资源简介 比和比例“比”和“比值”这两个概念有什么联系和区别 在除法中，两个数相除时，就叫做两个数的比。一般分为两种情况：（1）比较同类量的倍数关系，表示其中一个数是另一个数的几倍或几分之几。例如：红光小学有女教师40人，男教师12人。表示女教师与男教师人数的比是40∶12（或化简为10∶3），这也表示女教师人数是男教师人数（2）两个不同类量相比，是表示一个新的量。例如：总价∶数量，表示单价。路程∶时间，表示速度。总产量∶亩数，表示亩产量。“比”是由前项∶后项组成的，而“比值”是前项除以后项所得的商。如：由此可以看出：“比”和“比值”这两个概念是有区别的。但两者之间也是有联系的，因为没有前面的“比”，就不会有后面的“比值”。就一般而言，“比”和“比值”都是一个完整比的组成部分。除此之外，还要看到“比”和“比值”也有着一致性。从广义上解释，两个数的比是两个数的商，这个商也是比值。如：第1页共20页由于比中的比号相当于分数中的分数线，所以用比的形式表示，就是7∶比、除法、分数这三者之间，有什么联系和区别？在小学数学教材中，从除法到分数，又到比，这不仅是一个发展过程，三者之间也存在着内在的必然联系。在比的教与学中，揭示它们之间的联系，是极其必要的。比的前项相当于除法中的被除数，分数中的他子；后项相当于除法中的除数，分数中的分母；比号柑当于除法中的除号，分数中的分数线；比值相当于除法中的商，分数的分数值。例如：在比中，前项÷后项=比值a∶b=c在除法中，被除数÷除数=商a÷b=c第2页共20页如上所述，比、除法、分数三者之间有着如此密切的联系，目的在于：有关比的运算，可以转化为除法运算或分数形式，而又需要重新建立比的运算法则。它们之间的区别，从意义上区分有：“比”是表示两个数的倍数；“除法”表示的是一种运算；“分数”则是一个数。“求比值”和“化简比”有区别吗？在比和比例中，求比值是常用的，但也需要把较复杂的整数比（不包括含有分数、小数的比），化成简单的整数比，这两者是有区别的。在区别求比值和化简比时，有一种并不全面的说法，即：求比值时用除法（比的前项除以后项）；而化简比时，运用的是比的基本性质（比的前项和后项同时乘以或除以一个不等于0的数，比值不变）。这只是看到了问题的一个方面，实际上，求比值也可以运用比的基本性质，而化简比也可以用除法。=3∶60（前项和后项同乘以10）=1∶20（前项和后项同除以3）第3页共20页由此看来，用什么方法并不是两者的主要区别。应该看到的是下述情况：比有三种表示形式，一是比的一般形式，如5∶6；一是比的分数形式，既可以认为是比，读作：5比6；也可以认为是比值，读作：六分之五。在就是说，对两者在这样的情况下，不需要严格区别。在小学数学教材中，作为不同的练习形式，又有着求值与化简比的不同要求。为了使学生明确这不同的要求，就必须加以约定，如果是求比值，就把结果写成数的形式（整数、小数或分数）；如果是化简比，就把结果写成比的一般形式，以表示这两者练习形式上的区别，至于用什么方法，则不一定强求一致。绘图时如何选择比例尺？比例尺是图上距离和实际距离的比。在绘制地图、操场或教室的平面图以及零件图时，要把实物的长度（或实际距离）缩小若干倍后，再画到纸上，这就用到比例尺。涉及到比例尺的问题，通常有三种情况：（1）求比例尺。图上距离∶实际距离=比例尺（2）求实际距离。图上距离÷比例尺=实际距离（3）求图上距离。实际距离×比例尺=图上距离第4页共20页这三类情况，除（1）是求比例尺外，（2）（3）本身都有指定比例尺，因此，计算起来并不困难。但是，在绘图时，比例尺一般是不知道的，这就要视图纸大小这个具体情况，自己确定适当的比例尺。这是因为：如果比例尺选择的太大，图纸就可能不够画；如果比例尺选择的太小，画出的图只占图纸的很小部分，则图纸没有得到充分利用。这样画出的图，即不美观、大方，也不匀称、清楚。所以，在绘图时，选择“适当”的比例尺，则是重要的前提条件。例如：要把一块长50米，宽30米的长方形土地，画在一张长28厘米，宽30厘米的纸上，应该选择怎样的比例尺？光从长考虑，比例尺可以是：28∶5000≈1∶179再从宽考虑，比例尺可以是：30∶3000=1∶100根据一张图纸上只能选用统一的比例尺，对比一下，只能“选小不选大”，因为一旦选大了，图纸则画不下，所以，应选用1∶179的比例尺考虑到在一般情况下，为了画图的准确和方便，实际画图时，实际距离（长、宽、高等）扩大或缩小的倍数，常常是整十、整百、整千、整万……的倍数；同时还要考虑到图案画上后还要留边、画框以及写图的名称和标明比例尺等事项。因此，这张图选用1∶200的比例尺比较合适。按这个标准的比例尺，在纸上画出的图长为25厘米，宽为15厘米，同时也留有余地地满足了有关画图的其他要求。总之，在用比例尺绘图前，首先要了解所画的地形（或实物）在长和宽这两个方向的实际距离是“多长”（以后画立体图时，还要考虑到“高”）；然后再量出图纸在长和宽这两个方向上的尺寸有“多大”。这样，才能根据实际距离的大小和图纸的尺寸，确定选用适当的比例尺。“比”和“连比”一样吗？比和连比是两个不同的概念。从意义上看比是表示两个数的倍数关系（或两个数相除）。连比是两个以上数之间的各自所占的份数比，它不是以上两个数连除的关系。比和连比中的“项”也是不同的：第5页共20页从比值上看：比既然表示两个数的倍数关系，当然可以求出比值来，如：值。如果把两个比组成连比，必须使第一个比的后项等于第二个比的前项。例如：甲和乙的比是3∶4，乙和丙的比是6∶5，假如把甲、乙、丙的连比写成3∶4∶5则是错误的，写成3∶6∶5也是错误的。因为乙对甲来比是4，对丙来比又是6，这是两个不同标准的比，现在进行连比，乙必须有一个对甲、对丙都一致的数。也就是说，把两个比组成连比，“中项”必须统一。中项统一后，由于中项数字的变化，前项与后项的数字，也要发生相应的变化。甲和乙的比是3∶4，乙和丙的比是6∶5，甲、乙、丙的连比应该是9∶12∶10。其中项统一过程如下：连比的项不限于三项，也可能是若干项。连比的一般形式为a1∶a2∶a3∶…∶an，当连比的项较多时，各项的名称以此为例，a1叫做连比的第一项（也叫首项），a2叫连比的第二项，a3叫连比的第三项，…an叫做连比的第n项（也叫末项）。第6页共20页球赛记分牌上的“2∶0”、“6∶2”等，有没有比的含义？在激烈的足球比赛中，为了表示比赛双方的进球数，记分牌上经常显示“2∶0”或“6∶2”等比分，这些比分都没有数学中“比”的含义。记分牌上的“2∶0”，表示一方踢进对方大门2个球，另一方没有踢进。在篮球比赛中，“2”表示一方得了2分，“0”表示一方没有得分。固然“2∶0”表示比赛的双方相差2分；“6∶2”表示相差4分，但这些比分只表示比赛双方各自的得分和相差的分数，而不表示“比”的含义中的倍数关系。说明球类比赛中“2∶0”不具有“比”的含义，并不因为这个“2∶0”的后项是0，从而根据比的后项不能是0的规定得出的结论。这是因为球类比赛中的比分，所谓的后项不一定都是0。如果按上述结论去说明，当所谓的后项不是0时，岂不又具有“比”的含义吗？例如：球场上的比分为“6∶2”，说明比赛双方相差4分，如果把“6∶2”看作数学中的“比”，“比”是可以化简的，6∶2=3∶1，其结果表明：比赛双方相差2分，这与球场的实际情况是完全不符合的。因此，球赛时记分牌上所表示的比分，只是为了直观，借用了比的符号，而没有数学中的任何比的含义。正比例的性质和反比例的性质有什么区别？正比例的性质和反比例的性质，是相反的两个性质，在学习和运用时，由于表述形式近似，只是个别关键词语的不同，极容易相互混淆，必须正确地加以区分。正比例的性质是：两种相关联的量，其中一种量的任意两个数值的比，等于另一种量对应的两个数值的比。例如：一列火车的速度每小时60千米，如果所行时间与所行路程成正比例关系，那么所行时间的任意两个数值的比，必须与对应所行路程的两个数值的比相等。如下表：第7页共20页从顺向看：时间上2小时与4小时的比为2∶4=0.5；路程上2小时所行的千米数与4小时所行的千米数的比120∶240=0.5。这两个比的比值相等，具备了正比例的性质。具备了正比例的性质。反比例的性质是：两种相关联的量，其中一种量的任意两个数值的比等于另一种量对应的两个数值比的反比。例如：完成1200台电视机的生产任务，每天生产的台数和完成的天数成反比例关系，每天产量中任意两个数值的比，等于所对应完成天数的两个数值比的反比。如下表：从逆向看：台数上400台与200台的比为400∶200=2；其对应天数比的反比为6∶3=2。两个比的比值相等，具备了反比例的性质。反比、反比例和反比例关系有什么区别？在比和比例这部分知识中，反比、反比例和反比例关系也是容易混淆的。不正确区分三者的确切含义，就会在凭借概念进行判断和依据性质进行计算上，产生“后遗症”，最后还得溯本求源，从基本概念上进行澄清。第8页共20页因此，从防微杜渐的角度上，一开始就结合教材进行正确区分，是非常必要的。“反比”是与正比相对而言的，它们都不属于比例的范畴。在两个比中，如果一个比的前项和后项，分别是另一个比的后项和前项，这两个比就叫做互为反比。例如：3∶4的反比是4∶3；反过来，4∶3的反比是3∶4。“反比例”是对两种相关联的量对应数值组成比的顺序而言的。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，据此写出的比例式称为反比例。例如：有一堆煤，每天烧煤2吨，可烧12天，如果每天烧煤4吨，可以烧6天，每天烧6吨，可以烧4天。从条件中的规律可见，煤的总重量一定，每天烧煤量与烧得天数成反比例。“反比例关系”是成反比例的两种量之间的数量关系。如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示积（一定），其关系式为：x×y=k（一定），在这个式子中，x与y的关系，就是反比例关系。什么叫做按比例分配的应用题？在对物品或任务进行分配时，有时按照平均分配的方法，这种分配的方法也叫“匀分”。另一种分配方法不是平均分配，而是根据需要或其他情况，确定分配对象的不同份额，先找出总份额数（也就是总份数），再求出每份额（每份数）的具体数量，然后根据不同份额求出各自分配到的具体数量。这种分配方法叫按比例分配，用按比例分配的方法去解答的应用题，叫做按比例分配的应用题。例如：光华小学在植树日，需完成植树168棵的任务，按3∶4∶5的比例，分配给四、五、六年级，求每个年级应植树多少棵？此题按一般应用题解法，属于归一问题。解题的过程为：（1）三个年级共多少份？3＋4+5=12（份）第9页共20页（2）平均每份是多少棵？168÷12=14（棵）（3）四年级应植多少棵？14×3=42（棵）（4）五年级应植多少棵？14×4=56（棵）（5）六年级应植多少棵？14×5=70（棵）答：（略）此题用按比例分配方法解，同样要先求出总份数，但不求每份是多少棵，因为分配给三个年级的份额各占总份数的几分之几，也就是三个年级植的棵数各占总棵数（168棵）的几分之几，所以可直接求出三个年级各自应植的棵数。解题过程为：（1）总份数：3＋4＋5=12答：（略）正方形的边长和面积为什么不成比例？在判断比例的练习中，学生常把正方形的边长与面积误判成正比例。造成这种误判，在于对正比例关系缺乏全面理解。对“两种相关的量，一种量变化，另一种量也随着变化”，这句话是记住了，认为边长扩大，正方形的面积也会扩大，但这只是正比例关系含义的一半。另一句话，却被忽略了，即：“如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定”。对其忽略的部分，可通过列出边长与面积的对应数值表，来进行准确的判断。第10页共20页从表中的边长和面积的数值来看，正方形的边长和面积相对应的两个数的比值并不相等。由上边所举数例可以说明：正方形边长的任意两个数值的比与相对应的面积的比，其比值都是不相等的，因此，正方形的边长与面积不能成正比例。