
类比平面向量的数量积运算的定义，可以推广到空间向量的数量积的定义及运算律．　　　
知识梳理　数量积的概念及运算律
(1)已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的性质
①a⊥b?a·b＝0.
②|a|2＝a·a，|a|＝.
③cos〈a，b〉＝.
(3)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)．
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
特别提醒：不满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．
[自我检测]
1．在正四面体ABCD中，与的夹角等于(　　)
A．30°　　　　　　　　
B．60°
C．150°
D．120°
答案：D
2．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长等于2，则·等于(　　)
A．2
B．2
C．4
D．4
答案：C
3．已知空间向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则a·(2a－3b)＝________.
答案：5
授课提示：对应学生用书第57页
探究一　求空间向量的数量积
　[教材P98习题3.1A组4题]如图，已知空间四边形ABCD的每条边及AC，BD的长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，求：
(1)·；(2)·；
(3)·；(4)·；(5)·；(6)·.
解析：(1)·＝||·||·cos
60°＝a2.
(2)·＝||·||cos
120°＝－a2.
(3)·＝||·||cos
180°
＝－a2.
(4)·＝||·||cos
60°
＝a2.
(5)·＝||·||cos
120°
＝－a2.
(6)·＝·
＝·
＝·＋·＋·
＝||·||cos
120°＋||||·cos
60°＋||·||cos
60°＝a2.
[例1]　已知长方体ABCD?A1B1C1D中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：
(1)·；(2)·；(3)·.
[解析]　如图，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝b·＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2
＝22－22＝0.
(3)·＝·
＝(－a＋b＋c)·
＝－|a|2＋|b|2＝2.
方法技巧　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
跟踪探究　1.已知空间向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角为150°，求下列各式的值．
(1)a·b；(2)(a＋2b)·(2a－3b)．
解析：∵|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角为150°
(1)∴a·b＝4×8×cos
150°＝－16.
(2)(a＋2b)·(2a－3b)＝2a2＋a·b－6b2
＝2×42＋(－16)－6×82
＝－352－16.
探究二　利用数量积求夹角
　[教材P92练习(1)]如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为(　　)
A．60°
B．90°
C．105°
D．75°
解析：设BB1＝1，则AB＝，＝－，＝＋，
∴·＝(－)·(＋)＝2－·
＝1－×·cos
60°＝0，
∴AB1⊥C1B.
答案：B
[例2]　如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求向量与的夹角的大小．
[解析]　法一：因为＝，所以∠D1AC即为向量与的夹角．
因为△D1AC为等边三角形，所以∠D1AC＝60°，即〈，〉＝60°.
所以向量与的夹角为60°.
法二：设正方体的棱长为1，
则·＝(＋)·(＋)
＝(＋)·(＋)
＝·＋＋·＋·＝0＋＋0＋0＝＝1.
又||＝，||＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.
因为〈，〉∈[0°，180°]，
所以〈，〉＝60°.
所以向量与的夹角为60°.
方法技巧　两个非零向量夹角求法的两个途径
(1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解；
(2)利用数量积求夹角：运用公式cos〈a，b〉＝进行求解．
跟踪探究　2.如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
解析：因为＝－，
所以·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝8×4×cos
135°－8×6×cos
120°
＝－16＋24.
所以cos〈，〉＝＝＝，
即OA与BC所成角的余弦值为.
探究三　利用数量积求距离或长度
　[教材P92练习2]如图，在平行六面体ABCD?A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，求AC′的长．
解析：∵＝＋＋，∴＝＋＋＋2·＋2·＋2·
＝16＋9＋25＋2×4×5×＋2×3×5×＝85，
∴||＝，即AC′的长为.
[例3]　正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC?A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长．
[解析]　如图所示，设＝a，＝b，＝c.由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.
因为＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋c，
所以EF2＝||2＝2＝a2＋b2＋c2＋2
＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos
60°
＝1＋1＋4－1＝5，
所以EF＝.
方法技巧　求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示；
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用|a|＝，通过计算求出|a|，即得所求距离．
延伸探究　例3的条件不变，求EC1的长．
解析：由例3的解答知＝＋＝－＋＝b－a＋c，所以||2＝2＝a2＋b2＋c2＋2＝×4＋4＋4－2×2×＝7，所以||＝，即EC1＝.
