资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题7.3
二次不等式（组）与简单线性规划问题
一、考纲要求
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
考点二
点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.
考点三
简单的线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由变量x，y组成的一次不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次函数解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
四、题型分析
重难点题型突破1
基本的线性规划问题
例1．（2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））设满足约束条件，则的最大值是（
）
A．-1
B．0
C．
D．2
【答案】D
【解析】由线性约束条件，画出可行域如下图
的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率，由可行域可知，当取点B时，与原点连线斜率最大，B（1，2），所以的最大值为，所以选D。
【变式训练1-1】、（2020·福建省泉州市高三质检）若满足约束条件，则的最小值为（
）
A．-17
B．-13
C．
D．20
【答案】B
【解析】满足约束条件，由此可得可行域如下图所示:
该可行域是一个以，，为顶点的三角形区域（包括边界）.
目标函数可化为
当动直线过点时，取得最小值，
此时，故选B。
【变式训练1-2】、已知实数，满足约束条件，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由约束条件作出可行域是由，，三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到所在的直线的距离是可行域内的点到原点距离的最小值，此时，点到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时.所以的取值范围是.
故选B。
重难点题型突破2
线性约束条件中含有参数的问题
例2．已知＞0，满足约束条件，若的最小值为1，则=
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线，由题知当直线过A点时，取最小值1，由解得A（1，－1），因A（1，－1）在上，∴=，故选B．
【变式训练2-1】、（2020·吉林省高三二模）实数，满足，如果目标函数的最小值为，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】先做的区域如图可知在三角形ABC区域内，
由得可知，直线的截距最大时，取得最小值，
此时直线为，
作出直线，交于A点，
由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线也过A点，
由，得，代入，得，
所以点C的坐标为．
等价于点与原点连线的斜率，
所以当点为点C时，取得最小值，最小值为。
【变式训练2-2】、若满足且的最小值为－4，则的值为
A．2
B．-2
C．
D．
【答案】D
【解析】作出线性约束条件，的可行域．当时，如图(1)所示，此时可行域为轴上方、直线的右上方、直线的右下方的区域，显然此时无最小值．当时．取得最小值2；
当时，取得最小值2，均不符合题意，
当时，如图(2)所示，此时可行域为点A(2，0)，B（，0），C(0，2)所围成的三角形区域，当直线经过点B（，0）时，有最小值，
即，所以得．故选D．
【变式训练2-3】、若直线上存在点满足约束条件则实数的最大值为
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【解析】由题意，，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示，则，可得m≤1，∴实数m的最大值为1，故选B．
重难点题型突破3
目标函数中含有参数的问题
例3．（2020·湖南省长郡中学高三测试（理））已知实数满足约束条件，若的最大值为11，则实数______.
【答案】4
；
【解析】由已知得到可行域如图：
可求出三个交点坐标A（3，2），B（-1,2）,C,
目标函数的最大值为11，
几何意义是直线截距的最大值为11,
由图得知,当过点A截距取得最大值,
故，解得=4。
【变式训练3-1】、已知满足约束条件，若的最大值为4，则=
A．3
B．2
C．－2
D．－3
【答案】B
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，则，，
若过时取得最大值为4，则，解得，此时，目标函数为，即，平移直线，当直线经过时，截距最大，此时最大为4，满足条件，
若过时取得最大值为4，则，解得，此时，目标函数为，
即，平移直线，当直线经过时，截距最大，此时最大为6，不满足条件，故，故选．
【变式训练3-2】、满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数
的值为（
）
A．
B．
C．2或1
D．
【答案】D
【解析】解法一　由题中条件画出可行域，
可知三交点，，，则，，，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要或或，解得或．
解法二　目标函数可化为，令：，平移，则当
或时符合题意，故或．
五、迁移应用
1．（2020届河南省濮阳市高三模拟）设，满足条件，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】作出可行域如图所示
由得，则是直线在轴上的截距.
平移直线，当直线经过可行域内的点时，最小，此时最大.
解方程组，得，.
.
故答案为。
2．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三一联）若变量，满足约束条件则的最大值为________.
【答案】7
【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.
观察可知，当直线过点时，有最大值，.
故答案为。
3．（2020全国II文15）若x，y满足约束条件则的最大值是____．
【答案】8【解析】解法一：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线并平移，由图知，当平移后的直线经过点时，取得最大值，．
解法二：易知可行域是一个封闭区域，因此目标函数的最值在区域的顶点处取得，由得此时；由得此时；由得此时．综上所述，的最大值为8．
4．（2020全国III理13）若x，y满足约束条件则的最大值为________．
【答案】7【解析】
根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示．结合图形可知，当直线过点时，取得最大值，且．
5．（2020全国I理13）若满足约束条件则的最大值为____________．
【答案】1【解析】解法一：作出可行域，如图中阴影部分所示，由得故．作出直线，数形结合可知，当直线过点时，取得最大值，为1．
解法二：作出可行域，如图中阴影部分所示，易得，，，当直线过点时，；当直线过点时，；当直线过点时，．所以的最大值为1．
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二次不等式（组）与简单线性规划问题
一、考纲要求
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
考点二
点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.
考点三
简单的线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由变量x，y组成的一次不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次函数解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
四、题型分析
重难点题型突破1
基本的线性规划问题
例1．（2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））设满足约束条件，则的最大值是（
）
A．-1
B．0
C．
D．2
【变式训练1-1】、（2020·福建省泉州市高三质检）若满足约束条件，则的最小值为（
）
A．-17
B．-13
C．
D．20
【变式训练1-2】、已知实数，满足约束条件，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
重难点题型突破2
线性约束条件中含有参数的问题
例2．已知＞0，满足约束条件，若的最小值为1，则=
A．
B．
C．1
D．2
【变式训练2-1】、（2020·吉林省高三二模）实数，满足，如果目标函数的最小值为，则的最小值为_______．
【变式训练2-2】、若满足且的最小值为－4，则的值为
A．2
B．-2
C．
D．
【变式训练2-3】、若直线上存在点满足约束条件则实数的最大值为
A．
B．1
C．
D．2
重难点题型突破3
目标函数中含有参数的问题
例3．（2020·湖南省长郡中学高三测试（理））已知实数满足约束条件，若的最大值为11，则实数______.
【变式训练3-1】、已知满足约束条件，若的最大值为4，则=
A．3
B．2
C．－2
D．－3
【变式训练3-2】、满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数
的值为（
）
A．
B．
C．2或1
D．
五、迁移应用
1．（2020届河南省濮阳市高三模拟）设，满足条件，则的最大值为__________.
2．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三一联）若变量，满足约束条件则的最大值为________.
3．（2020全国II文15）若x，y满足约束条件则的最大值是____．
4．（2020全国III理13）若x，y满足约束条件则的最大值为________．
5．（2020全国I理13）若满足约束条件则的最大值为____________．
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