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专题8.3
空间点、直线、平面之间位置关系
一、考纲要求
1、了解平面的基本性质
2、掌握空间两条直线的位置关系
3、会求异面直线所成的角
二、考情分析
三、考点梳理
考点1、
平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
考点2、
空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系　　　
　　　　　　　　　　　　
(2)两条异面直线不能确定一个平面．
(3)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.
(4)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
(5)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(6)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
②如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．
③如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．　　　　　　　
考点3
空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
考点4
知识拓展
1．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2．异面直线的两个结论
(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
四、题型分析
例1、(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
【答案】B
【解析】　过E作EQ⊥CD于Q，连接BD，QN，BE，易知点N在BD上．∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，∴EQ⊥平面ABCD，∴EQ⊥QN，同理可知BC⊥CE，设CD＝2，易知EQ＝，QN＝1，则EN＝＝＝2，BE＝＝＝2.易知BE＝BD，又∵M为DE的中点，∴BM⊥DE，∴BM＝＝＝，∴BM＝>2＝EN.∴BM≠EN.
又∵点M，N，B，E均在平面BED内，∴BM，EN在平面BED内，又BM与EN不平行，∴BM，EN是相交直线，故选B.
【变式训练1-1】、(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)
【答案】②③
【解析】由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE∥b，连接AD，设BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF，
∴BF＝DE＝，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误．
由最小角定理可知③正确；
很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，
∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误．
∴正确的说法为②③.
【变式训练1-2】、设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①②③④
【答案】①③④
【解析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；
若与相交，则交点在平面内，
同理，与的交点也在平面内，
所以，，即，命题为真命题；
对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题为假命题；
对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题为假命题；
对于命题，若直线平面，
则垂直于平面内所有直线，
直线平面，直线直线，
命题为真命题.
综上可知，，为真命题，，为假命题，
真命题，为假命题，
为真命题，为真命题.
故答案为：①③④.
例2、设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．
【变式训练2-1】、
（云南省玉溪一中2019届期末）下列命题中正确的个数为(　　)
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线.
②若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；
③空间中不共面五个点一定能确定10个平面.
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】C
【解析】在①中，因为P，Q，R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与α的交线上，即P，Q，R三点共线，故①正确；在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A，B两点在该平面上，所以l?α，即a，b，l三线共面于α；同理a，c，l三线也共面，不妨设为β，而α，β有两条公共的直线a，l，所以α与β重合，故这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错.
【变式训练2-2】、（贵州省遵义四中2019届期末）一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：
①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；
③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°.
其中正确的是________(填序号)．
【答案】①②
【解析】将平面展开图还原成正方体(如图所示)．
对于①，由图形知AF与GC异面垂直，故①正确；
对于②，BD与GC显然成异面直线．如图，连接EB，ED，则BM∥GC，所以∠MBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDM中，∠MBD＝60°，所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故②正确；
对于③，BD与MN为异面垂直，故③错误；
对于④，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故④错误．综上可得①②正确．
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空间点、直线、平面之间位置关系
一、考纲要求
1、了解平面的基本性质
2、掌握空间两条直线的位置关系
3、会求异面直线所成的角
二、考情分析
三、考点梳理
考点1、
平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
考点2、
空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系　　　
　　　　　　　　　　　　
(2)两条异面直线不能确定一个平面．
(3)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.
(4)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
(5)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(6)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
②如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．
③如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．　　　　　　　
考点3
空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
考点4
知识拓展
1．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2．异面直线的两个结论
(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
四、题型分析
例1、(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
【变式训练1-1】、(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)
【变式训练1-2】、设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①②③④
例2、设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
【变式训练2-1】、
（云南省玉溪一中2019届期末）下列命题中正确的个数为(　　)
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线.
②若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；
③空间中不共面五个点一定能确定10个平面.
A.0
B.1
C.2
D.3
【变式训练2-2】、（贵州省遵义四中2019届期末）一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：
①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；
③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°.
其中正确的是________(填序号)．
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