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专题7.2
一元二次不等式及其解法（理科）
一、考纲要求
1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；
2.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两相异实数根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实数根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立?
2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立?
四、题型分析
重难点题型突破1
不含参数的一元二次不等式
例1．（浙江省嘉兴市第一中学2018-2019学年期中）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-1】．集合，且，则实数的取值范围是______
【变式训练1-2】．若集合，则=（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练1-3】．求下列不等式的解集.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
重难点题型突破2
含有参数的一元二次不等式
例2.已知，不等式的解集是(－1,3)，若对于任意，不等式恒成立，则t的取值范围（
）
A.
(－∞,2]
B.
(－∞,－2]
C.
(－∞,－4]
D.
(－∞,4]
【变式训练2-1】．（山西省晋城市2019届高三第二次模拟）若集合，，，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】．关于的不等式()的解集为,且,则
（
）
A．
B．
C．
D．
重难点题型突破3
分式不等式
例3.（1）解不等式;
．
（2）解不等式;
．
【变式训练3-1】．不等式的解集是
（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】．不等式的解集是______.
重难点题型突破4
恒成立问题
例4、不等式x2+a|x|+4≥0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．[0，+∞）
B．[﹣4，+∞）
C．[﹣4，4]
D．（﹣∞，﹣4]
【变式训练4-1】．若对任意m∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围
．
【变式训练4-2】．已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是
▲
．
【变式训练4-3】．已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．
五、迁移应用
1、若函数f（x）＝x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（　　　　）
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，但与b有关
2．不等式的解集为___________．
3．已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围
是
．
4．设，不等式对恒成立，则的取值范围为
．
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专题7.2
一元二次不等式及其解法（理科）
一、考纲要求
1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；
2.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两相异实数根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实数根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立?
2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立?
四、题型分析
重难点题型突破1
不含参数的一元二次不等式
例1．（浙江省嘉兴市第一中学2018-2019学年期中）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，所以或，故选C。
【变式训练1-1】．集合，且，则实数的取值范围是______
【正解】若使，需满足，解得，所以实数a的取值范围是．
【变式训练1-2】．若集合，则=（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意，，，则，故答案为C。
【变式训练1-3】．求下列不等式的解集.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；
【解析】
（1）因为，所以原不等式等价于，
解得，所以原不等式的解集为.
（2）原不等式可化为,配方得
,
又,所以,解得，所以原不等式的解集为.
（3）原不等式可化为，因为恒成立，
所以原不等式的解集为.
（4）原不等式可化为，因为恒成立，
所以原不等式无解，即原不等式的解集为.
重难点题型突破2
含有参数的一元二次不等式
例2.已知，不等式的解集是(－1,3)，若对于任意，不等式恒成立，则t的取值范围（
）
A.
(－∞,2]
B.
(－∞,－2]
C.
(－∞,－4]
D.
(－∞,4]
【答案】B
【分析】由不等式的解集是，可得b、c的值,代入不等式f（x）+t≤4后变量分离得t≤2x2﹣4x﹣2，x∈[﹣1，0]，设g（x）＝2x2﹣4x﹣2，求g(x)在区间[﹣1，0]上的最小值可得答案．
【详解】由不等式的解集是可知-1和3是方程的根，,解得b=4，c=6,,
不等式化为
，
令g（x）＝2x2﹣4x﹣2，，由二次函数图像的性质可知g(x)在上单调递减，则g（x）的最小值为g(0)=-2，
故选：B
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查不等式的恒成立问题，常用方法是变量分离，转为求函数最值问题.
【变式训练2-1】．（山西省晋城市2019届高三第二次模拟）若集合，，，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，，所以，解得。
【变式训练2-2】．关于的不等式()的解集为,且,则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为，所以，即，
又，所以，解得．
重难点题型突破3
分式不等式
例3.（1）解不等式;
．
【错解】原不等式可化为：，解得，所以原不等式的解集为．
【错因】没有考虑分母不能为0
【正解】原不等式可化为：，解得，所以原不等式的解集为．
（2）解不等式;
．
【错解】不等式两边同乘以得：，解得，所以原不等式的解集为．
【错因】两边同乘以，导致错误
【正解】原不等式可化为：，解得或，所以原不等式的解集为．
【变式训练3-1】．不等式的解集是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
依题意，不等式化为，
解得﹣1＜x≤2，
故选D．
【变式训练3-2】．不等式的解集是______.
【答案】或
【解析】
不等式等价为且，
∴或，
∴不等式的解集是或
故答案为：或
重难点题型突破4
恒成立问题
例4、不等式x2+a|x|+4≥0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．[0，+∞）
B．[﹣4，+∞）
C．[﹣4，4]
D．（﹣∞，﹣4]
【答案】B
【解析】f（x）＝x2+a|x|+4为偶函数；
当a≥0，x＞0时，函数化为f（x）＝x2+ax+4，对称轴x＜0，f（0）＝4＞0，不等式恒成立；
当a＜0时，x＞0时，函数化为f（x）＝x2+ax+4，可得△＝a2﹣16≤0显然成立
解得﹣4≤a＜0，
综上a∈[﹣4，+∞）．
故选：B．.
【变式训练4-1】．若对任意m∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围
．
【答案】
(－∞，1)∪(3，＋∞)．
【解析】由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1，1]上，g(m)的值恒大于零，
所以
解得x<1或x>3.
【变式训练4-2】．已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是
▲
．
【答案】
【解析】
当，即，时，满足题意；
当，即，或时，
则，解之得，所以，又因为或，所以，
综上所述，实数的取值范围为。
【变式训练4-3】．已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】　(－∞，－1)
【解析】f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，
即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
五、迁移应用
1、若函数f（x）＝x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（　　　　）
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，但与b有关
【答案】B．
【解析】函数f（x）＝x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x为对称轴的抛物线，
①当1或0，即a＜﹣2，或a＞0时，
函数f（x）在区间[0，1]上单调，
此时M﹣m＝|f（1）﹣f（0）|＝|a+1|，
故M﹣m的值与a有关，与b无关
②当1，即﹣2≤a≤﹣1时，
函数f（x）在区间[0，]上递减，在[，1]上递增，
且f（0）＞f（1），
此时M﹣m＝f（0）﹣f（），
故M﹣m的值与a有关，与b无关
③当0，即﹣1＜a≤0时，
函数f（x）在区间[0，]上递减，在[，1]上递增，
且f（0）＜f（1），
此时M﹣m＝f（1）﹣f（）＝1+a，
故M﹣m的值与a有关，与b无关
综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关
2．不等式的解集为___________．
【答案】．
【解析】易得不等式的解集为.
3．已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围
是
．
【答案】．
【解析】由题意可得对于上恒成立，
即，解得．
4．设，不等式对恒成立，则的取值范围为
．
【答案】．
【解析】不等式对恒成立，
则有
即.
∴.∴.又，结合下图可知，∈.
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