跟踪探究　3.如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．
解析：∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴〈，〉＝120°.
∵＝＋＋，且·＝0，·＝0，
∴||2＝·＝(＋＋)·(＋＋)
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝||2＋||2＋||2＋2||||cos〈，〉
＝62＋42＋82＋2×6×8×＝68，
∴||＝2，故CD的长为2.
探究四　利用数量积证明垂直问题
　[教材P91例3]如图，m，n是平面α内的两条相交直线．如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.
题型：用向量法证明空间中的垂直关系
方法步骤：(1)在平面α内任作一条直线g.
分别在l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g；
(2)由平面向量基本定理得g＝xm＋yn；
(3)求出l·g＝0得l⊥g，所以l⊥g即l⊥α.
[例4]　如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC.
[证明]　取＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1.
则有＝＋＝a＋b，
＝＋
＝＋＝(－)＋
＝a－b＋c，
∴·＝(a＋b)·
＝|a|2＋a·b－a·b－|b|2＋a·c＋b·c
＝－＝0.
∴⊥，即AC⊥OB1.
∵＝＋＝b＋c，
∴·＝·
＝a·b－|b|2＋c·b＋a·c－b·c＋|c|2
＝－＋＝0，
∴⊥，即OB1⊥AP.
又∵AC∩AP＝A，
∴OB1⊥平面APC.
方法技巧　利用数量积证明垂直问题的一般方法
将所证垂直问题转化为证明线线垂直，然后把直线转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的线性运算以及数量积运算，证明直线所在向量的数量积等于零，即可证明线线垂直．
跟踪探究　4.已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.
证明：如图，设＝a，＝b，＝c，又P，M分别为OA，BC的中点，
∴＝－
＝(b＋c)－a
＝[(b－a)＋c]．
同理，＝(a＋c)－b
＝－[(b－a)－c]．
∴·＝－(|b－a|2－|c|2)．
又AB＝OC，即|b－a|＝|c|，
∴·＝0，
∴⊥，即PM⊥QN.
授课提示：对应学生用书第59页
[课后小结]
(1)因为空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角定义、数量积的意义与性质都与平面向量相同．
(2)求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角，证明两向量垂直可转化为两个向量的数量积为零；求线段的长度可转化为用数量积的求模公式|a|＝；求异面直线的夹角的关键是在两直线上构造向量，使用夹角公式解决．
[素养培优]
1．混淆向量与实数的运算性质致误
已知a，b都是非零向量，且向量a＋3b与7a－5b垂直，向量a－4b与7a－2b垂直，求向量a，b的夹角．
易错分析　向量的运算性质与实数不同，若b·(2a－b)＝0不一定有b＝0或2a－b＝0，本题在此处误当作实数运算而导致了错误．考查直观想象、逻辑推理的学科素养．
自我纠正　由题意得
即
两式相减得46a·b－23b2＝0，
∴b2＝2a·b，代入7a2＋16a·b－15b2＝0，
得a2＝2a·b，
∴a2＝b2＝2a·b，
设a与b的夹角为θ，
∴cos
θ＝＝＝，
∴向量a与b的夹角为60°.
2．向量的夹角与空间角混淆致误
如图所示，在平面角为120°的二面角α?AB?β中，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，则CD＝________.
易错分析　将与的夹角当成了二面角120°致误，混淆了向量的夹角与二面角的概念．考查逻辑推理、转化、化归的思想．
自我纠正　因为AC⊥AB，BD⊥AB，所以·＝0，·＝0.
因为二面角α?AB?β的平面角为120°，所以〈，〉＝180°－120°＝60°.
所以||2＝2＝(＋＋)2＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos
60°＝144，所以CD＝12.
答案：12
PAGE3.1.2　空间向量的数乘运算
内　容　标　准
学　科　素　养
1.掌握空间向量数乘运算的定义及运算律．2.理解向量共线、向量共面的定义．3.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面.
