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专题8.4
直线、平面垂直的判定与性质
一、考纲要求
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
?l⊥α
性质定理
两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
?a∥b
考点二
平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
?α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
?l⊥α
考点三
知识拓展
1.两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.
四、题型分析
重难点题型突破1
线面垂直
例1.
（河北省石家庄二中2019届期中）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是(　　)
A.若m?α，则m⊥β
B.若m?α，n?β，则m⊥n
C.若m?α，m⊥β，则m∥α
D.若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α
【答案】C
【解析】对于A：若m?α，则m与平面β可能平行或相交，所以A错误；对于B：若m?α，n?β，则m与n可能平行、相交或异面，所以B错误；对于C：若m?α，m⊥β，则m∥α，C正确；对于D：α∩β＝m，n⊥m，则n不一定与平面α垂直，所以D错误.
【变式训练1-1】、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)
A.若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n
B.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
C.若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β
D.若α∥β，m?α，n?β，则m∥n
【答案】B
【解析】若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；
若m⊥n，m?α，n?β，则α与β的位置关系不确定，故C错误；
若α∥β，m?α，n?β，则m∥n或m，n异面，故D错误.
例2.如图所示，在四棱锥PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．求证：
(1)
PH⊥平面ABCD；
(2)
EF⊥平面PAB.
【证明】
(1)
因为AB⊥平面PAD，PH?平面PAD，所以PH⊥AB.
因为PH为△PAD中边AD上的高，所以PH⊥AD.
因为AB∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.
(2)
如图，取PA的中点M，连结MD，ME.
因为E是PB的中点，所以ME＝AB，ME∥AB.又因为DF＝AB，DF∥AB，
所以ME＝DF，ME∥DF，
所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.
因为PD＝AD，所以MD⊥PA.
因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.
因为PA∩AB＝A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，
所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.
重难点题型突破2
面面垂直
例3.
（安徽省合肥三中2019届高三质检）如图，在正四面体P?ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDE⊥平面ABC
【答案】D
【解析】因为BC∥DF，DF?平面PDF，
BC?平面PDF，
所以BC∥平面PDF，故选项A正确；
在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，
且AE，PE?平面PAE，
所以BC⊥平面PAE，
因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，
又DF?平面PDF，
从而平面PDF⊥平面PAE.
因此选项B，C均正确．
【变式训练3-1】、（江西鹰潭一中2019届高三调研）如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是(　　)
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′?FED的体积有最大值．
A．①　　　　　　　　　
B．①②
C．①②③
D．②③
【答案】C
【解析】①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，
所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．
②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.
③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′?FED的体积达到最大，故选C.
例4．（上海格致中学2019届高三模拟）如图1，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图2所示)，连接AP，PF，其中PF＝2.
(1)求证：PF⊥平面ABED；
(2)求点A到平面PBE的距离．
【解析】(1)证明：在题图2中，连接EF，
由题意可知，PB＝BC＝AD＝6，PE＝CE＝CD－DE＝9，
在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，
所以PF⊥BF.
在题图1中，连接EF，作EH⊥AB于点H，利用勾股定理，得EF＝＝，
在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF，
因为BF∩EF＝F，BF?平面ABED，EF?平面ABED，所以PF⊥平面ABED.
(2)如图，连接AE，由(1)知PF⊥平面ABED，
所以PF为三棱锥P?ABE的高．
设点A到平面PBE的距离为h，
因为VA?PBE＝VP?ABE，即××6×9×h＝××12×6×2，所以h＝，
即点A到平面PBE的距离为.
【变式训练4-1】、
(2018·北京高考)如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求证：EF∥平面PCD.
证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，
所以BC∥AD，所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，
因为PD?平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，
所以PD⊥平面PAB.
因为PD?平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.
因为F，G分别为PB，PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝BC.
因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
所以DE∥BC，DE＝BC.
所以DE∥FG，DE＝FG.
所以四边形DEFG为平行四边形．
所以EF∥DG.
又因为EF?平面PCD，DG?平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
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精品试卷·第
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直线、平面垂直的判定与性质
一、考纲要求
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
?l⊥α
性质定理
两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
?a∥b
考点二
平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
?α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
?l⊥α
考点三
知识拓展
1.两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.
四、题型分析
重难点题型突破1
线面垂直
例1.
（河北省石家庄二中2019届期中）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是(　　)
A.若m?α，则m⊥β
B.若m?α，n?β，则m⊥n
C.若m?α，m⊥β，则m∥α
D.若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α
【变式训练1-1】、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)
A.若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n
B.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
C.若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β
D.若α∥β，m?α，n?β，则m∥n
例2.如图所示，在四棱锥PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．求证：
(1)
PH⊥平面ABCD；
(2)
EF⊥平面PAB.
重难点题型突破2
面面垂直
例3.
（安徽省合肥三中2019届高三质检）如图，在正四面体P?ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDE⊥平面ABC
【变式训练3-1】、（江西鹰潭一中2019届高三调研）如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是(　　)
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′?FED的体积有最大值．
A．①　　　　　　　　　
B．①②
C．①②③
D．②③
例4．（上海格致中学2019届高三模拟）如图1，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图2所示)，连接AP，PF，其中PF＝2.
(1)求证：PF⊥平面ABED；
(2)求点A到平面PBE的距离．
【变式训练4-1】、
(2018·北京高考)如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求证：EF∥平面PCD.
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