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1.2　简单不等式的解法
1.若a>b>0,m>0,则(b-m>0);(b-m>0).
2.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法口诀:大于取两边,小于取中间.
3.恒成立问题的转化:a>f(x)恒成立?a>f(x)max;a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
4.能成立问题的转化:a>f(x)能成立?a>f(x)min;a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.
5.恰成立问题的转化:a>f(x)在M上恰成立?a>f(x)的解集为M?
另一转化方法:若x∈D,f(x)≥A在D上恰成立,等价于f(x)在D上的最小值f(x)min=A;若x∈D,f(x)≤B在D上恰成立,则等价于f(x)在D上的最大值f(x)max=B.
注:例如“恒、能、恰”成立:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)a>b?ac2>bc2.
(　　)
(2)a>b>0,c>d>0?.
(　　)
(3)若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.
(　　)
(4)不等式≤0的解集是[-1,2].
(　　)
(5)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为R.
(　　)
2.设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论中正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.a-c>b-d
C.ac>bd
D.a+c>b+d
3.实数x,y满足x>y,则下列不等式恒成立的是(　　)
A.<1
B.2-x<2-y
C.lg(x-y)>0
D.x2>y2
4.(2020安徽马鞍山二模,理1)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈Z},B={x||x|≤2,x∈Z},则A∩B=(　　)
A.{-1,0,1}
B.{-2,-1,0,1}
C.{-1,0,1,2}
D.{-2,-1,0,1,2,3}
5.设a,b,c是任意实数,能够说明“若c关键能力学案突破　
考点
比较两个数(式)的大小
【例1】(1)已知a1,a2∈(0,1),若M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.MB.M>N
C.M=N
D.不确定
(2)若a=,b=,c=,则(　　)
A.aB.cC.cD.b思考比较两个数(式)大小常用的方法有哪些?
解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.
(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.
(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.
(3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.
对点训练1(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.c≥b>a
B.a>c≥b
C.c>b>a
D.a>c>b
(2)已知a,b是实数,且e考点
不等式的性质及应用
【例2】(1)(2020北京海淀一模,4)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是(　　)
A.b-aB.c2C.
D.|b|c<|a|c
(2)(2020山西太原三模,理3)已知a>b>1,c<0,则
(　　)
A.
B.caC.acD.loga(b-c)>logb(a-c)
思考已知某些量的范围,求由这些量组成的代数式的范围常用不等式的哪些性质?
解题心得1.已知某些量的范围,在求由这些量组成的代数式的范围时,常用不等式同向可加性、同向同正可乘性;
2.在应用可乘方性时要注意应用的条件,当不等式两边异号时,平方后不等号不确定;
3.当ab>0时,对不等式a>b两边取倒数,或两边同乘以,化简得.
对点训练2(1)(2020海南高三期末,4)已知实数a,b满足a>b>0,则下列不等式一定成立的有(　　)
A.a2B.-a<-b
C.≥2
D.a+b>ab
(2)(2020山东青岛5月模拟,9改编)设a,b,c为实数,且a>b>0,则下列不等式中正确的是(　　)
A.log2(ab)B.ac2>bc2
C.<1<
D.
考点
一元二次不等式的解法
(多考向探究)
考向1　常系数一元二次不等式的解法
【例3】解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
思考如何解不含参数的一元二次不等式?
解题心得对于常系数一元二次不等式,可以用分解因式法求解,即把不等式分解成(x-a)(x-b)>0或(x-a)·(x-b)<0型不等式,再依据“大于取两边,小于取中间”的口诀写出解集;对难于因式分解的不等式可采用判别式法求解,先计算对应方程的判别式,若判别式不小于零,求出相应的一元二次方程的根,画出对应函数的简图,由图象得出不等式的解集,若判别式小于零,直接根据对应函数的图象确定不等式的解集.
对点训练3解下列不等式:
(1)x2-3x+2<0;
(2)3x2+5x-2>0;
(3)-2x2+3x+2≤0.