提升逻辑推理发展直观想象
授课提示：对应学生用书第54页
[基础认识]
知识点一　空间向量的数乘运算
平面向量的数乘运算是什么？满足哪些运算律？
提示：(1)实数λ和向量a的乘积仍是一个向量．
(2)|λa|＝|λ||a|.
(3)λa的方向．
当λ>0时，λa的方向与a方向相同；
当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．
(4)数乘运算的运算律
λ(μa)＝(λμ)a；
λ(a＋b)＝λa＋λb.　　　
知识梳理　空间向量的数乘运算
(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
(2)向量a与λa的关系
λ的范围
方向关系
模的关系
λ>0
方向相同
λa的模是a的模的|λ|倍
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
λ<0
方向相反
(3)空间向量的数乘运算律
若λ，μ是实数，a，b是空间向量，则有
①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；(λ＋μ)a＝λa＋μa；
②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
知识点二　共线向量与共面向量
(1)在学习平面向量时，共线向量是怎样定义的？如何规定0与任何向量的关系？
提示：方向相同或相反的两向量称为共线向量；0与任何向量是共线向量．
(2)对空间任意两个向量a与b，如果a＝λb，a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，a＝λb?
提示：类似于平面向量共线的充要条件，对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb(b≠0)．　　　
(3)对空间任意两个不共线的向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb?
提示：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
知识梳理　共线向量与共面向量
共线(平行)向量
共面向量
定义
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量
充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb
若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
推论
如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，其中a叫做直线l的方向向量，如图所示．若在l上取＝a，则①式可化为＝＋t
如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y或对空间任意一点O来说，有＝＋x＋y
[自我检测]
1．已知空间四边形ABCD，M，G分别是BC，CD的中点，连接AM，AG，MG，则＋(＋)等于(　　)
A.　　　　　　　　　
B.
C.
D.
答案：A
2．满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是(　　)
A.＋＝
B.－＝
C.＝
D．||＝||
答案：C
3．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是(　　)
A．共面向量
B．共线向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面的向量
答案：A
授课提示：对应学生用书第55页
探究一　空间向量的数乘运算
　[教材P89练习2]如图，已知正方体ABCD?A′B′C′D′，点E，F分别是上底面A′C′和侧面CD′的中心．求下列各式中x，y的值：
(1)＝x(＋＋)；
(2)＝＋x＋y；
(3)＝＋x＋y.
解析：(1)在正方体中，＝＋＋，
∴x＝1.
(2)＝＋A′C′＝＋＝＋(＋)
∴x＝y＝.
(3)＝＋＝＋＝＋(＋)
＝＋＋，
∴x＝y＝.
[例1]　已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外的一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值．
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
[解析]　(1)如图所示，＝＋，由向量加法的平行四边形法则可得＝(＋)，
∴＝－－，
∴＝＋
＝－－.
∴x＝－，y＝－.
(2)∵＝＋＝＋2
＝＋2(－)＝＋2－2.
∴x＝2，y＝－2.
方法技巧　1.对向量进行分解或对向量表达式进行化简时，要准确运用空间向量加法、减法的运算法则，要熟悉数乘向量运算的几何意义，同时还要注意将相关向量向选定的向量进行转化．
2．在△ABC中，若D为BC边的中点，则＝(＋)，这一结论可视为向量形式的中点公式，应用非常广泛，应熟练掌握．
跟踪探究　1.如图所示，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：－－；
(2)设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求实数x，y，z的值．
解析：(1)－(＋)
＝－＝.
(2)＝－＝(＋)－－
＝－－，
所以x＝，y＝－，z＝－.
探究二　空间共线向量定理及其应用
　[教材P99习题3.1B组2题改编]如图，已知空间四边形OABC中，OA＝OB，CA＝CB，点E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵E，F，G，H分别为OA，OB，BC，CA的中点，
∴＝，＝，＝，＝.
∵＝－＝2－2
＝2(－)＝2，
∴AB∥EF，且||＝2||.
同理HG∥AB，且||＝2||，
∴四边形EFGH是平行四边形．
[例2]　如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线．
[证明]　设＝a，＝b，＝c.
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c.
