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三次函数的对称性分析及应用
三角函数的对称性考查在以往的竞赛题和模拟题都出现过多次，很多人都对此有所分析和总结，笔者不才，也对这个问题做一个自认为比较全面的梳理.
题目：（2018郑州一测）已知函数，若实数满足，，则
________.
想法一：方程视角
这道题首先给出了一个函数，事实上，有些题没有给出函数，只给出了一个方程组，即
，
据此求的值.
相信大部分高中生看到相同的结构第一反应就是构造函数，但是这里我们先用初中生（或高一学生）的思维思考一下，假设函数的思想还没有根深蒂固，这题该如何处理？
方向一：朝着目标配凑
如果我们有一些目标意识，就会知道要求的值，把已知的两个方程相加会是一个不错的选择，因此我们得到
，
再作一点点变形，尽量提出：
，
将其中的拆成，就出现了公因式，从而得到
，
第二部分用十字相乘法分解，得，所以
，
再注意到，
所以.
这样就顺利得到了答案，其中对于恒正的说明具有较强的技巧性，更容易操作的手法或许是主元分析，即
，
这个关于的二次多项式的判别式为
，
所以恒成立.
方向二：处理掉二次项再配凑（方向一的优化）
以上述过程中，将拆成，技巧性比较强，出现这种情况的原因就是能被整除，而不能被整除，因此，我们若能先处理掉二次项，则会将变形的难度降低不少.
联想到完全立方公式，很自然地想到（）将条件变形为
两式相加，得
，
其中显然是成立的，所以.
方向三：粗暴设元
设，则，代入条件即得
，
整理可得
，
对比可得.（要严谨说明，还存在一定的困难）
想法二：函数视角
前面说了，看到这样相同的结构，就算没有函数我们都要构造函数.
这道题是要求，即两个函数值固定的自变量之和，可能需要用到函数的对称性.
不难证明，三次函数都可以通过平移转化成的形式，这个函数是一个奇函数，因此所有的三次函数的图像都有对称中心.
那么，对称中心到底应该怎么求呢？
方向一：待定系数
对一般的函数而言，求图像的对称轴和对称中心，大多根据定义，用待定系数法求解，这种方法是必须数量掌握的方法.
设对称中心为，则恒成立，然后求出即可，这个计算过程和前面的“粗暴设元”有着相同的部分（也正是为了方便对比，才把对称中心设为，而非），后续过程不再赘述.
方向二：代数配凑（奇函数图像平移）
同上，联想到完全立方公式，很自然地想到将变形为
，
它的图像可以看作是由奇函数向右、向上各平移三个单位长度得到的，因为这个奇函数单调递增，所以单调递增，且图像的对称中心为.
因为，所以.
值得一提的是，上面对于函数单调性的说明是不可缺少的，否则可能会出现下面这种情况：
方向二：借助导数
如下图所示，这是一段关于点中心对称的连续曲线，在点的一侧任意取两点，点关于点的对称点分别为，根据对称性易知，，所以，即对称中心两侧的割线斜率是对应相等的，而切线可以看作割线的极限情况，因此点两侧切线的斜率是对应相等的.
对于函数而言，其导数的几何意义就是切线的斜率.
对于有对称中心的函数而言，其对称中心两侧的切线斜率对应相等.
一方面，在对称中心邻域内，两侧的切线斜率要么都比对称中心处切线的切率小，要么都比对称中心处切线的切率大，无论哪种情况，根据极值的定义，切线斜率在对称中心处取得极值，也就是说，对称中心的横坐标一定是导函数的极值点（即二阶导数的零点）.
另一方面，既然对称中心两侧的切线斜率对应相等，那么导函数的图像是轴对称图像，对称轴经过函数的对称中心.
无论从哪个方面来看，我们都不难知道，三次函数的对称中心，可以通过求其导函数的对称抽或者其二阶导数的零点（当然，这两者其实是等价的）.
再联想到正弦函数和余弦函数的图像，这点就更好理解了.
对于函数，求导可得，其对称轴为，所以该三次函数的对称中心为，即.
得到对称中心之后，要说明，还要说明单调，或者小于极小值，大于极大值，这道题属于第一种情况.

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