考向2　含参数的一元二次不等式的解法
【例4】解关于x的不等式ax2+2x+1<0.
思考如何解含参数的一元二次不等式?
解题心得含有参数的不等式的求解,需要对参数进行分类讨论,讨论有三层:第一,若二次项系数含参数,先讨论二次项系数是否为零,以确定不等式是一次不等式还是二次不等式;第二,当二次项系数不为零时,若不易分解因式,则依据判别式符号进行分类讨论;第三,对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.
对点训练4解关于x的不等式x2-ax-2a2<0.
考点
分式不等式的解法
【例5】已知全集U=R,集合A={x||x-1|<1},B=,则A∩(?UB)=(　　)
A.{x|1B.{x|1C.{x|1≤x<2}
D.{x|1≤x<4}
思考解分式不等式的基本思路是什么?
解题心得解分式不等式时,切忌直接去分母,一般先通过移项、通分,将分式不等式化简如化为>0或<0,再等价转化为整式不等式的形式,即转化为一次、二次或高次不等式.
对点训练5不等式≤2的解集为　.?
考点
一元二次不等式恒成立问题
(多考向探究)
考向1　主元x在R上恒成立求参数范围
【例6】若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为(　　)
A.(-3,0]
B.[-3,0)
C.[-3,0]
D.(-3,0)
考向2　主元x在给定区间上恒成立求参数范围
【例7】设对任意实数x∈[-1,1],不等式x2+ax-3a<0恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.a>0
B.a>
C.a>0或a<-12
D.a>
思考解决在给定区间上恒成立问题有哪些方法?
考向3　给定参数范围的恒成立问题
【例8】已知对任意的k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是　　　　　.?
解题心得1.ax2+bx+c≥0(a≠0)对任意实数x恒成立的条件是ax2+bx+c≤0(a≠0)对任意实数x恒成立的条件是
2.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种解决方法:一是利用二次函数在区间上的最值来解决;二是先分离出参数,再通过求函数的最值来解决.
3.已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法.把参数当作函数的自变量,得到一个新的函数,然后利用新函数求解.
对点训练6(1)已知a为常数,?x∈R,ax2+ax+1>0,则a的取值范围是(　　)
A.(0,4)
B.[0,4)
C.(0,+∞)
D.(-∞,4)
(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是　　　　　　　　.?
(3)已知不等式xy≤ax2+2y2对x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　　.?
1.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一.作差法的主要步骤为作差—变形—判断正负.
2.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单.
3.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式的解法进行求解.
4.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a<0的情形转化为a>0的情形.
5.(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.
中学阶段解不等式的基本思想是转化与化归思想,对于含有参数的不等式,还要用到分类讨论思想、函数与方程思想以及数形结合的思想.根据以上基本思想,同学们有必要探究以下几种不等式的解法,以提高自己的数学素养.
一含有绝对值的不等式
1.绝对值的属性:非负性
2.式子中含有绝对值,通常的处理方法有两种:一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论(常用);二是通过平方去掉绝对值.
3.若不等式满足以下特点,可直接利用公式进行变形求解:
(1)|f(x)|>g(x)的解集与f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)的解集相同;
(2)|f(x)|4.对于其他含绝对值的问题,则要具体问题具体分析,通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值,将其转化为整式不等式,再做处理.
【例1】解下列不等式:
(1)|x2+x|≤3x;
(2)|x-1|+|x+2|<5;
(3)|2x-1|-|x-2|<0.
解(1)(方法1)原不等式可转化为-3x≤x2+x≤3x,
即解得
∴0≤x≤2.
(方法2)观察到若要使得不等式|x2+x|≤3x成立,则3x≥0,即x≥0,进而|x2+x|内部恒为正数,绝对值直接去掉,即只需解x2+x≤3x即可,解得0≤x≤2,∴不等式的解集为[0,2].
(2)含多个绝对值的问题,可通过“零点分段法”来进行分类讨论.