除根据正比例的关系来说明正方形的边长和面积不成比例外，还可以根据比例的判定式，来证明正方形的边长和面积是不成比例的。求正方形面积的公式是：无论是成正比例或反比例，其中必有一个量是一定的（或称不变量）。由于正方形的特征之一是：正方形的四条边的长度都相等，在上述公式中，找不出一定的量，如果一个边长扩大了，其他边长也必然相应扩大，否则它就不是正方形了。所以，正方形的边长和面积是不成比例的。第11页共20页同时，还应该看到：正方形的边长和面积固然不成比例，但正方形的边长平方和面积是成正比例的。因为边长平方和相对应面积的两个数的比值是相等的。仍以上表中的数值为例：在正、反比例的应用题中，怎样确定“一定”的量？在成比例的两种相关联的量中，无论是成正比例，还是成反比例，都是这两种量之间的关系。但在形成比例的因素中，事实上还存在着与这两种量密切相关的另一种量，这个量是“一定”的，也就是不变的量。没有这个“一定”的量，只有前面的两种相关联的量，正、反比例的关系都是不能成立的。例如：（1）火车的速度一定，所行的时间和路程成正比例；（2）玉米的亩产量一定，种植玉米的亩数和总产量成正比例；（3）生产机器的总台数一定，生产时间和效率成反比例；（4）全班学生人数一定，分的小组数和每组人数成反比例。上述一些成正、反比例关系的实际问题中，这个“一定”的量比较明显，因此，容易确定；但在另一些成正、反比例的实际问题中，这个“一定”的量比较隐蔽，所以难以确定。揭示出“一定”的量，就成为判断两种量是成正比例还是成反比例的前提条件。例如：（1）正方形的边长和周长成正比例；（2）圆柱体的底面积和高成反比例；（3）圆的直径和周长成正比例；第12页共20页（4）齿轮转动，主动轮、从动轮的齿数和转速成反比例。判断上述比例，在于揭示出比较隐蔽的“一定”的量。根据正、反比例种量则成正比例关系；如果x×y=k（一定），这两种量则成反比例关系。系的关系式。在这个关系式中，“一定’的量就是k。因此，要揭示隐蔽的“一定”的量，就必须熟练地掌握上面的关系式，从关系式中来确定“一定”的量。前面例举的四道题，其“一定”的量可如下进行确定：（1）∵正方形周长/正方形边长=正方形边数正方形边数是4，这是一定的；∴正方形边数就是此题中的“一定”的量。（2）∵圆柱底面积×高=圆柱体体积，圆柱体体积是已知的；∴圆柱体体积是此题中“一定”的量。（3）∵圆的周长/圆的直径=圆周率圆周率π是一个常数；∴圆周率是此题中“一定”的量。（4）∵齿轮齿数×齿轮转数=转过总齿数，主动轮、从动轮转过的总齿数是一样的；∴转过总齿数是此题中“一定”的量。上面确定“一定”的量的关系式中，有除法关系式，也有乘法关系式，从“积”或“商”的不变中，可以找出比较隐蔽的“一定”的量。除此之外，还可以从熟悉的基本数量关系中，直接用乘法关系式来寻找。第13页共20页即：因数×因数=积在这个乘法关系式中，当其中的一个因数一定时，另一个因数与积存在着正比例关系；而当积一定时，两个因数之间存在着反比例关系。以常见的速度×时间=路程为例：这样的乘法关系式还有很多，如：长×宽=长方形面积、底×高=平行四边形面积、底面积×高=长方体体积（或圆柱体体积）、单价×数量=总价等，利用这些关系式，可以一式三用地确定出“一定”的量，从而对正、反比例的应用题做出正确的判断。比例应用题有哪些解题思路？在学习比例应用题以前，已经掌握了整数、小数、分数的应用题，以及用方程解的应用题，因此，解比例应用题时，其解题思路就不限于比例本身。通常有以下几个思路：（1）按照正、反比例的关系去思考，用比例的方法；（2）按照数量的对应关系（包括量率对应关系）去思考，用算术的方法；（3）按等量关系去思考，用方程的方法。这三种思路在下面例题中可以看到它们的具体运用：第14页共20页如：一辆汽车2小时行驶64千米，用同样的速度，从甲地到乙地共行驶5小时，甲乙两地之间的路程是多少千米？用比例的方法解：从条件中可知，速度为“一定”的量。设：甲乙两地之间的路程是x千米。答：甲乙两地之间的路程是160千米。用以前学习过的算术方法解：汽车5小时行多少千米，要先求出汽车1小时行多少千米，属于归一问题的思路或倍比问题的思路。归一解：64÷2×5=160（千米）倍比解：64×（5÷2）=160（千米）答：甲乙两地之间的路程是160千米。用方程的思路解：由于汽车的速度前后没变，其等量关系式是：5小时行的千米数÷5=2小时行的千米数÷2实际上是速度=速度。设甲乙两地之间的路程是x千米。x÷5=64÷2x=64÷2×5x=160第15页共20页答：甲乙两地之间的路程是160千米。上述三种思路只是从比例、算术、方程的角度上划分的，事实上在算术的范围内有时还会出现多种解法，而每一种解法都是一种思路。因此，在掌握用比例解法解比例应用题的同时，也鼓励学生在可能的情况下进行“一题多解”，这既是对解题思路的开拓，也是对已学过知识的自觉复习。什么叫做复比例？在两个或若干个比例的各对应项上，实行四则运算，所得到的比例叫做复比例。复比例通常有以下三种情况：（1）比例的加法和减法：由两个或若干个具有相等比值的比例，其对应项相加或相减所成的复比例，也具有原来相等的比值。例如：40∶10=24∶6（比值为4）12∶3=8∶2（比值为4）经过加减得到的复比例是：（40±12）∶（10±3）=（24±8）∶（6±2）按加法得：52∶13=32∶8按减法得：28∶7=16∶4（2）比例的乘法：从两个或若干个比例各对应项相乘所得到的复比例，它的比值等于已知各比例比值的积。通过乘法得到的复比例是：（3×4）∶（2×2）=（6×2）∶（4×1）12∶4=12∶4（比值为3）第16页共20页由此可知，已知比例的各项自乘所得到的复比例，它得的比值等于已知比值自乘以同次方。比例各项自乘3次得到复比例为：（3）比例的除法：一个比例的各项除以另一个比例的各对应项所得的复比例，它的比值等于两个已知比例的比值的商。通过除法得到的复比例为：（3÷4）∶（2÷2）=（6÷2）∶（4÷1）什么是复比例应用题？计算两个以上的量成比例的应用题，叫做复比例应用题。例如：6个水管10小时注满10米长、3米宽、1.5米深的水池，用同样的水管8个，要注满9米长、4米宽、2.5米深的水池，需要多少小时？设需要x小时。列出已知条件，使同类量上下对齐：第17页共20页此题中共有五个量，在列出的条件里，“↓”表示所求量与已知量成正比例；“↑”表示所求量与已知量成反比例。在固定其他量“一定’的前提下，判断未知量与每一个量成正比例还是反比例。成正比例的，向下画一个箭头；成反比例的，向上画一个箭头。最后把箭头所指的数及与未知数同一列的数的积作分子，箭尾指着的数的积作分母，所得的分数值，就是题目中所求。答：需要15小时。复比例应用题也可以用整数或小数中的“归一”方法解，仍以上题为例：（1）每个水管1小时注水多少立方米？10×3×1.5÷10÷6=0.75（立方米）（2）要注满水的水池容积是多少立方米？9×4×2.5=90（立方米）（3）8个水管1小时注水多少立方米？0.75×8=6（立方米）（4）需要多少小时？90÷6=15（小时）第18页共20页什么是混合比例应用题？把价值不同、数量不等的同类物品相混合，已知各物品的单价及混合后的平均价格（或总价和总数量），求混合量的应用题，叫做混合比例应用题。混合比例应用题在小学数学教材中虽然没有涉及，但在实际生活中，这类问题又是常见的。例如：两种糖果，每千克的价格，甲种4.8元，乙种4.2元，混合后每千克价格为4.6元，已知混合时，甲种糖果比乙种多用2.5千克，求两种糖果各用多少千克？解：设甲种糖果用x千克，乙种糖果用了（x-2.5）千克。（4.8-4.6）∶（4.6-4.2）=（x-2.5）∶x0.2∶0.4=（x-2.5）∶x0.2x=0.4x-10.2x=1x=5（千克）甲种5-2.5=2.5（千克）乙种验算：甲种糖果5千克价：4.8×5=24（元）乙种糖果2.5千克价：4.2×2.5=10.5（元）两种糖果共价：24＋10.5=34.5（元）两种糖果共重：5＋2.5=7.5（千克）混合后每千克价：34.5÷7.5=4.6（元）又如：买来甲乙两种铅笔若干支作为奖品，甲种每支0.6元，乙种每支0.4元，平均每支0.525元，已知甲种铅笔比乙种多20支，求两种铅笔各多少支？解：设甲种铅笔x支，乙种铅笔（x-20）支。第19页共20页答：甲种铅笔50支；乙种铅笔30支。第20页共20页分数应用题在分数应用题中，如何进行聚简为繁的训练？在分数应用题的教与学中，特别是对较复杂的分数应用题，通常采用化繁为简的方法，即：把较复杂的题目逐步分解成若干个有联系的简单应用题。这种分散难点、各个击破的方法，实际上是化繁为简的训练。与此同时，还要进行把简单应用题逐步组合成较复杂应用题的训练，使学生既看到较复杂应用题的分解过程，也看到它的组合过程，后者就是聚简为繁的训练。完成了多少米？这是一道求一个数几分之几是多少的一步应用题，属于早已掌握的旧知识，可以顺利地列式解答。结果求出后，立即提出下题：4天修完6000米，平均每天修了多少米？这是一道除法中求一份数是多少的简单应用题，也比较容易列式解答。6000÷4=1500（米）接着提出第三个问题：按每天修1500米的速度，完成计划的36000米，实际要多少天？这是除法中包含除的简单应用题，列式解答也将是顺利的。36000÷1500＝24（天）在此基础上，提出第四个问题：计划30天完成的任务，实际用了24天，提前几天完成任务？这是减法中求两数差的简单应用题，列式解答为：30－24=6（天）在分散的基础上，把四个熟悉并早已掌握的简单应用题组合起来，就组成了一道四步的较复杂的应用题。即：第1页共23页照这种速度，可以提前几天完成任务？这种聚简为繁的训练，可以帮助学生看到较复杂应用题是如何组成的，也就是较夏杂应用题是怎样一步一步地复杂起来的。这是两步应用题教学中，并题训练的扩大。在此基础上，对进行化繁为简的解答，不但起了促进作用，也起了对较复杂应用题在理解上的相辅相成的作用。从而达到培养学生全面地提高逻辑思维能力的目的。在分数应用题教学中，如何进行一题多变？一题多变是应用题教学中常用的一种教学手段，它是在掌握例题典型性的基础上，充分发挥例题的可变性，通过条件的变化和问题的改换，使知识向纵向和横向延伸。这对于防止学生思维的呆板，摆脱思维定势的羁绊，都是极其有益的。一题多变的方法，一般在练习课、复习课和思维训练课上使用。它不仅可以沟通知识的内在联系；还可以使基本题向深度和广度发展，从而看到较复杂题的来龙去脉。既有利于学生思维灵活性的培养，又在有限的教学时间内加大练习和训练的密度。例如：教师先在黑板上板书两个条件：男生25人，女生20人。然后启发学生：依据这两个条件，在学过分数乘、除法应用题上，可以提出什么问题？开始时，一般提出下面四个问题：（1）男生人数是女生人数的多少倍？（2）女生人数是男生人数的几分之几？第2页共23页（3）男生人数比女生人数多几分之几？（4）女生人数比男生人数少几分之几？随着四个答案，教师继续板书，将男生25人用红笔框起来，表示为问题；把女生20人与原来提出的四个问题的答案，作为条件，分别用直线连接。这样就形成了四个新问题：在完成上述四题的口算后，再将女生20人这个条件用红笔框起来，用男生25人与上述四题的结果作为条件。这样又形成了四个新问题：第3页共23页这时，板书已经形成了以下的网状结构：通过一题多变，将两个基本条件，先后组成了十二道基本应用题，同时揭示了分数乘、除法应用题转化关系。如果把男、女生人数和作为标准量，还可以变化出更多的题目。以上所举的例子，只是横向上的一题多变。如果在一道基本题的基础上，附加条件或引申问题，那就是纵向上的一题多变。运用一题多变，有两个问题应该注意：其一，一题多变不是目的，而是促进学生思维灵活的手段。不能为多变而多变，更不是变得越多越好，要从班级实际情况出发，做到“适可而止”。其二，进行一题多变的基础，是学生清晰而明确地掌握基本数量关系和“量”与“率”的对应关系，不能匆忙起步。否则，仓促的多变，反而会引起部分学生思维上的混乱。在分数应用题教学中，如何进行一题多解？