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应用基本不等式的几点注意
应用基本不等式求最值是最值求解的重要方法之一，但应用基本不等式求函数最值时往往容易忽略 “一正、二定、三相等”这三个条件而导致出现错误，本文将举例给以说明.
一、没有注意“正数”的条件
例1、求函数的最大值。
错误解法：
∵
∴，故有最大值
错误原因：成立的前提条件是如果则。这是没有注意“正数”的条件。
正确解法：当时，，
故
当时，
故
二、没有注意“相等”的条件
例2、求函数的最小值。
错误解法：
错误原因：上述解法忽略了等号成立的条件，因为方程无解，从而导致错误的结果。这是没有注意“相等”的条件。
正确解法：
当时，两次放缩的等号均成立。
注意：由于定义域的限制，有些型的式子，满足两数之积为常数，但不能使等号成立。如求：的最小值，虽然有但当时取“=”号不在其定义域之内，不能用定理。这时利用函数单调性来解：，在内是减函数，在内是增函数。
三、没有注意和为“常数”的条件
例3、求函数的最小值。
错误解法：根据知
的最小值是2。
错误原因：而使得取最小值2。当且仅当
即无实数解。这是没有注意和为“常数”的条件。
正确解法：设
则在上递增， 当时，
四、没有注意积为“常数”的条件
例4、设，求的最大值。
错误解法：
=。
错误原因：中，并非定值。
这是没有注意和或积为“常数”的条件。
正确解法：
当时，即时，最大值为。
例5、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。
错误解法:(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8∴(a+)2+(b+)2的最小值是8；
错解原因：上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。
正确解法：原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2-2ab]+ [(+)2-]+4 =(1-2ab)(1+)+4由ab≤()2= 得：1-2ab≥1-=,且≥16，1+≥17∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)∴(a+)2+(b+)2的最小值是。
注意在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内.

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