令两个绝对值分别为零,解得x=-2,x=1,作出数轴,将数轴分为三部分,分类讨论:
①当x>1时,不等式变为x-1+x+2<5,解得x<2,
∴1②当-2③当x≤-2时,不等式变为1-x-x-2<5,解得x>-3,∴-3综上所述,不等式的解集为(-3,2).
(3)思路:本题依然可以仿照(2)的方式进行零点分段,再解不等式,但从另一个角度观察,所解不等式为|2x-1|<|x-2|,两边均是绝对值(非负数),所以还可以考虑两边平方(所用不等式性质:a>b≥0?a2>b2)一次将两个绝对值去掉,再进行求解.
∵|2x-1|<|x-2|,
∴(2x-1)2<(x-2)2,4x2-4x+1∴3x2<3,解得-1∴不等式的解集为(-1,1).
归纳小结1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点,选择更简便的方法.
2.零点分段法的好处在于,一段范围可将所有的绝对值一次性去掉,缺点在于需要进行分类讨论,对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求,以及如何整理结果,这些细节部分均要做好,才能保证答案的正确性.
二简单的高次不等式的解法
【例2】解不等式:(x-1)(x+2)(x-3)>0.
解法一(列表法):求得相应方程的根为-2,1,3.
列表如下:
x<-2
-21x>3
x+2
-
+
+
+
x-1
-
-
+
+
x-3
-
-
-
+
各因式积
-
+
-
+
由上表可知,原不等式的解集为{x|-23}.
小结:此法叫列表法,解题步骤是:
①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式(各项x的系数化为正数),令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0,求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点把(实数)数轴分成两部分,n个分界点把数轴分成n+1部分……;
②按各根把实数分成的n+1部分,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列(由对应较小根的因式开始依次自上而下排列);
③计算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号;
④看下面各因式积的符号写出不等式的解集.
解法二(穿根法):
①(x-1)(x+2)(x-3)=0的根是-2,1,3,在数轴上表示这三个数.
②由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点.
③若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;
若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
由图可知,原不等式的解集为{x|-23}.
小结:此法叫穿根法,解题步骤是:
①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式,并将各因式x的系数化“+”;
②求根,并在数轴上表示出来;
③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点;
④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
【例3】解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.
解①检查各因式中x的符号均正.
②求得相应方程的根为:-1,2,3(注意:2是二重根,3是三重根).
③在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始),如下图.
④∴原不等式的解集为{x|-1说明:∵3是三重根,∴在C处穿三次,2是二重根,
∴在B处穿两次,结果相当于没穿.由此看出,当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时,n为奇数时,曲线在x1点处穿过数轴;n为偶数时,曲线在x1点处不穿过数轴,不妨归纳为“奇穿偶不穿”.
对点训练解不等式:(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0.
三无理不等式
常见题型及等价转化:
(1)
(2)>g(x)?
(3)【例4】解不等式:≤x-2.
解法一≤x-2?
即所以x≥5,
所以原不等式的解集为[5,+∞).
解法二设=t(t≥0),则x=,
所以原不等式化为t≤-2,
所以t2-2t-3≥0,即t≤-1或t≥3.
因为t≥0,所以t≥3,所以x≥5.
【例5】解不等式:>a-x(a>0).
解>a-x?①或②
而①??(2-)a0).
②??x>a(因为a>0).
所以原不等式的解集是((2-)a,a]∪(a,+∞),即((2-)a,+∞).
【例6】解不等式:(x-1)≥0.
解(x-1)≥0?(x-1)>0,或(x-1)=0
?或x+2=0
?x>1或x=1或x=-2.
所以原不等式的解集是[1,+∞)∪{-2}.
归纳小结无理不等式的等价转化即由无理不等式转化为等价的有理不等式来求解,要求必须熟练掌握;其他解法要根据不等式的具体情况而定.
1.2　简单不等式的解法
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)>　=　<　(2)>　=　<
3.{x|x>x2或x考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×
2.D　∵a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,根据同向不等式的可加性,得a+c>b+d,故选D.
3.B　由x>y,得-x<-y.由y=2t是增函数,得2-x<2-y.
