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专题8.4
直线、平面平行的判定与性质（理科）
一、考纲要求
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行?线面平行)
∵l∥a，a?α，l?α，∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行?线线平行)
∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l∥b
考点二
平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行?面面平行)
∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
四、题型分析
重难点题型突破1
线面平行
例1.
（1）（福建省龙岩一中2019届期末）若直线l不平行于平面α，且l?α，则(　　)
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α与直线l至少有两个公共点
D.α内的直线与l都相交
【答案】B
【解析】因为l?α，直线l不平行于平面α，所以直线l只能与平面α相交，于是直线l与平面α只有一个公共点，所以平面α内不存在与l平行的直线.
（2）.（云南省曲靖一中2019届期末）如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　)
A.异面
　　
B.平行
C.相交
　　
D.以上均有可能
【答案】B
【解析】在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.
【变式训练1-1】、如图，四边形ABCD是平行四边形，AF∥DE，DE＝2AF.求证：AC∥平面BEF.
【证明】　设AC∩BD＝O，取BE中点G，连结FG，OG，∴OG∥DE且OG＝DE.
∵AF∥DE，DE＝2AF，∴AF∥OG且AF＝OG，
∴四边形AFGO是平行四边形，FG∥AO.
∵FG?平面BEF，AO?平面BEF，∴AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF.
例2.（江西省吉安一中2019届期中）如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明　(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.
又BE?平面DMF，MO?平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE?平面MNG，GN?平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，
又MN?平面MNG，BD?平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE，BD?平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
【变式训练2-1】、（江西省景德镇一中2019届质检）已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中点.
(1)求证：PC∥平面BDE；
(2)平面BDE分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比.
(1)证明　在平行四边形ABCD中，连接AC，设AC，BD的交点为O，则O是AC的中点.
又E是PA的中点，连接EO，则EO是△PAC的中位线，所以PC∥EO，
又EO?平面EBD，PC?平面EBD，所以PC∥平面EBD.
(2)解　设三棱锥E－ABD的体积为V1，高为h，四棱锥P－ABCD的体积为V，
则三棱锥E－ABD的体积V1＝×S△ABD×h，
因为E是PA的中点，所以四棱锥P－ABCD的高为2h，
所以四棱锥P－ABCD的体积V＝×S四边形ABCD×2h＝4×S△ABD×h＝4V1，
所以(V－V1)∶V1＝3∶1，
所以平面BDE分此棱锥得到的两部分的体积比为3∶1或1∶3.
重难点题型突破2
面面平行
例3、（2020年南通学情调研）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
【证明】(1)∵在△A1B1C1中，G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴GH与BC确定一个平面α，
∴G，H，B，C∈α，
∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
易证A1GEB，∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG.
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，且A1E?平面EFA1，EF?平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
【变式训练3-1】、如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：
(1)
BE∥平面DMF；
(2)
平面BDE∥平面MNG.
【解析】
(1)
如图所示，设DF与GN交于点O，连结AE，在平行四边形ADEF中，G，N分别为EF，AD的中点，所以AE必过点O，且O为AE的中点．
连结MO，因为M为AB的中点，
所以MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO.
因为BE?平面DMF，MO?平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)
因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，
所以DE∥GN.
因为DE?平面MNG，GN?平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN.
因为BD?平面MNG，MN?平面MNG，
所以BD∥平面MNG.
因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG.
【变式训练3-2】、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点．
(1)
证明：PB∥平面AEC；
(2)
在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．
【解析】
(1)
连结BD，交AC于点O，连结EO.
因为四边形ABCD为矩形，
所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO?平面AEC，PB?平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2)
PC的中点G即为所求的点．
证明如下：
连结GE，FG.
因为E为PD的中点，
所以GE∥CD，GE＝CD.
又F为AB的中点，且四边形ABCD为矩形，
所以FA∥CD，FA＝CD，
所以FA＝GE，FA∥GE，
所以四边形AFGE为平行四边形，
所以FG∥AE.
又FG?平面AEC，AE?平面AEC，
所以FG∥平面AEC.
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直线、平面平行的判定与性质（理科）
一、考纲要求
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行?线面平行)
∵l∥a，a?α，l?α，∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行?线线平行)
∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l∥b
考点二
平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行?面面平行)
∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
四、题型分析
重难点题型突破1
线面平行
例1.
（1）（福建省龙岩一中2019届期末）若直线l不平行于平面α，且l?α，则(　　)
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α与直线l至少有两个公共点
D.α内的直线与l都相交
（2）.（云南省曲靖一中2019届期末）如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　)
A.异面
　　
B.平行
C.相交
　　
D.以上均有可能
【变式训练1-1】、如图，四边形ABCD是平行四边形，AF∥DE，DE＝2AF.求证：AC∥平面BEF.
例2.（江西省吉安一中2019届期中）如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
【变式训练2-1】、（江西省景德镇一中2019届质检）已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中点.
(1)求证：PC∥平面BDE；
(2)平面BDE分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比.
重难点题型突破2
面面平行
例3、（2020年南通学情调研）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
【变式训练3-1】、如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：
(1)
BE∥平面DMF；
(2)
平面BDE∥平面MNG.
【变式训练3-2】、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点．
(1)
证明：PB∥平面AEC；
(2)
在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．
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