所以＝－＝a－b－c＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝.
因为与有公共点E，所以E，F，B三点共线．
方法技巧　1.本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．
2．判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
跟踪探究　2.如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．
解析：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋.
又＝＋＋＋
＝－＋－－，
∴2＝＋＋－＋－－＝，即＝2.∴与共线．
探究三　空间共面向量定理及其应用
　[阅读教材P88例1]如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使＝＝＝＝k，求证：E，F，G，H四点共面．
题型：空间四点共面的判定
方法步骤：(1)由数乘运算表示出向量，，，.
(2)由向量减法运算得出.
(3)由、、的关系得出、、的关系，从而判定E，F，G，H四点共面．
[例3]　已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
[解析]　(1)因为＝＋＋，
所以6＝3＋2＋，
所以3－3＝(2－2)＋(－)，
因此3＝2＋＝－2－.
故向量，，共面．
(2)由(1)知向量，，共面，三个向量又有公共点M，故M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．
方法技巧　1.证明空间三个向量共面，常用如下方法：
(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a，b，c共面；
(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
2．对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
(1)＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3)∥(或∥，或∥)．
跟踪探究　3.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，确定在下列条件下，点P是否与A，B，M一定共面．
(1)＋＝3－；(2)＝4－－.
解析：(1)∵＋＝3－，
∴＝＋(－)＋(－)
＝＋＋，
∴－＝＋，
∴＝＋，
∴，，为共面向量，
∴P与A，B，M共面．
(2)＝2＋(－)＋(－)＝2＋＋，
根据空间向量共面的推论，点P位于平面ABM内的充要条件是＝＋x＋y，
∴P与A，B，M不共面．
授课提示：对应学生用书第56页
[课后小结]
　利用向量的数乘运算可以判定两个向量共线、三个向量共面问题，进而解决几何中的点共线、点共面、线面平行等问题．
[素养培优]
　混淆共面向量与共线向量的相关结论致误
已知e1，e2是两个非零空间向量，如果＝e1－2e2，＝3e1＋4e2，＝－e1－8e2，则下列结论正确的是(　　)
A．A，B，C，D四点共线
B．A，B，C，D四点共面
C．A，B，C，D不一定共面
D．无法确定A，B，C，D四点的位置关系
易错分析　由已知条件，与不共线，且＋＝2e1－4e2＝2(e1－2e2)＝2，由此得(＋)∥.
若设＋＝，则A，B，E三点共线，并不是A，B，C，D四点共线．考查逻辑推理的学科素养．
自我纠正　因为＋＝2e1－4e2＝2(e1－2e2)＝2，即＝＋，所以由共面向量定理可知，，三个向量共面．
又因为A是公共点，所以A，B，C，D四点共面，故选B.
答案：B
PAGE3．1　空间向量及其运算
3.1.1　空间向量及其加减运算
内　容　标　准
学　科　素　养
1.理解空间向量的概念．2.掌握空间向量的加法、减法运算.
利用直观抽象提升逻辑推理
授课提示：对应学生用书第51页
[基础认识]
知识点一　空间向量的概念
　如图，一块均匀的正三角形的钢板质量为500
kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60°，且|F1|＝|F2|＝|F3|＝200
kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少为多大时，才能提起这块钢板？
图中的三个力F1，F2，F3是既有大小又有方向的量，它们是不在同一平面内的向量．因此，解决这个问题需要空间向量的知识．事实上，不同在一个平面内的向量随处可见．例如，正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量，，就是不同在一个平面内的向量(如图)．　　　
知识梳理　(1)空间向量的定义
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
(2)空间向量及其模的表示方法
空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记为，其模记为|a|或||.
(3)特殊向量
名称
定义及表示
零向量
规定长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1的向量叫做单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
知识点二　空间向量的加法、减法运算
平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？
提示：加法有三角形法则和平行四边形法则，减法有三角形法则．
空间中任意两个向量都可以平移到一个平面内，成为同一平面内的两个向量．　　　
已知空间向量a，b，我们可以把它们移到同一个平面α内，以任意点O为起点，作向量＝a，＝b.那么a＋b和a－b如图所示．
知识梳理　(1)空间向量的加法、减法
类似于平面向量，定义空间向量的加法和减法运算(如图)：
＝＋＝a＋b；
＝－＝a－b.