4.C　由题意,得A={-1,0,1,2,3},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B={-1,0,1,2},故选C.
5.1,0,-1(答案不唯一)　由c关键能力·学案突破
例1(1)B　(2)B　(1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)·(a2-1).∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),
∴a1-1<0,a2-1<0.
∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.
∴M>N.
(2)(方法1)易知a,b,c都是正数,=log8164<1,所以a>b;=log6251024>1,
所以b>c.故c(方法2)对于函数y=f(x)=,y'=,易知当x>e时,函数f(x)单调递减.
因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),即c对点训练1(1)A　(2)ab>ba　(1)∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.
又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2.
∴b=a2+1.
∴b-a=a2-a+1=>0,∴b>a.∴c≥b>a.
(2)令f(x)=,则f'(x)=,当x>e时,f'(x)<0,所以f(x)在(e,+∞)上单调递减,因为ef(b),即?blna>alnb?ab>ba.
例2(1)D　(2)C　(1)(方法1)根据数轴可得c|b|>|a|,对于A:因为cb,则c+a|b|>|a|,所以c2>b2>a2,且b2>ab,所以c2>b2>ab,即c2>ab,故B错误;对于C:因为b|a|,且c<0,所以|b|c<|a|c,故D正确.
(方法2)不妨令c=-5,b=-4,a=-1,则c+a=-6ab=4,故B错误;=5,故C错误;|b|c=-20<|a|c=-5,故D正确.故选D.
(2)由于a>b>1,所以0<,又c<0,故,选项A错误;当c=-2,a=4,b=3时,ca>cb,故选项B错误;由于a>b>1,c<0,故acb>1,c<0,所以a-c>b-c,故loga(b-c)对点训练2(1)B　(2)C　(1)因为a>b>0,于是a2>b2,故A不正确;由a>b>0,得-a<-b,故B正确;由基本不等式可知≥2=2,因为a>b,所以等号取不到,故C不正确;
当a=3,b=2时,3+2<2×3,故D不正确.故选B.
(2)由a>b>0,得ab>b2,所以log2(ab)>log2b2,故A不正确;
因为c2≥0,当c2=0时,ac2=bc2,故B不正确;
由a>b>0,两边同乘,得>1,由a>b>0,两边同乘,得<1,故C正确;由a>b,函数y=为减函数,得例3解(1)由2x2-3x-2=2(x-2)x+>0,得不等式的解集是xx<-或x>2.
(2)不等式可化为3x2-6x+2<0.
因为3x2-6x+2=0的判别式Δ=36-4×3×2=12>0,所以方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-,x2=1+.
因为函数y=3x2-6x+2是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是x1-(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=,函数y=4x2-4x+1是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集是xx=.
(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.
对点训练3解(1)∵(x-1)(x-2)<0,∴1(2)方程3x2+5x-2=0的两解是x1=-2,x2=.
函数y=3x2+5x-2的图象是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点(-2,0)和,0.不等式的解集为xx<-2,或x>.
(3)原不等式化为2x2-3x-2≥0,∵2x2-3x-2=0的两解为x1=-,x2=2,∴不等式的解集是xx≤-,或x≥2.
例4解(1)当a=0时,不等式的解集为xx<-,
(2)当a>0时,Δ=4-4a,
①Δ>0,即0②Δ≤0,即a≥1时,不等式的解集为?.
(3)当a<0时,Δ=4-4a>0,不等式的解集为xx<,或x>.
对点训练4解原不等式变形为(x-2a)(x+a)<0.
①若a>0,则-a②若a<0,则2a③若a=0,则原不等式即为x2<0,此时解集为?.
例5C　由题意得A={x||x-1|<1}={x|-1∴A∩(?UB)={x|1≤x<2}.故选C.
对点训练5　由≤2,得≥0,解得x>或x≤.
例6D　2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则必有
解得-3例7B　(方法1)y=x2+ax-3a的对称轴是x=-.
①当-≥1,即a≤-2时,区间[-1,1]是函数y=x2+ax-3a的减区间,
当x=-1时,函数有最大值,所以1-4a<0,得a>,与a≤-2相矛盾.
