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高中数学基本不等式应用技巧归纳！
2atb
b+1
l,可得(a,b)42
2、已知a、b满足lg2(a+b)=lg(4-4a2b2),当a-b取最大值时,ab
【答案】-2
【解析】不妨设a>b,由等式可得a2+b2+2ab=4-4a2b2,
所以(a-b)2=-4a2b2-4ab+4
所以当ab=-2时,(a-b)2最大
、若a、B为锐角,且a+5a=2,则a+B
SIn
【答案】
【解析】(sim2B+cos2B)
cos
a
sIn
a
2(cos
a+sin
a)=2sin(a+
SIn
即2≥2sin2(a+),
x),得sin2(a+n)=1
当且仅当sina=cosβ,cosa=sinβ时等号成立,
即a=B=,所以a+B
4、设a>b>c,且+1≥(m∈N)恒成立,则n的最大值
6
b
【答案】4
【解析】n≤
)+(b-c)
又
c
a
故n≤
a-b
b-c
当且仅当2b=a+c时取等号
5、已知a+2b=1(a>0,b>0,则2+的最小值等于
【答案】2+2√2
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【解析】
2b12b
+2+≥2+2√2,当且仅当a=√2-1,b
2-√2
取等号
b
6、已知实数x、y满足xy-3=x+y,且x>1,则y(x+8)的最小值是
【答案】25
【解析】∵x-3=x+y,则y
x+3
x-1
故y(x+8)
x+3
(x+8)=(1+)(x-1+9)
即y(x+8)=(1+
4
36
)(x-1+9)=(x-1)+9+4+
≥2√36+13=25
x
x
当且仅当x-1
36
甲x=7时,等号成立,故y(x+8)的最小值为25
7、已知正实数a、b满足a2+ab+b2=3,则
2+ab
的最大值是
+b2-1
【答案】3
【解析】a2+b2=3-ab≥2ab得ab≤1,
2+ab
4
1+
3
2-ab
当且仅当a=b=1时取等号
8、设正数x、y满足x>y,x+2y=3,则
的最小值为
x+5
【答案】
【解析】令x-y=m,x+5y=n,则m+n=6,
19
+n)(
+5
当且仅当x=2,y=时取等号
9、已知正数x、y满足x2+2x+4y2=1,则x+2y的取值范围是
【答案】1,
3
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【解析】(x+2y)2=1+2xy,因为x、y为正数,所以x+2y≥2√2xy
从而1+2xy2(22
所以0所以1<(x+2y)2≤,x+2y∈,
10、实数x、y、z满足x2+y2+z2+4x+2z-7=0,则x+y+的最大值为
【答案】
【解析】由x2+y2+z2+4x+2z-7=0,可得(x+2)2+y2+(z+
设x+2=a,y=b,x2+1=c,则a2+b2+c2=12,
因为(a+b+c)2≤(12+12+12)(a2+b2+c2)=3×12=36,
所以(a+b+c)2≤36,即(a+b+c)
6
ma
因为x+y+z=a-2+b+c-1=a+b+c-3,
所以(x+y+z)
1、设x、y是正实数,且x+y=5,则x+的最小值为
+2
5
【答案】
【解析】解法一:
因为
2,x2(y+2)y2(x+1)
x+1)+(1+
x+y-+
≥(x+y)2=25
x+1y+2
+2
所以
25
y
当且仅当x=-,y
10
时取等号
解法二
令m=x+1,n=y+2,则m+n=8
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