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课题：8.2
一元线性回归模型及其应用
1、一元线性回归模型
当样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上时，不能用一次函数来描述两个变量之间的关系，可用线性回归模型来表示，这里a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数，e是Y与bx＋a之间的误差。通常e为随机变量，称为随机误差，它的均值
E
(e）=0，方差＞0。这样线性回归模型的完整表达式为：
我们称上式为Y关于x的一元线性回归模型，其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量。
在线性回归模型中，随机误差e的方差越小，通过回归直线响应真实值y的精度越高。
2、经验回归方程：
对于一组具有线性相关关系的数据：（)
,
()
，…，
()，回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：
＝，，
其中，（）成为样本点的中心.
（注：回归直线过样本中心）
我们将称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线。这种求经验回归直线的方法叫做最小二乘法，求得得，叫做b，a的最小二乘估计
3、残差与残差图
对干响应变量Y，诵过测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得列的称为预测值，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析。
我们可以利用图形来分析残差特性。作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图
残差点比较均匀的落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适。这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的响应精度越高。
4、相关指数
我们可以用相关指数来比较两个模型的拟合的效果，其计算公式是：
取值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好。
例题与练习
1、在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（
）
A、响应变量在轴上，解释变量在轴上
B、解释变量在轴上，响应变量在轴上
C、可选择两变量中任一变量在轴上
D、可以选择两个变量中任意一个变量在轴上
2、一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（
）
A、身高一定是145.83cm
B、身高在145.83cm以上
C、身高在145.83cm以下
D、身高在145.83cm左右
3、设有一个回归方程为，则变量增加一个单位时，则（
）
A、平均增加2.5个单位
B、平均增加2个单位
C、平均减少2.5个单位
D、平均减少2个单位
4、经验回归方程必过（
）
A、（0，0）点
B、（，0）点
C、（0，）点
D、（）点
5、两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（
）
A、模型1的相关指数为0.98
B、模型2的相关指数为0.80
C、模型3的相关指数为0.50
D、模型4的相关指数为0.25
6、三点（3，10）、（7，20）、（11，24）的经验回归方程是（
）
A、
B、
C、
D、
001
002

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