②当0<-<1,即-2代入不等式得a>,与-2③当-1<-≤0,即0≤a<2时,当x=1有最大值时,代入不等式得1-2a<0,即a>,故要使不等式x2+ax-3a<0恒成立,
∴④当-≤-1,即a≥2时,区间[-1,1]是函数y=x2+ax-3a的增区间,x=1时有最大值,代入不等式得1-2a<0,a>,∴a≥2.
综上所述,a>.故选B.
(方法2)设f(x)=x2+ax-3a,
∵对任意实数x∈[-1,1],不等式x2+ax-3a<0恒成立,
∴
即故a>.故选B.
例8{x|x<1或x>3}　x2+(k-4)x+4-2k>0恒成立,即g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4)>0在k∈[-1,1]时恒成立.
只需g(-1)>0,且g(1)>0,即解得x<1或x>3.
对点训练6(1)B　(2)　(3)[-1,+∞)　(1)因为?x∈R,ax2+ax+1>0,所以必有或a=0,即0≤a<4.
(2)对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,则有
即
解得-(3)因为不等式xy≤ax2+2y2对任意的x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,
所以a≥-2对任意的x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立.
令t=,由x∈[1,2],y∈[2,3],可知1≤t≤3,
所以a≥t-2t2在区间[1,3]上恒成立.
令f(t)=-2t2+t,则f(t)=-2t2+t=-2.
因为f(t)在区间[1,3]上单调递减,所以f(t)max=f(1)=-1,所以a≥-1.
案例探究1　三类不等式的解法
对点训练解①将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)2≤0.
②求得相应方程的根为-2(二重),-1,3.
③在数轴上表示各根并穿线,如图.
④∴原不等式的解集是{x|-1≤x≤3或x=-2}.
说明:注意不等式若带“=”号,解集边界处应有等号;另外,线虽不穿-2点,但x=-2满足“=”的条件,不能漏掉.第一章　集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念与运算
1.并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A.
2.交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B.
3.补集的性质:A∩(?UA)=?;A∪(?UA)=U;?U(?UA)=A;?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB);?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).
4.若集合A中含有n个元素,则它的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.
5.
如图所示,用集合A,B表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B,A∩(?UB),B∩(?UA),?U(A∪B).
6.card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)集合{x2+x,0}中的实数x可取任意值.
(　　)
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.
(　　)
(3)对任意集合A,B,一定有A∩B?A∪B.
(　　)
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.
(　　)
(5)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组成的集合是{1,4}.
(　　)
2.(2020全国3,文1)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3A.2
B.3
C.4
D.5
3.(2020全国1,文1)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B=(　　)
A.{-4,1}
B.{1,5}
C.{3,5}
D.{1,3}
4.(2020湖南郴州二模,文1)已知集合A={x|x(x-2)<0},B={y|y=},则A∩B=(　　)
A.[1,2)
B.(0,2)
C.[0,2)
D.[0,+∞)
5.(2020江苏南京六校5月联考,1)已知集合A={x|x2-2x<0},B={x|x<1},则A∪B=　　　.?
关键能力学案突破　
考点
集合的基本概念
【例1】(1)已知集合A={x∈Z|-x2+x+2>0},则集合A的真子集个数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3
B.4
C.7
D.8
(2)(2020山东潍坊临朐二模,13)已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},且A∩B=A∪B,则a=　　　　.?
思考求集合中元素的个数或求集合中某些元素的值应注意什么?
解题心得与集合中的元素有关问题的求解策略:
(1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集、点集,还是其他类型的集合.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.
对点训练1(1)(2020河北唐山一模,理1)已知集合A={-1,0,1,2},B={y|y=2x},M=A∩B,则集合M的子集个数是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2
B.3
C.4
D.8
(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为　　　　　.?
