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?求最值常用的24种方法（附例题）！
∥BC交AB于D,交AC于E.沿直线l将△ABC所在平面折
成直二面角,若折起后A,B两点间距离最短,试求l此时的位
置,并求出AB的最小值
解如图16-2,设折起后点A所在的半平面为A.过A在
面β内作AF⊥l,垂足为F,则AF⊥面a
在a内过F作FG⊥BC于G,可证G为BC的中点,且AF
+FG=x2°a(原正三角形的高)
令AF=x,则FG=3a
又BG=a
∴BF2=BG2+FG2=(2)2+(2a-x)2
又在Rt△ABF中
AB2=AF2+BF
4
2(
4
当
a时,即DE为原正三
角形中位线时,AB2有最小值a2,此时,AB的最小值为
注根据几何图形,将几何变量关系转化为二次函数关系
是解决问题的思想方法
16.3利用二次方程的判别式
欲求函数y=f(x)(x∈R)的极值,如果可以把函数式整理
成关于x的二次方程,注意到x在其定义域内取值,即方程有
实根,所以可以通过二次方程的判别式△≥0来探求y的极大
与极小值.
【例5】已知0≤x≤1,求y=3x-10x+3的最值
解原式可化为
(3y-2)x2+(5-10y)x+(3y-2)=0
∵:x∈R
△=(5-10y)2-4(3y-2)2≥0
解得y≤方或
y16
即函数y的值域为≤4或y≥16
Q
y大
y级小1
当y=时,代入原函数式解得x=1∈0,1];
当
9
时,代入原函数式解得x=-1∈〔0,1
又
时
∴当x=0时,y取最大值
注①由判别式确定的是函数的值域,由值域得到的是函
数的极值而不是最值;②对有些函数来说,极值与最值相同,而
有的函数就不一定,如本例中的极大值比极小值还小,这正是因
为极值是就某局部而言;③若要求函数在给定的定义域内的最
值,一定要注意极值是否在此定义域内取得,即要注意验根
【例6】已知直线l:y=4x和点P(6,4),在直线l上求
点Q,使过点P,Q的直线以及L与x轴在第一象限内围成的三
角形的面积最小
解设Q点坐标为(x1,y1),则y1=4x1,PQ的方程为
4x1-4
(x-6)
令y=0得PQ与x轴的交点R(x2,0)的横坐标x2=
10
∴SaR=2x2y)=x1-1
整理为10x12-Sx1+S=0(
)
P(6,4)
∵x1为实数
∴△=S2-40S≥0
得S≥40,取S的最小值40代入
)式,得
10x-40x1+40=0
解得x1=2,则y1=8
故点Q的坐标为(2,8)

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