一题多解是应用题教学的一种重要方法。即：在不改变条件和问题的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析和思考，以探求不同的解题思路。在探求的过程中，由于学生的思维发散点不同，因而能找出多种解题途径，收到培养求异思维的效果。进行一题多解的训练，通常采用两种方法：一种是先找出常规解法，然后进行发散性的思考，以探求不同的思路；另一种是摆出条件和问题后，不找常规解法而直接进行发散。前者属于“同中求异”，后者属于“异中求同”。因为这两者的目标是一致的：在发展思维的前提下，“殊途同归”。第4页共23页例如：修路队九月份（按30天计算）计划修路2400米，由于开展向国解法一：按分数应用题的常规思路，确定计划2400米为标准量，求出它两数差。解法二：按方程的思路分析，把提前的天数设为x，其含有未知数的等式为：解法三：按工程问题的思路分析，把计划的2400米看作“1”，“1”里面包含着多少个这样的几分之几，就求出了实际的天数，最后用减法求出提前的天数。解法四：按比例应用题的思路来分析，设提前的天数为x，前6天所对的比值，速度是不变量。设：可提前x天完成。第5页共23页解法五：仍按比例应用题的思路分析，根据速度一定，时间和数量成正个数的几分之几是多少，求这个数的方法，就可求出实际完成的天数，最后用减法求出提前完成的天数。其他的解法从略。在一题多解的训练中，选择恰当的题目是非常重要的。题目要从学生已掌握的知识实际出发，题目中条件与条件、条件与问题之间的关系，都应有一定的广度，要能够为求异思维的展开，提供不同的发散点。思路狭窄的题目，是不能为一题多解选用的。一题多解与一题多变一样，多解也不是目的，目的在于通过思维的发散，开拓解题的思路，发展学生的智力。什么是逆向的思维方法？逆向思维方法是与顺向思维方法相对而言的。在分析、解答应用题时，顺向思维是按照条件出现的先后顺序进行思考的；而逆向思维是不依照题目内条件出现的先后顺序，而是从反方向（或从结果）出发，进行逆转推理的一种思维方法。逆向思维与顺向思维是思维训练的主要的基本形式，也是思维形式上的一对矛盾。正确地进行逆向思维，对开拓分数应用题的解题思路，促进思维的灵活性，都会起到积极的作用。以下面两题为例：第6页共23页解：从题意上分析，这是一道典型的“还原法”问题，如果按一般顺向思维的方法进行思考，将难以找到解题的突破口。正确的解题思路就是用逆向思维的方法，从最后的得数出发，一步步地向前逆推。在逆向推理的过程中，对原来题目里的四则运算进行逆向运算。即：加变减、减变加、乘变除、除变乘。的这个数。列式计算为：解：此题如按顺向思维来思考，就是“归一”的思路，先要求出1吨面第7页共23页如果从逆向思维的角度分析，可以形成另外两种不同解法：即：①不着眼于先求1吨面粉需多少吨，而着眼于1吨小麦可磨多少吨面粉，然后再求“倍比”的思路，求出面粉的吨数。列式计算为：通过以上两例可以看出，掌握逆向思维的方法，遇到问题可以变换角度，进行正、反两方面的思考，在开拓解题思路的同时，也促进了逻辑思维能力的发展。什么是对应的思维方法？对应思维是一种重要的数学思维，也是现代数学思想的主要内容之一。在小学数学的教材中，对应思维所表现的是一般对应和量率对应，一般对应是从一一对应开始的。例如：甲有6个三角，乙有4个三角，甲比乙多几个三角？这里的虚线表示的就是一一对应，即：甲和乙都有同样多的4个三角，而没有虚线的2个，正是甲比乙多的三角。第8页共23页一般对应随着知识的扩展，也表现在以下问题上：煤80吨，平均每小时采煤多少吨？这是一道求平均数的应用题。要求出每小时采煤多少吨，必须先求上、下午共采煤多少吨和上、下午共工作多少小时。这里的共采煤吨数与共工作的小时数是相对应的，否则求出的结果就不是题目中所求的解。在简单应用题中，培养与建立对应的思维方法，这是解决较复杂的应用题的基础。因为较复杂的应用题中，间接条件较多，在推导的过程中，利用对应思维所求出的数，虽然不一定是最后结果，但往往是解题的关键所在。在分数乘、除法里，这种对应思维突出表现在数量与分率（或倍数）的对应关系上；正确的解题思路的形成，就建立在清晰、明确的量率对应的基础上。从题意分析看出，这是一道“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的分数除法应用题。条件中只有20本这唯一具体的量，解题的关键是要找出这个“量”所对应的“率”。如图：第9页共23页确定“量”所对应的“率”，是解答此类题的唯一思考途径。按照对应的思路，列式计算为：答：书架上原有书240本。从上题的思考过程来看，没有量率对应的思维方法，就不可能找出正确的解题思路。由此可见，在解答分数乘、除法应用题时，对应的思维方法，无疑是一把宝贵的钥匙。什么是假设的思维方法？假设的思维方法是一种推测性很强的思维方法。这种思维在解答应用题的实践中，具有很大的实用性。这是因为有些应用题用顺向思维和逆向思维都不能找到解题途径时，可以将题目中的两个或两个以上的未知条件，假设成相等的数量，也可以把一个未知条件假设成已知条件，从而使题目中隐蔽或复杂的数量关系，趋于明朗化和简单化，这是假设思维方法的突出特点。当“假设”的任务确定后，就按照假设后的条件，依据数量的相依关系，做出相应的调整后，列式计算并求出正确的结果。题目中有件数和与用布的米数和，由于上、下衣用布量并不一样，做的件数也不一样，按照常规思路，将是无从下手的。但是运用假设的思维方法，此题并不难解决，并且有两个思路：第10页共23页200-80=120（件）上衣500米，比实际总米数少（520-500=）20米，这个差是由于每件上衣用布数才差20米呢？这也是答案之一。列式计算为：200-120=80（件）下衣通过计算表明：这两个思路都运用了假设的思维方法。在整数应用题里的鸡兔同笼问题，实际上也运用的是这种思维方法。假设的思维方法在较复杂的分数乘、除法应用题中，应用也较广泛。如下题：第11页共23页各重多少吨？这样两个标准分率就一样了。用共重的吨数乘以假设后的统一分率，所得的样就可求出其中一堆的重量，另一堆重量用减法即可求出。30-12=18（吨）第二堆30-18=12（吨）第一堆以上的两个思路都是从率入手的。如果从量入手，又会形成两个思路。无论从量从率入手，都需要假设的思维方法作为解题的前提条件。第12页共23页什么是转化的思维方法？在分数乘、除法应用题中，常出现两个或两个以上的不同标准量，从属于这些标准量的分率，就很难进行分析和比较。运用转化的思维方法，就可以将不同的标准量统一成一个共同的标准量。在此基础上，其不同标准量的分率，也转化为共同标准量下的分率。经过转化后的数量关系，也就变得简单而明朗，既便于果断地确定思路，也利于准确而迅速地安排解题的步骤。建立转化的思维方法，必须具备扎实的基础知识，对基本的数量关系，特别是对量率对应等关系，都能够熟练地掌握和运用，这是建立转化的思维方法的前提条件。运用转化的思维方法的题目，类型较多，以常见的率转化为例：少岁？从题目的条件与问题分析，这是一道和倍应用题，但标准量却有两个（父这样就转化成分数和倍的基本题。列式计算为：解这道题，也可以通过转化，使父子年龄不同标准量统一为子年龄的标转化为先求子年龄的和倍应用题。第13页共23页如果依据题意画出线段图，还可以转化为另一种思路。一转化，就可以确定父子年龄的倍数关系。如果在观察图形的相等部分时，转换一下思维的角度，此题也可以转化10∶3。有了这个“比”的关系，又有父子年龄的“和”，可以用按比例分配的应用题进行解答。10＋3=13……总份数第14页共23页上述四种解法，不仅思路不同，在算理上也有难有易，但有一个共同点：没有转化的思维方法的参与，每个思路都是难以形成的。215．什么是消元的思维方法？在一些数量关系较复杂的应用题里，有时会出现两种或两种以上物品组合关系所构成的应用题，而在已知条件中，又只给了这几种物品相互混合后的数量的总价，如果按其他思维方法，很难分析出正确的解题思路来。这就需要运用消元的思维方法，即：依据实际的需要，通过直接加、减或经过乘、除后，再间接加、减的方法，消去一个或一个以上未知数，求出第一个结果，然后再用第一个结果推导出第二个或第三个结果来。消元的思维方法与代数中的消元法是一脉相承的，只不过小学中的消元，不设x，因此，也叫做消去未知数的方法。求一升油和一升奶各重多少千克？按照消元的思维方法，题目中的条件可排列如下：7升油+22升奶→29.31千克从条件排列中可见：两次的油与油、奶与奶的千克数，都存在着倍数关系，如果先消去油的千克数，把第一个条件扩大2倍，减去第二个条件，油固然可以消去，但奶的升数出现了不够减的情况。因此，只能采用第二个缩小2倍的方法，再减去第一个条件，从而把油消去。条件重新排列及消元的过程如下：第15页共23页千克。列式计算为：油：（29.31-1.03×22）÷7=0.95（千克）答：一升奶重1.03千克；一升油重0.95千克。除上述思路外，按照消元的思维方法，根据它们之间的倍数关系，也可以形成另一种思路。即：把第一个条件都扩大4倍，使这样就可消去奶，而先求出油来。条件排列与思路如下：第16页共23页列算式为：运用消元的思维方法，可以发现解答上述这类题目的规律。由于在解题步骤和分析消元的角度上，并不是唯一的，因此，消元的思维方法也必然会促进整个思维的发散性。什么是发散的思维方法？发散思维的方法是依据题目中条件与条件、条件与问题的相依关系，从不同的角度上去分析，从不同的途径去思考，在推理中寻找解题的线索，在比较中选择最佳思路，从而使学生的求异思维得到锻炼和发展。求同思维是求异思维的前提，没有求同就没有真正的求异，或者说：就没有真正的发散。但求异思维不是求同思维的自然发展，重要的是有计划、有目的、有重点地进行发散思维方法的培养。让学生在“同中求异”和“异中求同”，使求同思维与求异思维协同配合，做到在发散中的同步发展。以下面的两题为例：确的，但思路并不一定是一个，而是从不同角度进行发散思维的结果。7个100千克是700千克，再加1000千克，得数是1700千克。第17页共23页千克。数点向右移动三位，得数是1700千克。……上述的三种思路，其所得的结果是一致的，但分析和思考时，与旧知识两部分，采用分别相乘然后相加的方法，在运算中又使用了乘法分配律。思路②是用求一个数是另一个数的几又几分之几倍的分数乘法法则进行计算的。思路③是先将分数化成小数，然后在乘法中，根据小数点移位所引起小数大小变化的规律，从而简便、准确、迅速地求出结果。（2）当分数、百分数应用题学完后，在练习课上，可通过变直接条件为间接条件的表述，来进行发散思维方法的培养。例如：甲储蓄80元，乙储蓄50元，如果把乙储蓄的50元这个直接条件改为间接条件的表述，采用分数或百分数的形式，可能有几种表述方式：……如果把甲储蓄的80元转化为间接条件，还用分数或百分数的形式进行表述，可有以下几种表述方式：第18页共23页……类似的表述方法还有许多，解答步骤也会由简到繁。由此可见，发散的思维方法的形式，对于应用题中的数量关系或量率关系，能够进行多角度、多侧面的发散性思考。这种自觉思考习惯的养成，将是一种宝贵的思维品质。什么是联想的思维方法？联想的思维方法是沟通新旧知识的内在联系，在处理新问题的数量关系或量率关系时，能够对已掌握的旧知识与新问题之间，产生丰富的联想，并运用知识的正迁移规律，变换审题的角度，使问题得到更顺利、更简捷的解答。当学完分数应用题和比例应用题之后，可通过一道应用题部分条件的出现，激起学生的联想，从而显示联想的思维方法在开阔思路上的作用。例如：行驶一段路程，甲车与乙车速度的比是5∶4。出现这些部分条件后，稍做停顿，学生可能产生的联想，有以下几种情况：①甲车与乙车的速度比是5∶4，甲车与乙车的时间比则是4∶5。这是依据路程一定，速度与时间成反比关系而联想出来的。如果原题的后面条件是给了甲（或乙）行完这段路程的时间，按原来的速度比去思考，此题将是反比例应用题。通过联想将速度比转化为时间比，此题便由反比例应用题转化为正比例应用题。