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数学·立体几何的解题技巧
一立体几何
解题技巧
1.直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直.
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
2.证明线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理.
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.
(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”.
(4)利用面面垂直的性质定理.
3.证明线线垂直的常用方法
(1)利用特殊图形中的垂直关系.
(2)利用等腰三角形底边中线的性质.
(3)利用勾股定理的逆定理.
(4)利用直线与平面垂直的性质.
4.
在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.
5.面面垂直的证明方法
(1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.
(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线面垂直加以解决.
6.线面角、二面角求法
根据线面角的定义或二面角的平面角的定义,作(找)出该角,再解三角形求出该角,步骤是作(找)?证?求(算)三步曲.也可用射影法:
设斜线段AB在平面α内的射影为A'B',AB与α所成角为θ,则cosθ=;
设△ABC在平面α内的射影三角形为△A'B'C',平面ABC与α所成角为θ,则cosθ=.
例1.(2019山东潍坊三模,8)下列说法错误的是(　　)
A.垂直于同一个平面的两条直线平行
B.若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直
C.一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行,则这两个平面平行
D.一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直
答案：D
解析：由线面垂直的性质定理可得选项A正确;由面面垂直的性质定理知选项B正确;由面面平行的判定定理知选项C正确;由直线与平面垂直的定义知,选项D错误.
?
?
例2.已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:
①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确命题:　　　　.?
答案：若l⊥α,m∥α,则l⊥m
解析：将所给论断,分别作为条件、结论,得到如下三个命题:
(1)如果l⊥α,m∥α,则l⊥m,正确;
(2)如果l⊥α,l⊥m,则m∥α,不正确,有可能m在平面α内;
(3)如果l⊥m,m∥α,则l⊥α,不正确,有可能l与α斜交、l∥α.故答案为:如果l⊥α,m∥α,则l⊥m.
?
例3.图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.
(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;
(2)求图2中的四边形ACGD的面积.
解：(1)证明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.
由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,BE∩BC=B,故AB⊥平面BCGE.
又因为AB?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)解取CG的中点M,连接EM,DM.
因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,
所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.
由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,DE∩EM=E,故
CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.
在Rt△DEM中,DE=1,EM=,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.
二立体几何
解题技巧
1.异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.
2.唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
3.共面、共线、共点问题的证明
(1)证明点或线共面问题的两种方法:
①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后证其余的线(或点)在这个平面内;
②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.
(2)证明点共线问题的两种方法:
①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;
②直接证明这些点都在同一条特定直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.
4.求解异面直线所成角的方法
方法
解读
平移法
通过作图(如结合中位线、平行四边形补形等)来构造平行线,作出异面直线所成的角,通过解三角形来求解
补形法
补成长方体或正方体
转化法
当异面直线所成角为时,可转化为证明垂直
典型例题?
例1(多选)已知空间中两条直线a,b所成的角为50°,P为空间中给定的一个定点,直线l过点P且与直线a和直线b所成的角都是θ(0°<θ≤90°),则下列选项正确的是(　　)
A.当θ=15°时,满足题意的直线l不存在
B.当θ=25°时,满足题意的直线l有且仅有1条
C.当θ=40°时,满足题意的直线l有且仅有2条
D.当θ=60°时,满足题意的直线l有且仅有3条
答案：ABC
解析：过P作a'∥a,b'∥b,则l与a,b成的角即l与a',b'成的角.
设直线a',b'确定的平面为α,
∵异面直线a,b成50°角,
∴直线a',b'所成锐角为50°.
当直线l在平面α内时,
若直线l平分直线a',b'所成的钝角,
则直线l与a,b都成65°角,适当调整l的位置,l与a,b所成角的范围为[65°,90°];
若直线l平分直线a',b'所成的锐角,
则直线l与a,b都成25°角,适当调整l的位置,l与a,b所成角的范围为[25°,90°],
故A,B,C都正确,当θ=60°时,满足题意的直线l有且仅有2条,所以D错误.
故选ABC.
例2以下四个命题中:
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.真命题的个数是(　　)
A.0???????????????????
B.1?????????????????????
C.2?????????????????????
D.3
答案：B
解析：①正确,否则三点共线和第四点必共面;②错,如图三棱锥,能符合题意,但A,B,C,D,E不共面;从②的几何体知,③错;由空间四边形可知,④错.
例3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为　　　　　(注:把你认为正确的结论序号都填上).
?
答案：③④
解析：因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故①错;取DD1中点E,连接AE,则BN∥AE,但AE与AM相交,故②错;因为B1与BN都在平面BCC1B1内,M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故③正确;同理④正确,故填③④.
三立体几何
解题技巧
1.平面与平面平行的三个性质
(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等；
(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
2.判断两个平面平行的三个结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行；
(2)平行于同一平面的两个平面平行；
(3)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.
3.判断或证明线面平行的常用方法有
(1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α)；
(3)利用面面平行的性质(α∥β,a?α?a∥β).
4.证明线面平行往往先证明线线平行,证明线线平行的途径有:利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.
5.空间中证明两条直线平行的常用方法
(1)利用线面平行的性质定理,即a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b；
(2)利用平行公理推论:平行于同一直线的两条直线互相平行；
(3)利用垂直于同一平面的两条直线互相平行.
6.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现错误；在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”.
例1.(多选)下列命题中正确的是(　　)
A.平面α∥平面β,一条直线a平行于平面α,则a一定平行于平面β
B.平面α∥平面β,则α内的任意一条直线都平行于平面β
C.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面,那么该三角形所在的平面与这个平面平行
D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
答案：BCD
解析：平面α∥平面β,一条直线a平行于平面α,则a可能在平面β内,故A错误;平面α∥平面β,则α内的任意一条直线都平行于平面β,故B正确;一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,由面面平行的判定知,三角形所在的平面与这个平面平行,故C正确;分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线,故D正确.故选BCD.
