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推理与证明复习指导
推理与证明是数学的基本思维过程，是学好数学的基本功，也是人们在一般学习和生活中常用的思维方式。数学内部规律的准确性必须用演绎推理（逻辑推理）的方式来证明，而在证明或数学学习的过程中，也经常使用合情推理去猜测和发现结论。
合情推理与证明。
合情推理主要包括归纳推理和类比推理，是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、定理和公理等）推测实践和实验的结果，以及个人的经验和感觉等推测某些结果的推理过程。而推测的结果是否正确，
需要根据题目的具体要求，利用严格的逻辑证明来验证。
例1：已知函数是定义在实数集R上的函数，满足对一切都有
且，请研究函数有哪些性质？并证明你的结论。
分析：由题目的已知条件我们无法看出函数具有的性质，此时我们可以由题目的运算式子求出几个具体的函数值，通过对函数值的分析来判断函数应具有的性质，即使用归纳法。
解：因为，且
所以，，
，，…..
观察分析上述结果，可以看出函数不具有奇偶函数的特征，也无单调性，而具有周而复始的特征，
可猜测f(x)是周期函数，周期为6。
证明：因为
所以x+1代x得：…….①
所以x+2代x得：……..②
由①+②得：………..③
所以x+3代x代入③得：……..④
④—③得：，即
所以函数f(x)是周期函数，周期为6.
点评：本题我们根据几个具体的函数值，根据其具有的特点归纳出函数的特征，而对于其特征，
我们又从函数的已知条件出发，利用综合法证明结论是正确的。
例2．在⊿ABC中，AB⊥AC,AD⊥BC于D,则,那么在四面体ABCD中，
类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由。
分析：本题属于合情推理中的类比推理，由已知条件中的平面三角形到空间多面体，由平面中的
线线关系类比空间中的线线、线面关系得出结论，并证明结论的正确与否。
解：在四面体ABCD中，AB,AC,AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则
证明：如图所示连接BE交CD于F，连接AF
因为AB⊥AC,AD⊥AB，所以AB⊥平面ACD, 所以AB⊥AF
在直角三角形ABF中，AE⊥BF,所以
在直角三角形ACD中，AF⊥CD,所以
所以，故猜想正确。
类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其它属性类似的一种推方
法，因而它的结论有可能是错误的，只有经过严格证明过程的结论才是正确的。
演绎推理与证明
演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特征情况下的结论，它的一般模式是三段论，它也是综合法证明的主要依据，即在大前提正确的基础上，利用严格的逻辑推理或逻辑证明来证明结论是正确的。
例如; 已知函数，求证：函数在上为增函数。
分析：用演绎推理解决问题的常见模式是三段论，证明本题所依据的大前提是增函数的定义，小前提是函数上满足增函数的定义，这为本题证明的关键。
证明：任取，则
因为，，所以， ，，
所以，所以函数f(x)在上为增函数。
点评：演绎推理一般分为三段，称为“三段论”，其中第一段为大前提，指的是一个一般原理，第二段为小前提，指的是一种特殊情况，第三段称为结论，是所得的结论，当大前提是显然时，一般可以省略不计。
三：直接证明与间接证明
证明有直接证明与间接证明两种形式，而直接证明主要有分析法和综合法两种基本形式，它们在证明中是相辅相成的、紧密联系的，注意这两种方法的综合应用，而在数学中有的问题直接证明难以入手，因此可以运用间接法证明，反证法是间接证明的常用方法。
例如：已知a,b,是正实数，求证：
证明：法1）：分析法
要证， 只要证
即证
即证，也就是证明
因为a,b是正实数，所以显然成立，
所以
点评：分析法是数学中常用到的一种直接证明方法，就证明程序来讲，它是从未知到已知（从结论到题设）的逻辑推理方法。具体说，即假设所需证明的命题的结论是正确的，由此逐步推出得证此结论成立的必需条件的判断，而这些判断恰恰都是已证的命题或要证命题的已知条件，它的依据是三段论式的演绎推理的方法。
法2）：综合法
因为a,b是正实数
所以
所以，当且仅当a=b时等号成立。
点评：综合法也是数学证明中常用的一种方法，它是一种从已知到未知（从题设到结论）的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断（命题）出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性，其逻辑推理的依据也是三段论式的演绎推理。
法3）：反证法
假设成立，所以
所以，即
所以
因为，所以不成立
所以假设错误，正确。
点评：反证法是间接证明的常用方法，而正确的提出假设（即否定结论）是正确运用反证法的
前提，它的证题过程一般有下面几个步骤：
假设所证明的结论不正确
通过严格的逻辑推理得出矛盾
矛盾的结果说明原结论正确
A
B
C
D
E
F

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