②甲车与乙车的速度比是5∶4，甲车速度就是乙车速度的（5÷4=）第19页共23页求甲车的速度是多少，就可以用求一个数的几又几分之几倍的方法，将原题的正比例应用题转化成分数乘法的应用题。如果原题给了甲车的速度去求乙车的速度，就可以用已知一个数的几分之几倍是多少，求这个数的方法，将原题转化为分数除法的应用题。分数与比的关系联想的结果。如果后面给了甲车速度，求乙车速度，则转化为求一个数的几分之几是多少的分数乘法应用题。反之，则转化为已知一个数的几分之几是多少，求这个数的分数除法应用题。与除法关系的基础上，联想到求一个数比另一个数多几分之几，把乙车看成差率直接对应，那么用分数除法就可以直接求出乙车的速度。一个数比另一个数少几分之几联想的结果。甲车速度作为标准量“1”，如法直接求出甲车的速度。⑥根据甲、乙车速度比是5∶4，则甲乙两车的速度和为（5＋4=）9，第20页共23页配应用题进行的联想。如果原题后面给了两车速度和的条件，就可以用分数乘法分别求出甲车速度和乙车速度。⑦根据甲、乙车速度比是5∶4，所需时间比是4∶5，由此联想出甲车分别从两地同时出发，相向而行，求中途的相遇时间，那么，把全程作为“1”，这道题又转化成分数的工程问题。……从上例可以看出，联想面越广，解题思路就越开阔，解题步骤也就越加准确而敏捷。由此可见，联想思维方法所带来的效益，不仅可以促进学生思维能力的发展，也往往从中闪耀出创造性思维的火花。什么是量不变的思维方法？在一些较复杂的分数应用题中，每个量的变化都会引起相关联的量的变化，就如同任何一个分量的变化都会引起总量的变化一样，这种数量之间的相依关系，常常出现以下的情况：在变化的诸量当中，总有一个量是始终固定不变的。有了量不变的思维方法，在纷繁的数量关系中，就能在确定不变量的基础上，理顺它们之间的关系，理清解题的思路，从而准确，迅速地确定解题步骤和方法。在小学的分数应用题中，涉及到量不变的思维方法，一般有以下三种情况：（1）分量发生变化，总量没有变。从分析题意中可知，甲乙两人的存款数（分量）先后都发生了变化，但二人存款的总钱数（总量）却始终未变，可以断定这是一道总量不变的第21页共23页应用题。抓住了总量不变的特点，就抓住了解题的关键。把乙的存款数看作“1”，存款数占总存款数的几分之几，然后再求乙存款数占总存款数的几分之几。经过上面的分析，标准量已转化到二人总存款数，乙占总存款数的分率此题中，尽管标准量前后不同，中间并经过几度转化，过程也较复杂，但一旦抓住总量不变这个特点，就保证了思维过程的条理和清晰。（2）总量发生变化，其中一个分量没变。第22页共23页根据题意，又买进了一批科技书，说明总量发生了变化，科技书这个分量也发生了变化，但另一个分量（文艺书）却始终没变。抓住这个不变量的特点，可求出文艺书的本数：文艺书的本数没变，但由于后来又买进了科技书，文艺书所占总本数的数前后没变，两次总本数之差720-630=90（本），则是科技书后来又买进的本数。（3）总量和分量都发生了变化，但分量之间的差量没变。张华是36岁时，李丽是多少岁？这是一道差量不变的应用题，因为张华年龄增加的同时，李丽的年龄也在同步增加，两人之间的年龄差却始终未变。与此同时，两人年龄和相应发生变化，张华年龄所占二人年龄和的分率也必然发生变化。抓住了年龄差这个不变量，就找到了解题的突破口。时，李丽则是36-8=28（岁）。第23页共23页第一篇、知识点一、和差倍问题（一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差，求这两个数。方法①：（和－差） 2 较小数，和 较小数 较大数方法②：（和 差） 2 较大数，和 较大数 较小数例如：两个数的和是15，差是5，求这两个数。方法：(15 5) 2 5，(15 5) 2 10.（二）和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系，求这两个数。方法：和 （倍数 1） 1倍数（较小数）1倍数（较小数） 倍数 几倍数（较大数）或和 1倍数（较小数） 几倍数（较大数）例如：两个数的和为50，大数是小数的4倍，求这两个数。方法：50 (4 1) 1010 4 40（三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数。方法：差 （倍数 1） 1倍数（较小数）1倍数（较小数） 倍数 几倍数（较大数）或和 1倍数（较小数） 几倍数（较大数）例如：两个数的差为80，大数是小数的5倍，求这两个数。方法：80 (5 1) 2020 5 100二、年龄问题年龄问题的三大规律：1．两人的年龄差是不变的；2．两人年龄的倍数关系是变化的量；3．随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量．解答年龄问题的一般方法是：几年后年龄 大小年龄差 倍数差 小年龄，几年前年龄 小年龄 大小年龄差 倍数差．三、植树问题（一）不封闭型（直线）植树问题1直线两端植树：棵数 段数 1 全长 株距 1；全长 株距 （棵数 1）；株距 全长 （棵数 1）；2直线一端植树：全长 株距 棵数；棵数 全长 株距；株距 全长 棵数；3直线两端都不植树：棵数 段数 1 全长 株距 1；株距 全长 （棵数 1）；（二）封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题棵数 总距离 棵距；总距离=棵数×棵距；第1页共11页1棵距 总距离 棵数．四、方阵问题在方阵问题中，横的排叫做行，竖的排叫做列，如果行数和列数都相等，则正好排成一个正方形，就是所谓的“方阵”。方阵的基本特点是：①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同．每向里一层，每边上的人数就少2，每层总数就少8．②每边人（或物）数和每层总数的关系：每层总数 [每边人（或物）数1] 4；每边人（或物）数=每层总数 4 1．③实心方阵：总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数．五、还原问题已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．六、盈亏问题按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的含义．一般地，一批物品分给一定数量的人，第一种分配方法有多余的物品(盈)，第二种分配方法则不足(亏)，当两种分配方法相差n个物品时，那就有：盈数 亏数 人数 n，这是关于盈亏问题很重要的一个关系式．解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括：(盈 亏) 两次分得之差 人数或单位数，(盈 盈) 两次分得之差 人数或单位数，(亏 亏) 两次分得之差 人数或单位数．解盈亏问题的关键是要找到：什么情况下会盈，盈多少？什么情况下“亏”，“亏”多少？找到盈亏的根源和几次盈亏结果不同的原因．另外在解题后，应进行验算．七、假设问题鸡兔同笼，这是一个古老的数学问题，在现实生活中也是普遍存在的．重点掌握鸡兔同笼问题的解法——假设法，并会将这种方法应用到一些实际问题中.解鸡兔同笼问题的基本关系式是：鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）第2页共11页2兔数=鸡兔总数-鸡数当然，也可以先假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数-兔数八、牛吃草问题（一）牛吃草的由来在英国伟大的科学家牛顿所著的《普通算术》一书中有一道非常有名的关于牛在牧场上吃草的题目：“12头牛4周吃牧草31格尔(格尔：牧场面积单位)，同3样的牧草，21头牛9周吃10格尔．问24格尔牧草，多少头牛吃18周吃完？”后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”，也称为“牛吃草”问题．（二）牛吃草的解题步骤同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度 (对应牛的头数 较多天数 对应牛的头数 较少天数) (较多天数 较少天数)；⑶原来的草量 对应牛的头数 吃的天数 草的生长速度 吃的天数；⑷吃的天数 原来的草量 (牛的头数 草的生长速度)；⑸牛的头数 原来的草量 吃的天数 草的生长速度．（三）牛吃草的变式题“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．（四）多块草地的牛吃草问题多块草地的“牛吃草”问题，一般要将草地面积变得统一，一般情况下可以找多块草地面积的最小公倍数，这样可以避开小数分数运算，但如果数据较大时我们一般把面积统一为“1”相对会简单些。九、工程问题工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。1.解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=工作总量，表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。2.利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。抛开“工作总量”，和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。十、浓度问题将糖溶于水就得到了糖水，糖水甜的程度是由糖与糖水二者重量的比值决定的．糖与糖水重量的比值叫糖水的浓度，这个比值一般我们将它写成百第3页共11页3分数．其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液．不光是糖水中存在着浓度，我们日常生活中的盐水、酒精等溶液只能够都存在着浓度的问题．⑴浓度问题相关公式：溶质溶质溶液 溶质 溶剂；浓度 100% 100%．溶液溶质 溶剂⑵常用方法：①抓不变量：一般情况下在经济问题中成本是不变量，浓度问题中溶剂是不变量，我们可以用画图来分析；②方程法：对于经济浓度问题，采用方程来求解是简便、有效的方法；③十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)；形象表达：④浓度三角：浓度三角在解决浓度问题时非常有用．十一、利润问题商店出售商品时，为了获得最大的利润，商家总是“低进高出”，只有这样才能赚取差价，这个差价就会产生利润．实际上，在商品贸易上的许多数学问题都会涉及到三个量：成本、利润及定价．成本——购进商品所需的本钱，又叫进价或成本价；定价——商品出售的价格，又叫售价或卖卖价；利润——产品定价中高于成本以上的那一部分．为了衡量获得利润的大小，通常采用：“利润百分数”或“利润率”这个量：利润售价 成本售价售价 成本 利润，利润率 100% 100% 1 100%由上面的公式还可以引申出下成本成本 成本 面两个公式：售价售价=成本 （1+利润率），成本 ．1+利润率第4页共11页4第二篇：习题汇编1.商店进了300支钢笔，每售出1支，可获40%的利润当这批钢笔售出芸时，共获得利润750元，求每支钢笔的进货价.2.商场以每个3.2元的价格购进了一批文具盒，每个售价5元，还剩下80个没售出时，除了成本已经获利500元．问这批文具盒一共有多少个 3.人民商厦运来一批彩电，按定价出售可以获利2.8万元，如果按定价的九五折出售，则仍可获利2000元．问彩电的成本价共是多少元 4.红星商场进了一批玩具，六月一日这天以定价的八折出售，当天售出的玩具仍可获得10%的利润，问这批玩具定价时的利润是百分之几 5.一批商品，按照能获得50%的利润定价，结果只销掉了70%的商品．