例2.已知空间几何体ABCDE中,△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形,△ABC为腰长为3的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD,M,N分别为DB,DC的中点.
(1)求证:平面EMN∥平面ABC;
(2)求三棱锥A-ECB的体积.
?
(1)证明
取BC中点H,连接AH,
∵△ABC为等腰三角形,∴AH⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,
∴AH⊥平面BCD,同理可证EN⊥平面BCD,∴EN∥AH,
∵EN?平面ABC,AH?平面ABC,
∴EN∥平面ABC,
又M,N分别为BD,DC中点,
∴MN∥BC,
∵MN?平面ABC,BC?平面ABC,
∴MN∥平面ABC,又MN∩EN=N,
∴平面EMN∥平面ABC.
(2)解
连接DH,取CH中点G,连接NG,则NG∥DH,由(1)知EN∥平面ABC,
所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等,又△BCD是边长为2的等边三角形,
∴DH⊥BC,又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,DH?平面BCD,∴DH⊥平面ABC,∴NG⊥平面ABC,∴DH=,又N为CD中点,
∴NG=,又AC=AB=3,BC=2,
∴S△ABC=1/2
·|BC|·|AH|=,
∴VE-ABC=VN-ABC=1/3·S△ABC·|NG|=?
四立体几何
解题技巧
1.
常用结论
（1）对空间任一点O,若(x+y=1),则P,A,B三点共线.
（2）对空间任一点O,若(x+y+z=1),则P,A,B,C四点共面.
2.空间向量数量积的应用
(1)求夹角.设向量a,b所成的角为θ,则cosθ=,进而可求两异面直线所成的角.
(2)求长度(距离).运用公式|a|2=a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.
(3)解决垂直问题.利用a⊥b?a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
3.共线定理、共面定理的应用
（1）证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题,如证明A,B,C三点共线,即证明共线,亦即证明(λ≠0).
（2）证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明P,A,B,C四点共面,只要能证明,或对空间任一点O,有,或(x+y+z=1)即可.
4.注意事项
（1）向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
（2）在利用①证明MN∥平面ABC时,必须说明点M或点N不在平面ABC内(因为①式只表示共面).
（3）求异面直线所成的角,一般可以转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后应进行转化.
02典型例题
精准剖析
例1.若x,y∈R,有下列命题:
①若p=xa+yb,则p与a,b共面;
②若p与a,b共面,则p=xa+yb;
③,则P,M,A,B共面;
④若点P,M,A,B共面,则.
其中真命题的个数是(　　)
A.1?
B.2?
C.3?
D.4
答案：B
解析：①正确,②中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb就不成立.③正确.④中若点M,A,B共线,点P不在此直线上,则不成立.
例2.如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足(0≤k≤1).
(1)向量是否与向量共面?
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行?
解：
例3：如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别是棱A1D1,AB,BC的中点,若经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线为l,则l与直线QB1所成角的余弦值为(　　)
A.??
?
?
?B.?
???C.??
?
?
?
?D.
答案：B
解析：
取C1D1中点E,则平面PQEM是点M,P,Q的平面,
延长PQ,交DC延长线于点F,则EF是经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线l,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则
设l与直线QB1所成角为θ,则cosθ=,所以l与直线QB1所成角的余弦值为.
五立体几何
解题技巧
1.直线的方向向量的确定:l是空间一直线,A,B是l上任意两点,则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量.
2.平面的法向量的确定:设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为
3.用向量证明平行的方法
(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.
(2)线面平行:①证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.
(3)面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量;②转化为线面平行、线线平行问题.
4.用向量证明垂直的方法
(1)线线垂直:证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.
(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线.
(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直.
5.利用向量法求异面直线所成的角时,是通过两条直线的方向向量的夹角来求解,而两异面直线所成角θ的范围是,两向量的夹角α的范围是[0,π],所以要注意二者的区别与联系,应有cosθ=|cosα|.
6.利用向量法求线面角的方法
①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);
②通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角.
7.利用空间向量求二面角的方法
①分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;
②通过平面的法向量来求,即设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2,则二面角的大小等于(或π-).应注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角.
8.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断.另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步:(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系;(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.
典型例题
精准剖析
例1.?如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD所成的角为30°.求证:
(1)CM∥平面PAD;
(2)平面PAB⊥平面PAD.
?
证明?以点C为坐标原点,分别以CB,CD,CP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角.∴∠PBC=30°.∵PC=2,∴BC=,PB=4.∴D(0,1,0),B(,0,0),A(,4,0),P(0,0,2),M,
=(0,-1,2),=(,3,0),
(1)设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,由
令y=2,得n=
,
又CM?平面PAD,∴CM∥平面PAD.
(2)如图,取AP的中点E,连接BE,
又PA∩DA=A,
∴BE⊥平面PAD.
又BE?平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAD.
例2.
如图①,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为AB,CD的中点,CD=2AB=2EF=4,M为DF中点.现将四边形BEFC沿EF折起,使平面BEFC⊥平面AEFD,得到如图②所示的多面体.
求二面角M-AB-D的余弦值.
解:∵平面BEFC⊥平面AEFD,平面BEFC∩平面AEFD=EF,且EF⊥DF,
∴DF⊥平面BEFC,∴DF⊥CF,
∴DF,CF,EF两两垂直,
以F为坐标原点,分别以FD,FC,FE所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
∵DM=1,
∴FM=1,∴M(1,0,0),D(2,0,0),A(1,0,2),B(0,1,2).
取x=1,得m=(1,1,0).
设平面ABD的法向量n=(x,y,z),
取z=1,得n=(2,2,1).

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