考点
集合间的基本关系
【例2】(1)(2020浙江镇海中学摸底,1)设集合A={y|y=},B={x|y=},则下列结论正确的是
(　　)
A.A=B
B.A?B
C.B?A
D.A∩B={x|x≥1}
(2)(2020河北石家庄二中模拟,理2)设集合P={x||x|>3},Q={x|x2>4},则下列结论正确的是(　　)
A.Q?P
B.P?Q
C.P=Q
D.P∪Q=R
思考判定集合间的基本关系有哪些方法?解决集合间基本关系问题的常用技巧有哪些?
解题心得1.判定集合间的基本关系的方法有两种:一是化简集合,从表达式中寻找集合间的关系;二是用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找集合间的关系.
2.解决集合间基本关系问题的常用技巧有:(1)若给定的集合是不等式的解集,则结合数轴求解;(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求解;(3)若给定的集合是抽象集合,则用Venn图求解.
对点训练2(1)已知集合A=x,B={x|≤2,x∈Z},则满足条件A?C,且C?B的集合C的个数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1
B.2
C.4
D.8
(2)集合M=x,N=yy=m+,m∈Z,则两集合M,N的关系为(　　)
A.M∩N=?
B.M=N
C.M?N
D.N?M
考点
集合的运算
(多考向探究)
考向1　利用集合运算的定义进行运算
【例3】(1)(2020新高考全国1,1)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{x|2B.{x|2≤x≤3}
C.{x|1≤x<4}
D.{x|1(2)(2020全国3,理1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N
,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为(　　)
A.2
B.3
C.4
D.6
(3)(2020全国2,理1)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则?U(A∪B)=(　　)
A.{-2,3}
B.{-2,2,3}
C.{-2,-1,0,3}
D.{-2,-1,0,2,3}
思考利用集合运算的定义进行运算的一般思路和求解的原则是什么?
解题心得1.求解思路:一般是先化简集合,再由交集、并集、补集的定义求解.
2.求解原则:一般是先算括号里面的,再按运算顺序求解.
对点训练3(1)(2020江西名校大联考,理1)已知集合A={x|x2-4x>0},B={x|x2-4≤0},则A∩B=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[-2,0]
B.(-∞,0)
C.[-2,0)
D.[-4,4]
(2)(2019全国1,文2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩(?UA)=(　　)
A.{1,6}
B.{1,7}
C.{6,7}
D.{1,6,7}
(3)(2020山东潍坊一模,1)设集合A={2,4},B={x∈N|x-3≤0},则A∪B=(　　)
A.{1,2,3,4}
B.{0,1,2,3,4}
C.{2}
D.{x|x≤4}
考向2　定义新集合运算法则进行集合运算
【例4】设P,Q是两个非空集合,定义集合间的一种运算“☉”:P☉Q={x|x∈P∪Q,且x?P∩Q}.如果P={y|y=},Q={y|y=4x,x>0},则P☉Q=(　　)
A.[0,1]∪(4,+∞)
B.[0,1]∪(2,+∞)
C.[1,4]
D.(4,+∞)
思考求解集合新定义运算的关键是什么?
解题心得求解集合新定义运算的关键是仔细分析新定义运算法则的特点,把新定义运算法则所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中.
对点训练4定义A
B={x|x=x1+2x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},则A
B=　　　　　;(A∩(A
B))∪B=　　　　　.?
考点
求集合中参数的值或取值范围
【例5】(1)(2020湖南湘潭三模,理1)已知集合A={x|ax=x2},B={0,1,2},若A?B,则实数a的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1或2
B.0或1
C.0或2
D.0或1或2
(2)(2020全国1,理2)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=(　　)
A.-4
B.-2
C.2
D.4
思考如何求集合表达式中参数的值或取值范围?
解题心得一般来讲,若集合中的元素是离散的,则用Venn图表示,根据Venn图得到关于参数的一个或多个方程,求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾;若集合中的元素是连续的,则用数轴表示,根据数轴得到关于参数的不等式,解之得到参数的取值范围,此时要注意端点的取舍.