(2)空间向量加法的运算律
空间向量的加法运算满足交换律及结合律：
①交换律：a＋b＝b＋a；
②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
[自我检测]
1．下列命题正确的是(　　)
A．若向量a与b的方向相反，则称向量a与b为相反向量
B．零向量没有方向
C．若a是单位向量，则|a|＝1
D．若向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则不一定有m＝p
答案：C
2．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A．a＋b－c　　　　　　
B．c－a－b
C．c＋a－b
D．c＋a＋b
答案：B
授课提示：对应学生用书第52页
探究一　空间向量及相关概念的理解
[例1]　给出下列命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD?A1B1C1D1中，与是相等向量；④在空间四边形ABCD中，与是相反向量；⑤在三棱柱ABC?A1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有4个．其中正确命题的序号为________．
[解析]　①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；
②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；
③正确，与的模相等，方向相同；
④错误，空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反；
⑤错误，在三棱柱ABC?A1B1C1中，与的模一定相等的向量是，，，，，一共有5个．
[答案]　②③
方法技巧　解决空间向量相关概念的问题时，注意以下几点：
(1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可；
(2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；
(3)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；
(4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的．
跟踪探究　1.下列说法正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．两个向量相等，若它们的起点相同，则其终点不一定相同
D．若|a|>|b|，|b|>|c|，则a>c
解析：对于A，由|a|＝|b|可得a与b的长度相同，但方向不确定；对于B，a与b是相反向量，则它们的模相等，故B正确；对于C，两向量相等，若它们的起点相同，则它们的终点一定相同，故C错；对于D，向量不能比较大小，故D错．
答案：B
探究二　空间向量的加法与减法运算
　[教材P86练习3]在图中，用，，表示，及.
解析：＝＋＝＋＋＝＋－；
＝＋＝＋＋＝－＋＋；
＝＋＝＋＋＝－＋＋.
[例2]　如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　)
①－－；
②＋－；
③－－；
④－＋.
A．①②　　　　　　　
B．②③
C．③④
D．①④
[解析]　①－－＝－＝；
②＋－＝＋＝；
③－－＝－＝－＝≠；
④－＋＝＋＋＝＋≠，故选A.
[答案]　A
方法技巧　1.空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接，从而便于运算．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
2．化简空间向量的常用思路
(1)分组：合理分组，以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简．
(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则，若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．
(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．
跟踪探究　2.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是________(填序号)．
①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.
解析：①(＋)＋＝＋＝；②(＋)＋＝＋＝；③(＋)＋＝＋＝；④(＋)＋＝＋＝.所以所给四个式子的运算结果都是.
答案：①②③④
授课提示：对应学生用书第53页
[课后小结]
　空间向量的加法、减法运算法则与平面向量相同，在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：
(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；
(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.
[素养培优]
1．对空间向量的有关概念理解不清致误
下列说法中，错误的个数为(　　)
(1)若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同．
(2)若向量，满足||＝||，与同向，则>.
(3)若两个非零向量，满足＋＝0，则，互为相反向量．
(4)＝的充要条件是A与C重合，B与D重合．
A．1　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
易错分析　向量相等，则向量的方向相同，模相等，但表示它们的有向线段的起点未必相同，终点也未必相同．
故(1)(4)错误．
反过来，方向相同，模相等的向量是相等向量，只能用“＝”连接，故(2)错误．
自我纠正　(1)错误，两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关．
(2)错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．
(3)正确，由＋＝0，得＝－，所以，互为相反向量．
(4)错误，由＝，||＝||，且，同向，但A与C，B与D不一定重合．
故一共有3个错误命题，正确答案为C.
答案：C
2．对向量减法的三角形法则理解记忆不清致误
在长方体ABCD?A1B1C1D1中，化简－＋－＋－.
易错分析　－＋－－＋－＝＋＋＝＋＋＝＋＝.
自我纠正　－＋－＋－＝＋＋＝＋＝＋＝.
PAGE

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