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专题7.4
基本不等式及其应用重难点突破
一、考纲要求
1.了解基本不等式的证明过程；
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
二、考情分析
三、考点梳理
【基本不等式(或)均值不等式】
【基本不等式的变形与拓展】
1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；
(3)若,则（当且仅当时取“=”）．
3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：．
6．函数图象及性质
(1)函数图象如右图所示：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；
(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
四、题型分析
(一)
利用基本不等式求最值
例1.（1）若，则的最小值为
.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）函数的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．1
【变式训练1】.已知，则的最小值是（
）
A．2
B．
C．4
D．5
.w.
【变式训练2】.已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．
(二)
不等式变形技巧：“1”的代换
例2.若a＞0，b＞0，lg
a＋lg
b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　)
A．8
B．6
C．4
D．2
（2）函数的图象恒过定点，若点在直线
上，则的最小值为
．
【变式训练1】.函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______.
【变式训练2】.设是正实数,且,则的最小值是__________．
(三)
不等式的证明技巧与综合处理技巧
例3．已知，，，求证：.
【变式训练1】已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
(四)
均值不等式在实际问题中的应用
例4.(2020·湖北七市(州)教科研协作体联考)如图，将1张长为2
m，宽为1
m的长方形纸板按图中方式剪裁并废弃阴影部分，若剩余部分恰好能折叠成一个长方体纸盒(接缝部分忽略不计)，则此长方体体积的最大值为________
m3.
【变式训练1】(2020·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．
(五)
不等式的综合应用求参数的取值范围问题
例5.（2020届湖北省高三模拟）若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
例6.（2020届陕西省汉中市高三质检）对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】已知为正实数,则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．3
【变式训练2】已知正实数满足,则的最小值为___________．
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专题7.4
基本不等式及其应用重难点突破
一、考纲要求
1.了解基本不等式的证明过程；
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
二、考情分析
三、考点梳理
【基本不等式(或)均值不等式】
【基本不等式的变形与拓展】
1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；
(3)若,则（当且仅当时取“=”）．
3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：．
6．函数图象及性质
(1)函数图象如右图所示：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；
(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
四、题型分析
(一)
利用基本不等式求最值
例1.（1）若，则的最小值为
.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【答案】
【解析】
，当且仅当时取等号.
（2）函数的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】（当且仅，即时取等号）。故选B。
【变式训练1】.已知，则的最小值是（
）
A．2
B．
C．4
D．5
【答案】C
【解析】选C.
因为当且仅当，
且，即时，取“=”号。w.w.
【变式训练2】.已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．
【答案】　4
【解析】　(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a>0)，
当且仅当y＝x时取等号，
所以(x＋y)的最小值为(＋1)2，
所以(＋1)2≥9恒成立．
所以a≥4.
(二)
不等式变形技巧：“1”的代换
例2.若a＞0，b＞0，lg
a＋lg
b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　)
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】　C
【解析】　由lg
a＋lg
b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C.
（2）函数的图象恒过定点，若点在直线
上，则的最小值为
．
【答案】4
【解析】函数的图象恒过定点，，，，
（方法一）：，
（当且仅当m=n=时等号成立）.（方法二）：（当且仅当m=n=时等号成立）.
【变式训练1】.函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______.
【答案】8
【解析】函数的图象恒过定点，，，，
【变式训练2】.设是正实数,且,则的最小值是__________．
【答案】．
【分析一】考虑通法,消元化为单元函数,而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值；
【解析一】
【考点点睛】
1.应用基本不等式求最值时，经常要对所给式子进行变形，配凑，变形的目标是能配凑出“和”或“积”为定值的条件．
2．若条件式是ax＋by＝c(a，b，c都是正常数)，常常进行常数代换(或乘除常数)．如x＋y＝1(x>0，y>0)求＋的最值时，可以将1＝x＋y,2＝2(x＋y)代入，也可以变形＋＝(＋)·1＝(＋)·(xy)．两种方法本质相同，若已知条件为2x＋y＝3(x>0，y>0)，求＋的最值时，可利用＋＝(＋)(2x＋y)变形．
3．求二元函数最值时，可以用代入消元法转化，但要注意根据被代换的变量的范围，对保留下的变量的范围加以限制．
(三)
不等式的证明技巧与综合处理技巧
例3．已知，，，求证：.
【答案】证明见解析；
【解析】
，，，
，，均大于0，
又①，②，③，
当且仅当时，等号成立，
①②③三式相加得，
.
故不等式得证.
【变式训练1】已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）{x|或}．（2）（，8）．
【解析】
解：（1）当m=5时，，
或或
或或或或
或，所以不等式的解集为{x|或}；
（2）由条件，有当时，不等式，
即恒成立，
令，
则因为，
且，
所以，
所以m<8，即实数m的取值范围为（，8）．
(四)
均值不等式在实际问题中的应用
例4.(2020·湖北七市(州)教科研协作体联考)如图，将1张长为2
m，宽为1
m的长方形纸板按图中方式剪裁并废弃阴影部分，若剩余部分恰好能折叠成一个长方体纸盒(接缝部分忽略不计)，则此长方体体积的最大值为________
m3.
【答案】
【解析】设长方体底面边长为x
m，宽为y
m，高为z
m，如图所示，则解得x＝1－y，z＝1－y.所以该长方体的体积为xyz＝y(1－y)(1－y)＝×2y(1－y)(1－y)≤·3＝，当且仅当2y＝1－y，即y＝时，等号成立．故此长方体体积的最大值为
m3.
【变式训练1】(2020·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．
【答案】2　20
【解析】设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)，
∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，
∴k1＝5，k2＝20，
∴运费与仓储费之和为万元，
∵5x＋≥2＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．
(五)
不等式的综合应用求参数的取值范围问题
例5.（2020届湖北省高三模拟）若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【解析】将不等式化为，只需当时，即可，
由
，
当且仅当时取等号，故,故m的最大值为9.
故选C。
例6.（2020届陕西省汉中市高三质检）对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先解一元二次不等式得，再根据定义求结果.
详解：因为，所以
因为，所以,
故选C。
【变式训练1】已知为正实数,则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．3
【答案】D
【解析】,当且仅当时取等号,故选D.
【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法,其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件,对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题,要灵活依据条件或待求式合理构造定值式
【变式训练2】已知正实数满足,则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
因为
,故应填答案
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