对点训练5(1)已知集合A={x|x2-3x+2≥0},B={x|x+1≥a},若A∪B=R,则实数a的取值范围是
(　　)
A.[2,+∞)
B.(-∞,2]
C.[1,+∞)
D.(-∞,1]
(2)已知集合A={x|x<-3,或x>7},B={x|x<2m-1},若B?A,则实数m的取值范围是　　　　　.?
变式发散1将本题(2)中的B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},其余条件不变,该如何求解?
变式发散2将本题(2)中的A改为A={x|-3≤x≤7},B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},其余条件不变,又该如何求解?
由于图形简明、直观,因此很多数学问题的求解往往借助于图形来分析,下面例析运用集合中Venn图的三个阶梯:识图——用图——构图.
阶梯一　识图:用集合的交、并、补运算表示给出的Venn图
【例1】(2020山东泰安一模,1)已知全集U=R,集合M={x|-3　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[-1,1]
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-1,+∞)
D.(-3,-1)
答案D
解析由图可知,阴影部分表示的集合为M∩(?UN).由U=R,N={x||x|≤1},可得?UN={x|x<-1,或x>1},
又M={x|-3对点训练1如图,I是全集,M,P,S是I的3个子集,则阴影部分所表示的集合是(　　)
A.(M∩P)∩S
B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩(?IS)
D.(M∩P)∪(?IS)
阶梯二　用图:借助Venn图求集合或集合的交、并、补
【例2】设全集U={x|0},若A∩B={3},A∩(?UB)={1,5,7},(?UA)∩(?UB)={9},则A=　　　　　,B=　　　　　.?
答案{1,3,5,7}　{2,3,4,6,8}
解析由题知U={1,2,3,…,9},根据题意,画出Venn图如右图所示,由Venn图易得A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}.
对点训练2已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩(?IM)=?,则M∪N=　　　　.?
阶梯三　构图:构造Venn图解某些应用题
【例3】(2020新高考全国1,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.62%
B.56%
C.46%
D.42%
答案C
解析设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.
由Venn图可知,82%-x+60%=96%,
解得x=46%,故选C.
对点训练3向100名学生调查对A,B两件事的看法,得到如下结果:赞成A的人数是全体的,其余不赞成;赞成B的人数比赞成A的人数多3人,其余不赞成.另外,对A,B都不赞成的人数比对A,B都赞成的学生人数的多1人,则对A,B都赞成的学生人数为　　　　,对A,B都不赞成的学生人数为　　　　　.?
解答集合问题时的五点注意事项
(1)注意集合中元素的性质——互异性的应用,解答时要注意检验.
(2)注意描述法给出的集合的代表元素的特征.如{y|y=2x},{x|y=2x},{(x,y)|y=2x}表示不同的集合.
(3)注意?的特殊性.在利用A?B解题时,应对A是否为?进行讨论.
(4)注意数形结合思想的应用.在进行集合运算时,要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.
(5)注意补集思想的应用.在解决A∩B≠?时,可以利用补集思想,先研究A∩B=?的情况,再取补集.
第一章　集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念与运算
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)确定性　互异性　无序性　(2)属于　不属于　∈　?　(3)列举法　描述法　Venn图法　(4)N　N
(或N+)　Z　Q　R
2.A?B(或B?A)　A?B(或B?A)　A=B
3.{x|x∈A,或x∈B}　{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x?A}
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2.B　根据交集的定义,A∩B={5,7,11}.故选B.
3.D　由不等式x2-3x-4<0,解得-14.B　由题得,A={x|x(x-2)<0}={x|0故A∩B=(0,2).故选B.
5.(-∞,2)　∵集合A={x|x2-2x<0}={x|0关键能力·学案突破
例1(1)A　(2)0或　(1)因为A={x∈Z|-x2+x+2>0}={x∈Z|-1(2)因为A∩B=A∪B,所以A=B,则解得(舍去)或故a=0或.
对点训练1(1)C　(2)-　(1)因为B={y|y=2x}={y|y>0},A={-1,0,1,2},所以M=A∩B={1,2},因此,集合M的子集个数是22=4.故选C.