为尽快将剩下的商品销售出去，商店决定打折出售，这样所获得的全部利润是原来能获利润的82%．问剩下的商品打了多少折出售 6.有300克浓度为10%的盐水．现在要将这盐水的浓度变为8%，问应加入多少克水 7.要从含糖16%的20千克糖水中蒸去水分，制出含糖20%的糖水，问应当蒸去多少千克水分 8.要配制浓度为20%的硫酸溶液1000克，需要用浓度为18%和23%的硫酸溶液各多少克 9.大瓶酒精溶液是小瓶酒精溶液的2倍，大瓶酒精溶液的浓度为20%，小瓶酒精溶液的浓度为35%．将两瓶酒精溶液混合后，酒精溶液的浓度是多少 第5页共11页510.在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别占48%、62.5%2和．已知三缸酒3精溶液总量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量．三缸溶液混合后，听含纯酒精的百分数将达56%，那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克 (1997年小学数学奥林匹克预赛C卷第12题)11.甲瓶中有纯酒精11升，乙瓶中有水15升，第一次将甲瓶中的一部分酒精倒入乙瓶中，使酒精和水混合．第二次将乙瓶中的一部分混合液倒入甲瓶中．这样，甲瓶中的纯酒精含量为62.5%，乙瓶中的纯酒精含量为25%．问第二次从乙瓶倒人甲瓶的混合液是多少升 12.李明和王林在周长为400米的环形跑道上练习跑步，李明每分钟跑200米，是王林每分8钟跑的，如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至少要经过几分钟两人才能相9遇 13.从360米长的环形跑道上的同一地点向相同方向跑步，甲每分钟跑305米，乙每分钟跑275米，两人起跑后，问第一次相遇在离起点多少米处 14.绕湖一周是21.1千米，小明和小华从湖边同一地点同时相背而行小明以每小时4.6千米的速度每走1小时后就休息5分钟，小华以每小时5.4千米的速度每走50分钟后就休息10分钟，问两人出发后多少小时相遇 15.12点整时，钟面上的时针、分针和秒针刚好重合．那么，再过多长时间，钟面上的时针和分针再次重合 重合时，时针、分针分别走了几圈几格 (钟面一圈分成60格)16.有一个台式钟，在3月29日零时比标准时间慢4分半，它一直走到4月5日上午7时，比标准时间快3分钟，那么这个台钟所指时间是正确的时刻在几月几日几时 17.小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍,小红有________岁,妈妈有__岁.第6页共11页618.甲、乙、丙、丁四个人一共做了370个零件,如果把甲做的个数加2,乙做的个数减3,丙做的个数乘2,丁做的个数除以2,四个人做的零件个数正好相等,问四个人各做多少个零件 19.叔叔比小华大20岁，明年叔叔的年龄是小华的3倍，小华今年_______岁.20.女儿今年(1994年)12岁，妈妈对女儿说：“当你有我这么大岁数时，我已经60岁喽!”问：妈妈12岁时，是哪一年？21.五位老人的年龄互不相同，其中年龄最大的比年龄最小的大6岁，已知他们的平均年龄为85岁，其中年龄最大的一位老人为________.22..今年父亲的年龄为儿子的年龄的4倍，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍，儿子今年_______岁。23.今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁，23岁，16岁，经过年后爷爷的等于三个孙了的年龄的和。24.四个人年龄之和是77岁，最小的10岁，他与最大的年龄之和比另外二人年龄之和大7岁，那么最大的岁数是_______。25.有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的2倍时，丙是22岁；当乙的年龄是丙的2倍，甲是31岁；当甲60岁时，丙是________岁。26.甲、乙、丙、丁四人现在的年龄和是64岁，甲21岁时，乙17岁；甲18岁时，丙的年龄是丁的3倍，丁现在的年龄的________岁。27.今年，小明的父母年龄之和是小明的6倍，4年后小明的父母亲年龄之和是小明的5倍，已知小明的父亲比他的母亲大2岁，那么，今年小明父亲________岁。328.有甲、乙、丙三人，丙的年龄是甲年龄的，乙今年14岁，又知丙的年龄是甲、乙年161龄之差的，丙今年________岁。329.爸爸在过50岁生日时，弟弟说：“等我长到哥哥现在的年龄时，那时我和哥哥的年龄之和正好等于那时爸爸的年龄。”那么哥哥现在_________岁。30.甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才5岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将50，”那么甲现在________岁，乙现在_________岁。31.六年级同学乘汽车到某地旅游，买车票99张，共花28元，其中单程票每张0.2元，往返票每张.4元。那么单程票和往返票相差________张。第7页共11页732.三种昆虫共18只，它们共有20对翅膀116条腿，其中每只蜘蛛是无翅8条腿，每只蜻蜓是2对翅膀6条腿，蝉是1对翅膀6条腿，问这三种昆种各多少只？33.启蒙书社五天内卖出<中学生手册>和<小学生手册>共120本。<中学生手册>第本5元，<小学生手册>每本3.75元，营业员统计的结果表明：这五天所卖<中学生手册>的收入比卖<小学生手册>的收入多162.5元，这五天内启蒙书社卖出的<中学生手册>和<小学生手册>各多少本？34.王村小学举行数学竞赛，共10道题，每做对一道题得10分，每做错一道题倒扣2分，小明得了64分，他做错了几道题？35.某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣3分，小聪得了60分，他做对了________道题。36.某小学举行一次数学竞赛，共15道题，每做对一题得8分，每做错一题倒扣4分，小明共得72分，他做对了________道题。37.春风小学3名云参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对了________道题。38.箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球，53只红球，那么，箱子里原有红球数________只。39.原有男、女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5%，总人数增加16人，那么现有男同________人。40.一根木料长21米，把它据成3米长的一段，每据一段用6分钟，共用________分钟。41.科学家进行一项实验，每隔五小时做一次记录。做第十二次记录时，挂钟时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几？42.从运动场一端到另一端全长96米，从一端起到另一端每隔4米插一面小红旗。现在要改成每隔6米插一面小红旗，问可以不拔出来的小红旗有多少面？43.有一块三角形地，三条边分别为120米、150米、80米，每10米种一颗树，那么三条边上共种________棵树。44.园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距离地栽上树。他们先沿着花坛的边每隔3米挖一个坑，当挖完30个坑时，突然接到通知：改为每隔5米栽一颗树。这样，他们还要挖多少个坑才能完成任务？第8页共11页845.四年级三班上操正好排成人数相等的三行，小明排在中间一行，从前从后数都是第八个。那么这个班有学生________人。46.四年级三个班的同学在河堤上种了一排树共80棵。从左往右数，第58棵起往右数都是一班种的；从右往左数，第63棵起往左都是三班种的；那么二班种了________棵。47.在田径运动会上，甲、乙、丙三人沿400米环形跑道进行800米跑比赛．当甲跑完1圈时，11乙比甲多跑圈，丙比甲少跑圈．如果他们各自跑步的速度始终不变．那么，当乙到77达终点时，丙离终点还有_________米.48.六(1)班和六(2)班同学买同一种电影票．六(1)班48人共付1645元，六(2)班共付了1534元，问六年级两班共有多少人 49.某运输队运一批大米．第一天运走总数的15多60袋，第二天运走总数的14少60袋．还剩下220袋没有运走。这批大米原来一共有多少袋？(只列式，不计算)50.某市派出60名选手参加19981年“贝贝杯”少年田径邀请赛，其中女选手占．正式比赛42时，有几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛选手总数的．正式参赛的女选11手只有名．第三篇、竞赛篇51.将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友，原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为5:4:3，实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7:6:5，其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果，那么这位小朋友是（填“甲”、“乙”或“丙”），他实际所得的糖果数为块。52.悉尼与北京的时差是3小时，例如：当悉尼时间是12:00时，则北京时间是9:00。某日，当悉尼时间是9:15时，小马和小杨分别乘机从悉尼和北京同时出发去对方所在地，小马于北京时间19:33到达北京。小马和小杨路途上所用时间之比为7:6，那么小杨到达悉尼时，当地时间是。53.星期天小明、小强和小佳一起去采摘。小强说：“我摘的苹果最多了，比你们俩的苹果总和还多1个。”小明回答说：“是啊，你比我多摘了10个，但我比小佳多摘10个。”那么，他们三个人共摘了个苹果。54.一个书架上有数学、语文、英语、历史4种书共27本，且每种书的数量互不相同。其第9页共11页9中数学书和英语书共有12本，语文书和英语书共有13本。有一种书恰好有7本，是书。55.有两盒围棋子，第一盒中的白子数量是黑子数量的9倍，第二盒中的黑子数量是白子数量的9倍；两盒中白子的总数是黑子总数的4倍，那么第一盒中棋子数量是第二盒中棋子数量的倍。56.箱子里装有同样数量的乒乓球和羽毛球。每次取出5个乒乓球和3个羽毛球，取几次之后，乒乓球恰好没了，羽毛球还有6个，则一共取了________次，原来有乒乓球和羽毛球各________个。57.甲、乙两人要从网上下载同一个100兆大小的软件，他们同时用各自家中的电脑开始下载，甲的网速较快，下载速度是乙的5倍，但是当甲下载到一半时，由于网络故障出现断网，而乙家的网络一直正常。当甲的网络恢复正常时，继续下载到99兆时（已经下载的部分无需从新下载），乙已经下载完了，则甲断网期间乙下载了________兆。58.甲、乙、丙三件商品，甲的价格比乙的价格少20%，甲的价格比丙的价格多20%；那么，乙的价格比丙的价格多________%。59.一只猴吃63只桃，第一天吃了一半加半只，以后每天吃前一天剩下的一半再加半只，则天后桃子被吃完。60.小辉的家在学校的东边2千米处，小英的家在小辉的家的北边2千米处，小红的家在小英的家的西边2千米处，则小红的家离学校千米处。61.一条马路长200米，在马路两侧每隔4米种一棵树，则一共要种树棵。62.小华的语文、数学的平均成绩是90分，语文、数学、英语三科的平均成绩是93分，由此可知小华的英语成绩是分。63.若2008 A B，并且A B 3 5，则A 。64.