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推理与证明小结
“推理与证明”是数学的基本思维过程，贯穿于高中数学学习的全过程，对于培养创造性思维、数学发现能力、严谨论证习惯与能力起着重要的作用．学习中要注意学会利用归纳和类比等进行简单的推理；在理解演绎推理基本模式与特点的基础上，用它进行一些推理，并结合实例认识合情推理与演绎推理的联系与差别；要了解直接证明与间接证明的基本方法如分析法、综合法、反证法的思考过程与特点，逐步体会数学证明的特点，不断提高推理论证能力和分析问题与解决问题的能力．
一、合情推理与演绎推理
合情推理是根据个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，是“合乎情理”的推理，归纳与类比是合情推理常用的思维方法．演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．
1．归纳
例1 观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则（ ）
A． B． C． D．（2010年高考山东卷）
解：由给出的例子可以归纳得出：若函数是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在上的函数满足，即函数是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有，故选D．
解法启示：在观察中要善于发现、概括所给数或式的共同特征．
例2 在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形：
1 3 6 10 15
则第个三角形数为__________________．　
解：（法一）由图及所给数据，可归纳得出：，，，，，故．
（法二）由图及前后项关系可得：，，，，，，，，
故．
解法启示：在观察过程中经常要对所给数或式进行变形才易发现其共性，或在分析相邻项之间的关系中找到规律．
2．类比
例3 在平面有如下命题：“为直线外的一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数 满足，且”，类比此命题，给出在空间相应的一个正确命题是 ．
解：相应命题为：为平面外的一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数满足，且．
解法归纳：将平面的结论类比到空间，“共线”应类比“共面”，但和为1保持不变．
例4 设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列．（2009年高考浙江卷）
解：从等差数列类比到等比数列，一般是将“差”类比为“商”，“和”类比为“积”，因此有：设等比数列的前项积为，则，，成等比数列．
注意事项：由归纳与类比推理得到的结论不一定正确，要注意检验或证明．
3．演绎推理
例5 推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”的结论显然是错误的，这是因为 ( )
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．大小前提都错
解：大前提和小前提都没有错，但结论错了，原因是推理形式错误，故选C．
注意事项：要正确理解演绎推理的逻辑法则，避免在论证中出现逻辑错误．
例6 用三段论证明：一元二次方程无实根．
证明：因为对任意，当时，一元二次方程无实根，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（大前提）
而在一元二次方程中，，　（小前提）
所以一元二次方程无实根．　　　　　　　　　　　　　　　（结论）
知识链接：数学命题的证明过程就是一连串三段论的有序组合，只是多次使用三段论形式证明时，为了简洁，略去大前提或小前提．
合情推理具有发现结论、探寻思路的作用，有利于创新意识的培养．而演绎推理则是培养学生严谨逻辑论证能力的主要途径，合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成．
二、直接证明与间接证明
1．直接证明
例7 已知函数，其图象记为曲线．证明：若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段、与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值．(2010年高考福建卷改)
证明：曲线在点处的切线方程为，
即．由
得，
即，解得或，
故．
进而有,
用代替，重复上述计算过程，可得和．K^S*5U.C#O
又，所以，因此有．
2．间接证明
例8 等差数列的前项和为．（Ⅰ）求数列的通项与前项和；（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．（2007年高考福建卷）
解：（Ⅰ）易得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．
即．
， ．
与矛盾．所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．
方法步骤：反证法是间接证明的一种基本方法，一般有三个步骤：（1）反设：假设命题结论不正确，从而结论的反面成立；（2）归谬：从“反设”出发，经正确推理，导出矛盾（与已知条件、假设、定义、公理、定理等）；（3）结论：否定假设，肯定原命题的结论正确．
三、数学归纳法
例9 等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的n∈N*，点均在函数且均为常数)的图像上．（Ⅰ）求r的值；（Ⅱ）当b=2时，记 （n∈N*），证明：对任意的n∈N*，不等式成立．(2009年高考山东卷)
解：（Ⅰ）解得： ,（解答过程略）．
（Ⅱ）当b=2时，,所以．下面用数学归纳法证明不等式成立．
当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立．
假设当时不等式成立,即成立．
则当时,左边=
所以当时,不等式也成立．由①、②可得不等式恒成立．
方法步骤：数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法，主要步骤是：①证明当n取第一个值n0时结论正确，这个步骤称为归纳奠基；②假设n=k(k≥n0，n∈N*)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确，这个步骤称为归纳递推；③由①、②得出结论．
注意事项：（1）用数学归纳法证明问题时，一般要注意：①一定要用到归纳假设；②看清从k到k＋1中的变化．（2）数学归纳经常与不完全归纳法配合运用．

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