(2)由题意得m+2=3,或2m2+m=3,解得m=1或m=-.当m=1时,m+2=3,且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当m=-时,m+2=,而2m2+m=3,故m=-.
例2(1)D　(2)B　(1)∵A={y|y=}={y|y≥0},B={x|y=}={x|x≥1,或x≤-1},∴A∩B={x|x≥1},故选D.
(2)由题得,集合P={x||x|>3}={x|x<-3,或x>3},Q={x|x2>4}={x|x<-2,或x>2},所以P?Q,故选B.
对点训练2(1)D　(2)D　(1)由≤0,得0(2)∵M=x,N=y,又n+2为整数,2m+1为奇数,且奇数是整数的一部分,
∴N?M,故选D.
例3(1)C　(2)C　(3)A　(1)(数形结合)由数轴可知
所以A∪B={x|1≤x<4},故选C.
(2)满足x,y∈N
,y≥x,且x+y=8的元素(x,y)有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4个,故A∩B中元素的个数为4.
(3)∵A∪B={-1,0,1,2},
∴?U(A∪B)={-2,3}.故选A.
对点训练3(1)C　(2)C　(3)B　(1)由题得A={x|x2-4x>0}={x|x<0或x>4},B={x|x2-4≤0}={x|-2≤x≤2},则A∩B={x|-2≤x<0},故选C.
(2)由已知得?UA={1,6,7},
所以B∩(?UA)={6,7}.故选C.
(3)因为A={2,4},B={x∈N|x-3≤0}={0,1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3,4}.
例4B　∵P=[0,2],Q=(1,+∞),
∴P∪Q=[0,+∞),P∩Q=(1,2],
因此P☉Q=[0,1]∪(2,+∞).
对点训练4{3,4,5,6,7}　{1,2,3}　∵A={1,2,3},B={1,2},∴A
B={x|x=x1+2x2,x1∈A,x2∈B}={3,4,5,6,7};(A∩(A
B))∪B=({1,2,3}∩{3,4,5,6,7})∪{1,2}={3}∪{1,2}={1,2,3}.
例5(1)D　(2)B　(1)因为当a=0时,A={x|0=x2}={0},满足A?B;当a≠0时,A={0,a},若A?B,则a=1或2.综上a的值为0或1或2.故选D.
(2)由已知得A={x|-2≤x≤2},B=.
因为A∩B={x|-2≤x≤1},所以有-=1,解得a=-2.
对点训练5(1)B　(2)(-∞,-1]　(1)由题得集合A={x|x2-3x+2≥0}={x|x≤1,或x≥2},B={x|x+1≥a}={x|x≥a-1},又A∪B=R,
∴a-1≤1,解得a≤2,
∴实数a的取值范围是(-∞,2].
(2)由题意知2m-1≤-3,m≤-1,所以m的取值范围是(-∞,-1].
变式发散1解当B=?时,有m+1>2m-1,则m<2.当B≠?时,有解得m>6.综上可知,m的取值范围是(-∞,2)∪(6,+∞).
变式发散2解当B=?时,满足B?A,此时有m+1>2m-1,即m<2;当B≠?时,要使B?A,则有解得2≤m≤4.综上可知,m的取值范围是(-∞,4].
素养提升微专题1——运用Venn图解
题的三个阶梯
对点训练1C　阴影部分是集合M与P的公共部分,且在集合S的外部,即(M∩P)∩(?IS),故选C.
对点训练2M　因为M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,N∩(?IM)=?,所以由Venn图可知N?M,所以M∪N=M.
对点训练336　13　由题意知赞成A的人数为100×=60,赞成B的人数为60+3=63.如图,记100名学生组成的集合为U,赞成A的学生的全体记为集合A,赞成B的学生的全体记为集合B,并设对A,B都赞成的学生数为x,则对A,B都不赞成的人数为+1,由题意,知(60-x)+(63-x)+x++1=100,解得x=36.
所以对A,B都赞成的学生人数为36人,对A,B都不赞成的学生人数为13人.

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