两袋水果共有20个，从第1袋取出7个水果放入第2袋，两袋中的水果个数相同，则第1袋中原有水果个。65.前年，父亲年龄是儿子年龄的4倍；后年，父亲年龄是儿子年龄的3倍。父亲今年岁。66.某玩具店新购进飞机和汽车模型共30个，其中飞机模型每个有3个轮子，汽车模型每个有4个轮子，这些玩具模型共有110个轮子。则新购进的飞机模型有个。67.一项工程，甲单独完成需12小时，乙单独完成需15小时。甲乙合作1小时后，由甲单独做1小时，再由乙单独做1小时，……，甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用小时。68.一项工程，甲队单独完成需40天，若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20天可完成。如果乙队单独完成此工程，则需天。69.幼儿园的王阿姨今年的年龄是小华今年年龄的8倍，是小华3年后年龄的4倍，则小华今年岁。第10页共111页070.购买3斤苹果、2斤桔子需6.90元；购买8斤苹果、9斤桔子22.80元，那么苹果、桔子各买一斤需元。第11页共11页11“思考乐资料星”微信小程序整除知识点小记常用数X分类被除数Y2末一位能被2整除4末两位能被4整除8末三位能被8整除尾系5末一位能被5整除25末两位能被25整除125末三位能被125整除3数字和为3的倍数9数字和为9的倍数从个位开始，两个一组截开，然后求和，能被99整除。例如：99和系34155，两位一截，55/41/3/，55+41+3=99，所以34155可以被99整除。从个位开始，3个一组截开，然后求和，能被999整除。例如：999242757，两位一截，242、757，242+757=999，所以242757可以被999整除。末三位与末三位前面的数字之差能被7整除：例如23205,205-723=182,182/7=26，所以23205可以被7整除。1）奇偶位差法：由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除：例如判断491678能不能被11整除，奇位数字的和9+6+8=23，偶位11差系数位的和4+1+7=12，23-12=11因此,491678能被11整除2）末三位与末三位前面的数字之差能被11整除：例如：6512:512-6=506,506/11=46,所以6512可以被11整除。末三位与末三位前面的数字之差能被13整除：例如23205,205-1323=182,182/13=14，所,23205可以被13整除。这些是常考的一些数，其他数，如12，12=34，3、4是互质的，能同时被3和4整除就可以被12整除，同样14=27，15=35等等等等~~~~~，大家发动自己的脑筋吧！“思考乐资料星”微信小程序知识点小记之约数和倍数求最大公约数基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数，再把相同的因数乘起来。例：270和81：270=3×3×3×2×5,81=3×3×3×3,相同的因数为三个3，则最大公约数为3×3×3=27.2、短除法最大公约数：2×3=63、辗转相除法：先用较小的数除较大的数，再用余数除较小的数，得到第二个余数。用第二个余数除第一个余数，得到第三个余数。重复下去，直到余数为0，最后一个余数即为最大公约数。例：15和27:27÷15=1……12,15÷12=1…3,12÷3=4，则最大公约数为3求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数最小公倍数2×3×5×2×1×5=3002、分解质因数的方法，去重后相乘。例：14和814=2×7,8=2×2×2，去重一个2，然后2×2×2×7=56，最小公倍数为56.“思考乐资料星”微信小程序知识点小记之植树问题基本类型基本公式关键问题在直线或者不封棵数=段数＋1闭的曲线上植树，棵距×段数=总长两端都植树在直线或者不封确定所属类型闭的曲线上植树，棵数=段数－1从而确定棵数两端都不植树棵距×段数=总长与段数的关系在直线或者不封闭的曲线上植棵数=段数树，只有一端植棵距×段数=总长树封闭曲线上植树“思考乐资料星”微信小程序知识点小记之比较分数大小方法结论(例子)同分母，分子大的数大化为同分母7/12，5/9→21/36＞20/36同分子，分母小的数大化为同分子3/8，5/11→15/40＜15/33倒数大的反而小，比较倒数法1111/11111>111/1111若商小于1，则第一个分数小；若商大于1，则第一个分数相除法大；若商等于1，则两个分数相等。先把要比较的数约分，再比较:约分法4343/7676=434343/767676化成小数化小数法4/9<9/20化简：找中间数中间数法5/12<9/16（中间数1/2）差等法等差法中若为俩真分数，分母数大的一组大，1996/1998<1997/1999（分子分母等差法中若为俩假分数，分母数小的一组大差相等分数）167/166>168/167化整数7/16<9/20（均乘以16）交叉相乘后，结果大的数大第一个分子第二个分母交叉相乘法第二个分子第一个分母7/11>5/9“思考乐资料星”微信小程序知识点小记之和差倍已知两个数的和与差，求出这（和＋差）÷2＝大数两个数各是多少的题目，这类（和－差）÷2＝小数问题叫做和差问题。已知两个数的和，又知两个数将小数看成1份，大数是小数的n倍，的倍数关系，求这两个数分别大数就是n份，两个数一共是n+1份是多少，这类问题称为和倍问小数=和÷（n+1）题。大数=和÷（n+1）×n大数=小数×倍数和-小数=大数已知两个数的差，并且知道两设小是1份，如果大数是小数的n倍，个数倍数关系，求这两个数，这根据数量关系知道大数是n份，又知类问题称为差倍问题。道大数与小数的差，即知道n-1份是几，就可以求出1份是多少小数=差÷(n-1)大数=小数×n大数=差+小数“思考乐资料星”微信小程序知识点小记之蝴蝶模型A:四边形模型：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)DAs1ss42Os3BC①S1:S2=S4:S3或S1×S3=S2×S4②AO:OC=(S1+S2):(S4+S5)蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系B:梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①S1:S3=a :b ②S1:S3:S2:S4=a :b :ab:ab；③S的对应份数为(a+b) ,S1占a 份，S2占ab份，S3占b 份，S4占ab份@慧学老师“思考乐资料星”微信小程序知识点小记之鸟头模型鸟头模型（共角模型）两个三角形中有一个角相等或互补（相加等于180°），这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。S△ABC：S△ADE=（AB×AC）：（AD×AE）常见图形：DAADEEBCBC简单运用：如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD=DC=4,BE=3,AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？连接AD∵（因为）BE=3，AE=6，∴(所以)AB=3BE,SΔABD=3SΔBDE∵BD=DC=4，∴SΔABC=2SΔABD∴SΔABC=SΔBDE一、概念（一）整数1、整数的意义自然数和0都是整数。2、自然数我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。3、计数单位一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。4、数位计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。5、数的整除整数a除以整数b(b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。第1页共17页一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。0也是偶数。自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如4、6、8、9、12都是合数。1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5叫做15的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如把28分解质因数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公约数，6是它们的最大公约数。公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。第2页共17页两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。（二）小数1、小数的意义把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。2、小数的分类纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：0.25、0.368都是纯小数。第3页共17页带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。例如：3.25、5.26都是带小数。有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例如：41.7、25.3、0.23都是有限小数。无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例如：4.33……3.1415926……无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。例如：3.555……0.0333……12.109109……一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如：3.99……的循环节是“9”，0.5454……的循环节是“54”。纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如：3.111……0.5656……混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。3.1222……0.03333……写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。例如：3.777……简写作0.5302302……简写作。（三）分数1、分数的意义把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。2、分数的分类真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。第4页共17页带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。3、约分和通分把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。（四）百分数1表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。二、方法（一）数的读法和写法1、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。