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专题8.1
空间几何体的结构、三视图与直观图
一、考纲要求
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；
3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.
二、考情分析
三、考点梳理
【基础知识梳理】
考点一
直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
考点二
空间几何体的三视图
(1)几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．
(2)三视图的画法
①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．
考点三
水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法的规则
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．
【知识拓展】
1．特殊的四棱柱
上述四棱柱有以下集合关系：{正方体}?{正四棱柱}?{长方体}?{直平行六面体}?{平行六面体}?{四棱柱}．
2．球的截面的性质
(1)球的截面是圆面；
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；
(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝.
3．常见几何体的三视图类型及其几何体的结构特征
(1)三视图为三个三角形，一般对应三棱锥；
(2)三视图为两个三角形，一个四边形，一般对应四棱锥；
(3)三视图为两个三角形，一个圆，一般对应圆锥；
(4)三视图为一个三角形，两个四边形，一般对应三棱柱；
(5)三视图为两个四边形，一个圆，一般对应圆柱．
四、题型分析
例1、（湖南省湘潭一中2019届期末）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(　　)
A.圆柱
B.圆锥
C.四面体
D.三棱柱
【变式训练1-1】、（河南省安阳一中2019届期中）下列结论正确的是(　　)
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
【变式训练1-2】、（2020届湖南省衡阳市高三一模）已知一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如图所示）.则此几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．4
例2.
（河南省周口一中2019届期末）一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为(　　)
A.8
B.4
C.4
D.4
【变式训练2-1】、（吉林东北师大附中2019届高三模拟）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为(　　)
A.
B．2
C．3
D．2
例3.(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
【变式训练3-1】(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)
A．2
B．2
C．3
D．2
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精品试卷·第
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（共
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专题8.1
空间几何体的结构、三视图与直观图
一、考纲要求
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；
3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.
二、考情分析
三、考点梳理
【基础知识梳理】
考点一
直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
考点二
空间几何体的三视图
(1)几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．
(2)三视图的画法
①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．
考点三
水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法的规则
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．
【知识拓展】
1．特殊的四棱柱
上述四棱柱有以下集合关系：{正方体}?{正四棱柱}?{长方体}?{直平行六面体}?{平行六面体}?{四棱柱}．
2．球的截面的性质
(1)球的截面是圆面；
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；
(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝.
3．常见几何体的三视图类型及其几何体的结构特征
(1)三视图为三个三角形，一般对应三棱锥；
(2)三视图为两个三角形，一个四边形，一般对应四棱锥；
(3)三视图为两个三角形，一个圆，一般对应圆锥；
(4)三视图为一个三角形，两个四边形，一般对应三棱柱；
(5)三视图为两个四边形，一个圆，一般对应圆柱．
四、题型分析
例1、（湖南省湘潭一中2019届期末）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(　　)
A.圆柱
B.圆锥
C.四面体
D.三棱柱
【答案】A
【解析】由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形.
【变式训练1-1】、（河南省安阳一中2019届期中）下列结论正确的是(　　)
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
【答案】D
【解析】如图1知，A不正确.如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确.
若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误.由母线的概念知，选项D正确.
【变式训练1-2】、（2020届湖南省衡阳市高三一模）已知一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如图所示）.则此几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．4
【答案】C
【解析】∵根据斜二侧画法可知，几何体的底面积是一个直角三角形，两直角边分别为2、，
且该几何体一个直三棱锥，如下所示：
容易知，，，
故可得中上的高，
故可得，
且，，，
故该几何体的表面积为。故选C。
例2.
（河南省周口一中2019届期末）一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为(　　)
A.8
B.4
C.4
D.4
【答案】D
【解析】由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，PA⊥平面ABC，DB⊥平面
ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝AC＝4，DB＝2，则易得S△PAC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP＝12，S△BCD＝×4×2＝4，故选D.
【变式训练2-1】、（吉林东北师大附中2019届高三模拟）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为(　　)
A.
B．2
C．3
D．2
【答案】C
【解析】在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M为AD的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1?MB1C.故通过计算可得D1C＝D1B1＝B1C＝2，D1M＝MC＝，MB1＝3，故最长棱的长度为3，故选C.
例3.(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由三视图得到空间几何体的直观图如图所示，
则PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，
所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.
在△PCD中，PD＝2，PC＝3，CD＝，所以△PCD为锐角三角形．
所以侧面中的直角三角形为△PAB，△PAD，△PBC，共3个．
【变式训练3-1】(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)
A．2
B．2
C．3
D．2
【答案】B
【解析】先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图①所示．
圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N位于OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．又ON＝×16＝4，OM＝2，所以MN＝＝＝2，故选B。
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