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课题：8.1.1
变量的相关关系
1、相关关系:
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系
两个变量具有相关关系的事例在现实中大量存在.例如：
（1）子女身高y与父亲身高x之间的关系.
（2）商品销售收入y与广告支出x之间的关系.
（3）空气污染指数y与汽车保有量x之间的关系.
（4）粮食亩产量y与施肥量x之间的关系.
因为在相关关系中，变量y的值不能随变量x的值的确定而唯一确定，所以我们无法直接用函数去描述变量之间的这种关系.
2、散点图
将样本中n个数据点（xi，yi）（i＝1,2，…，n）描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。
3、正相关与负相关
从散点图可以看出各点散布的位置是从左下角到右上角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关。
反之，如果两个变量的散点图中点散布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关。
4、线性相关：
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我
们就称这两个变量线性相关
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关
例题与练习
1、在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？
①球体的半径与体积之间的关系；
②作文水平与课外阅读量之间的关系；
③人的身高与年龄之间的关系；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系；
⑤正方体的棱长和它的外接球半径之间的关系；
⑥商品销售收入与广告支出经费。
2、长方形的面积一定时，长和宽具有（
）
A、不确定性关系
B、相关关系
C、函数关系
D、无任何关系
3、在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（
）
（1）
（2）
（3）
（4）
A、（1）（2）
B、（1）（3）
C、（2）（4）
D、（2）（3）
4、根据下面的散点图，判断图中的两个变量是否存在相关关系.
001
002课题：8.1.2
样本相关系数
通过观察散点图中成对样本数据的分布规律，我们可以大致判断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关、是线性相关还是非线性相关等。散点图虽然直观，但无法确切地反映成对样本数据的相关程度，也就无法量化两个变量之间相关程度的大小.
对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别为和。将数据以（，）为零点进行平移，得到平移后的成对数据为
，，…，，
并绘制散点图.
一般地，如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第一象限、第三象限，对应的成对数据同号的居多；如果变量x和y负相关，
那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号的居多.
从上述讨论得到启发，利用散点（i
=
1,
2，…，n）的横、纵坐标是否同号，可以构造一个量
一般情形下，Lxy＞0表明成对样本数据正相关；Lxy＜0表明成对样本数据负相关.
因为Lxy的大小与数据的度量单位有关，所以不宜直接用它度量成对样本数据相关程度的大小.
为了消除度量单位的影响，需要对数据作进一步的“标准化”处理.我们用
，
分别除和（i=1，2，…，n）,得
，，…，
为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为
（x?1，y?1），（x?2，y?2），…，（x?n，y?n），
仿照Lxy的构造，可以得到
我们称r为变量x和变量y的样本相关系数.
这样，我们利用成对样本数据构造了样本相关系数r.样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性和绝对值的大小可以反映成对数据的变化特征：
当r>0时，称成对数据正相关
当r<0时，称成对数据负相关
样本相关系数r的取值范围为，样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对数据之间线性相关的程度：
当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强；
当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱.
例题与练习
1、已知变量x和变量y的3对随机观测数据（2,
2）,
（3,
—1）,（5，—7），计算两个变量的样本相关系数.能据此推出这两个变量线性相关吗？为什么？
001
002

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