2、整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。3、小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。4、小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。5、分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。6、分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。7、百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。8、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。（二）数的改写一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。第5页共17页1、准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。例如把1254300000改写成以万做单位的数是125430万；改写成以亿做单位的数12.543亿。2、近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。例如：1302490015省略亿后面的尾数是13亿。3、四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略345900万后面的尾数约是35万。省略4725097420亿后面的尾数约是47亿。4、大小比较比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。比较小数的大小：先看它们的整数部分，，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。（三）数的互化1、小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。2、分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。3、一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。4、小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。第6页共17页5、百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。6、分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。7、百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。（四）数的整除1、把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。2、求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数。3、求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。4、成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。（五）约分和通分约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。三、性质和规律（一）商不变的规律商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。（二）小数的性质小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。第7页共17页（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化1、小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍……2、小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍……3、小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足位。（四）分数的基本性质分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。（五）分数与除法的关系1、被除数÷除数=被除数/除数2、因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。3、被除数相当于分子，除数相当于分母。四、运算的意义（一）整数四则运算1、整数加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。加数+加数=和一个加数=和－另一个加数2、整数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。加法和减法互为逆运算。3、整数乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。在乘法里，0和任何数相乘都得0.1和任何数相乘都的任何数。一个因数×一个因数=积一个因数=积÷另一个因数第8页共17页4、整数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。乘法和除法互为逆运算。在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。被除数÷除数=商除数=被除数÷商被除数=商×除数（二）小数四则运算1、小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。2、小数减法：小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。3、小数乘法：小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。4、小数除法：小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。5、乘方:求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如3×3=32（三）分数四则运算1、分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。2、分数减法：分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。3、分数乘法：第9页共17页分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。4、乘积是1的两个数叫做互为倒数。5、分数除法：分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。（四）运算定律1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a。2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c)。3、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c)。5、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c。6、减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c)。（五）运算法则1、整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。10页共17页2、整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。3、整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。4、整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。5、小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。6、除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。7、除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。8、同分母分数加减法计算方法:同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。9、异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。10、带分数加减法的计算方法:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。11、分数乘法的计算法则:11页共17页分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。12、分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数（六）运算顺序1、小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。2、分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。3、没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。4、有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。5、第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。6、第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。五、应用（一）整数和小数的应用1、简单应用题（1）简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题。（2）解题步骤：a审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。b选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。C检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意。如果发现错误，马上改正。12页共17页2、复合应用题（1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。（2）含有三个已知条件的两步计算的应用题。求比两个数的和多（少）几个数的应用题。比较两数差与倍数关系的应用题。（3）含有两个已知条件的两步计算的应用题。已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或差）。已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系）。（4）解答连乘连除应用题。（5）解答三步计算的应用题。（6）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数。d答案：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答。3、解答加法应用题：a求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。b求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。4、解答减法应用题：a求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。-b求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。c求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。5、解答乘法应用题：a求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。b求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少13页共17页6、解答除法应用题：a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少。b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。C求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。d已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。7、常见的数量关系：总价=单价×数量路程=速度×时间工作总量=工作时间×工效总产量=单产量×数量常用的数量关系式1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数小学数学图形计算公式1、正方形（C：周长S：面积a：边长）周长＝边长×4C=4a面积=边长×边长S=a×a2、正方体（V:体积a:棱长）表面积=棱长×棱长×6S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a14页共17页3、长方形（C：周长S：面积a：边长）周长=(长+宽)×2C=2(a+b)面积=长×宽S=ab4、长方体（V:体积s:面积a:长b:宽h:高）(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高V=abh5、三角形（s：面积a：底h：高）面积=底×高÷2s=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高6、平行四边形（s：面积a：底h：高）面积=底×高s=ah7、梯形（s：面积a：上底b：下底h：高）面积=(上底+下底)×高÷2s=(a+b)×h÷28、圆形（S：面积C：周长лd=直径r=半径）(1)周长=直径×л=2×л×半径C=лd=2лr(2)面积=半径×半径×л9、圆柱体（v:体积h:高s：底面积r:底面半径c:底面周长）(1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd)(2)表面积=侧面积+底面积×2(3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径10、圆锥体（v:体积h:高s：底面积r:底面半径）体积=底面积×高÷311、总数÷总份数＝平均数12、和差问题的公式(和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数13、和倍问题和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或者和－小数＝大数)14、差倍问题差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或小数＋差＝大数)15、相遇问题15页共17页相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和速度和＝相遇路程÷相遇时间16、利润与折扣问题利润＝售出价－成本利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%涨跌金额＝本金×涨跌百分比利息＝本金×利率×时间税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)常用单位换算1、长度单位换算1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米2、面积单位换算1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米3、体(容)积单位换算1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1立方米=1000升4、重量单位换算1吨=1000千克1千克=1000克1千克=1公斤5、人民币单位换算1元=10角1角=10分1元=100分6、时间单位换算1世纪=100年1年=12月大月(31天)有:18月小月(30天)的有:49月平年2月28天,闰年2月29天平年全年365天,闰年全年366天1日=24小时1时=60分1分=60秒1时=3600秒16页共17页小学数学易错的26个知识点1、列式计算时，一定要注意除和除以的区别：a除以b或a被b除列式为：a÷b，a除b，或用a去除b，列式为：b÷a2、边长为4cm的正方形，半径为2cm的圆，它们的面积与周长并不相等，因为单位不同，无法比较！应该表述为：“边长为4cm的正方形的周长与面积的数值相等”。3、半圆的周长和圆的周长的一半有区别。4、压路机滚动一周前进多少米？是求它的周长。压路机滚动一周压路的面积，就是求滚筒的侧面积。5、无盖的水桶，水池，金鱼缸，水槽等求表面积时一定要减少一个底面积。6、大数比小数大几分之几的方法：（大数—小数）÷单位“1”的量。7、两根同样长的绳子，一根剪去1/2米另一根剪去1/2，剩下的长度无法比较；8、0.52÷0.17商是3，余数不是1而是0.019、求××率或百分之几的列式中，最后必须“×100﹪”.10、在求总人数、总只数、总棵树,,的应用题时，结果不可能是分数和小数11、改写一个准确数，不要求“四舍五入”取近似值时，一定要把“万”或“亿”后面的数写到小数部分；只有大约或省略“万”或“亿”位后面的尾数时，才用“四舍五入”求近似值，末尾一定要写“万”或“亿”12、大数的读法：读几个0的问题【相关例题】10,0070,0008读几个0？【错误答案】其他【正确答案】2个【例题评析】大数的读法是四年级学的一个知识点，尤其是读几个零的问题，容易犯错。13、近似值问题【相关例题】一个数的近似数是1万，这个数最大是_________【错误答案】9999【正确答案】14999【例题评析】四舍五入得出的近似值，不仅可能是“五入”得来的，还有可能是“四舍”得来的。14、数大小排序问题：注意题目要求的大小顺序【相关例题】把3.14，π，22/7按照从大往小的顺序排列____________【错误答案】3.14＜π＜22/7【正确答案】22/7＞π＞3.14【例题评析】题目怎么要求就怎么来，别瞎胡闹。并且一定要写原数排序。15、比例尺问题：注意面积的比例尺【相关例题】在比例尺为1:2000的沙盘上，实际面积为800000平方米的生态公园为_____平方米【错误答案】400【正确答案】0.2【例题评析】很多同学直接用800000÷2000，得出了错误答案。切记，比例尺=图上距离：实际距离，是长度的比例尺，即图上1长度单位是实际中的更多资料尽在“思考乐资料星”微信小程序 第1页,共3页2000长度单位。但是本题牵扯到面积，需要转化为面积的比例尺。需要把长度的比例尺平方，即图上1面积单位是实际中的4000000面积单位。16、正反比例问题：未搞清正比例、反比例的含义【相关例题】判断对错：圆的面积与半径成正比例【错误答案】√【正确答案】×【例题评析】若两个量乘积是定值，则成反比；若两个量的商是定值，则成正比。严格卡定义，原题改为“圆的面积与半径的平方成正比”，才是正确的。17、比的问题：注意前后项的顺序【相关例题】一个正方形边长增加它的1/3后，则原正方形与新正方形面积的比为_________【错误答案】16:9【正确答案】9:16【例题评析】谁是比的前项，谁是比的后项，一定要睁大眼睛看清楚！18、比的问题：比与比值的区别【相关例题】一个正方形边长增加它的1/3后，则原正方形与新正方形面积的比值为_______【错误答案】9:16【正确答案】9/16【例题评析】比值是一个结果，是一个数。19、单位问题：不要漏写单位【相关例题】边长为4厘米的正方形，面积为________【错误答案】16【正确答案】16平方厘米【例题评析】面积问题，结果算对了，但没有写该写的单位，犹如沙漠中的旅行者，渴死在近在咫尺的河边。可惜！可悲！可笑！可叹！20、单位问题：注意单位的一致【相关例题】某种面粉袋上标有（25kg加减50g）的标记，这种面粉最重是________kg.【错误答案】75【正确答案】25.05【例题评析】很多同学没有看到kg与g的单位不一致，直接给出了75的错误答案。21、闰年，平年问题：不清楚闰年的概念【相关例题】1900年是闰年还是平年？【错误答案】闰年【正确答案】平年【例题评析】四年一闰，百年不闰，四百年再闰。如果一个年份是4的倍数，则为闰年；否则是平年。但是如果是整百的年份（如1900年，2000年），则必须为400的倍数才是闰年，否则为平年。22、解方程问题：括号前面是减号，去括号要变号！移项要变号！【相关例题】6—2（2X—3）=4【错误答案】其他更多资料尽在“思考乐资料星”微信小程序 第2页,共3页【正确答案】x=2【例题评析】去括号，若括号前面是减号，要变号！移项（某个数在等号的两边左右移动）要变号，切记！23、计算问题：牢记运算顺序【相关例题】20÷7×1/7【错误答案】20【正确答案】20/49【例题评析】530考试，计算题“去技巧化”趋势明显。重在对基本的分数四则运算、运算顺序以及提取公因数等计算基本功的考察。24、平均速度问题【相关例题】小明上山速度为1米/秒，下山速度为3米/秒，则小明上下山的平均速度为____【错误答案】（1+3）÷2=2（米/秒）【正确答案】设上山全程为3米，则平均速度为：（3×2）÷（3÷1+3÷3）=1.5（米/秒）【例题评析】平均速度的定义为：总路程÷总时间25、题目有多种情况【相关例题】等腰三角形一个角的度数是50度，则它的顶角是_______【错误答案】80度【正确答案】50度或80度【例题评析】很多类型的题目，结果往往不止一个。同学们一定要注意思考的缜密性，平时做题时多总结，尽量把所有情况都想全。不要做出一个答案后，就以为大功告成。26、注意表述的完整性【相关例题】一个三角形的三个内角之比为1:1:2，这是一个_______三角形。【错误答案】等腰三角形【正确答案】等腰直角三角形【例题评析】这种题目，只有平时训练时多思考，多总结，考试时才能保证不犯错误。更多资料尽在“思考乐资料星”微信小程序 第3页,共3页 展开更多...... 收起↑ 资源列表 六年级数学复习资料.pdf 分数应用题.pdf 小升初数学复习提纲教案.pdf 小学数学易错的26个知识点.pdf 小学数学知识点复习.pdf 比和比例.pdf
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