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第六章 第四节 生活中的圆周运动 导学案
【知识点一】
火车转弯问题
在铁路的弯道处，让外轨高于内轨，使火车转弯时所需的向心力恰由重力和弹力的合力提供，如图1所示（注意：火车转弯时的轨道平面是水平的），这样，铁路建成后，火车转弯时的速率v与弯道圆弧半径r、铁轨平面与水平面间的夹角θ应满足的关系为： ；当火车实际行驶速率大于或小于v时，外轨道或内轨道对轮缘有侧压力。
图1
例题1：有一列质量为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2)　
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
练习1：火车轨道的转弯处外轨高于内轨，如图2所示。若已知某转弯处内、外轨道所在平面相对水平面倾角为θ，火车以某一速率v通过该弯道时，内、外轨道均不受侧向压力，则下列说法正确的是(　　)
图2
A．火车弯道的轨道半径R＝
B．当火车速度大于v时，外轨将受到侧向压力作用
C．当火车速度小于v时，外轨将受到侧向压力作用
D．当火车质量改变时，要使内、外轨都不受侧向压力作用，其行驶的速率v要改变
【知识点二】
汽车过拱桥问题
设汽车质量为m，桥面圆弧半径为r，汽车过桥面最高点时的速率为v，汽车受支持力为FN，则有
mg－FN＝m
当v≥时，FN＝0，汽车将脱离桥面，发生危险。
汽车过凹形桥最低点时，其动力学方程为 。
例题2：一辆质量m＝2 t的汽车，驶过半径R＝90 m的一段拱形桥面，g取10 m/s2。
(1)汽车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？
(2)在最高点对桥面的压力等于汽车所受重力的一半时，车的速度大小是多少？
练习2：如图3所示，当汽车通过拱形桥顶点的速度为10 m/s时，汽车对桥顶的压力为汽车所受重力的，如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时，恰好不受桥面支持力作用，则汽车通过桥顶的速度应为(重力加速度g取10 m/s2)(　　)
图3
A．15 m/s　　　　　　　　 B．20 m/s
C．25 m/s D．30 m/s
【知识点三】
航天器中的失重现象
在任何关闭了发动机、又不受阻力的飞行器中，都是一个完全失重的环境，如向空中抛出的容器等。
离心运动
做匀速圆周运动的物体，在合外力 或者 时，做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫离心运动，发生离心运动的根本原因是“惯性”。
例题3：如图4所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的、质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同。当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两个物体的运动情况是(　　)
图4
A．两物体均沿切线方向滑动
B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动
D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远
练习3：如图5所示，让撑开的带有水的伞绕着伞柄旋转，当水滴从伞的边缘飞出时，可以看到水滴是沿着伞边缘的切线方向飞出，不计空气阻力，水滴脱离伞后做(　　)
图5
A．匀速直线运动 B．自由落体运动
C．圆周运动 D．平抛运动
【当堂小练】
1．关于铁轨转弯处，内、外轨间的高度关系，下列说法正确的是(　　)
A．内、外轨一样高，以防火车倾倒造成翻车事故
B．因为火车转弯处有向内倾倒的可能，故一般使内轨高于外轨，以防火车翻倒
C．外轨比内轨略高，这样可以使火车顺利转弯，减少车轮对铁轨的挤压
D．以上说法均不正确
2．如图6所示，在光滑轨道上，小球滚下经过圆弧部分的最高点时，恰好不脱离轨道，此时小球受到的作用力是(　　)
图6
A．重力、弹力和向心力　　　 B．重力和弹力
C．重力和向心力 D．重力
3.[多选]如图7所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法正确的是(　　)
图7
A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动
C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动
4．“摩天轮”是游乐场非常受欢迎的项目。如图8所示，一摩天轮在竖直平面内匀速转动，其半径为40 m，转动一周的时间为1 min，有一质量为50 kg的游客在观光舱中随摩天轮转动，计算时取π＝3，下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　)
图8
A．游客在运动过程中所受合力不变
B．游客过最高点的速度约为20 m/s
C．游客在最低点，观光舱对游客的作用力约为520 N
D．游客在转动轴等高处，观光舱对游客的作用力竖直向上
【课后小练】
1．铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图9所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时的速度等于，则(　　)
图9
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
2．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低。如图10所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些。汽车的运动可看作在水平面内做半径为R的圆周运动。设内、外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L。已知重力加速度为g。要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于(　　)
图10
A. B．
C. D．
3.杂技演员表演“水流星”，在长L＝1.6 m的细绳的一端，系一个总质量m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图11所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　)
图11
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的水的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
4.在汽车越野赛中，一个土堆可视为半径R＝10 m的圆弧，左侧连接水平路面，右侧与一坡度为37°的斜坡连接。某车手驾车从左侧驶上土堆，经过土堆顶部时恰能离开，赛车行驶一段时间后恰沿与斜坡相同的方向进入斜坡，沿斜坡向下行驶。研究时将赛车视为质点，如图12所示，不计空气阻力。求：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
图12
(1)赛车经过土堆顶部时的速度大小；
(2)赛车落到斜坡上的位置与土堆顶部的水平距离。
第六章 第四节 生活中的圆周运动 导学案
【知识点一】
火车转弯问题
在铁路的弯道处，让外轨高于内轨，使火车转弯时所需的向心力恰由重力和弹力的合力提供，如图1所示（注意：火车转弯时的轨道平面是水平的），这样，铁路建成后，火车转弯时的速率v与弯道圆弧半径r、铁轨平面与水平面间的夹角θ应满足的关系为： ；当火车实际行驶速率大于或小于v时，外轨道或内轨道对轮缘有侧压力。
图1
例题1：有一列质量为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2)　
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
解析：(1)v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，则有FN＝m＝ N＝1×105 N。
由牛顿第三定律可知，铁轨受到的侧压力大小FN′＝FN＝1×105 N。
(2)火车过弯道，若铁轨受到的侧压力为0，则重力和铁轨对火车的支持力的合力刚好提供向心力，如图所示，有mgtan θ＝m。
由此可得tan θ＝＝0.1。
答案：(1)1×105 N　(2)0.1
练习1：火车轨道的转弯处外轨高于内轨，如图2所示。若已知某转弯处内、外轨道所在平面相对水平面倾角为θ，火车以某一速率v通过该弯道时，内、外轨道均不受侧向压力，则下列说法正确的是(　　)
图2
A．火车弯道的轨道半径R＝
B．当火车速度大于v时，外轨将受到侧向压力作用
C．当火车速度小于v时，外轨将受到侧向压力作用
D．当火车质量改变时，要使内、外轨都不受侧向压力作用，其行驶的速率v要改变
解析：选B　由题意知，火车转弯时，内、外轨道均不受侧向压力，重力与轨道支持力的合力提供向心力，则有mgtan θ＝m，解得R＝；当速度大于临界速度v时，mgtan θm，火车将做近心运动，内轨将受到侧向压力作用；由mgtan θ＝m，得v＝，内、外轨都不受侧向压力时，临界速度与质量无关。故A、C、D错误，B正确。
【知识点二】
汽车过拱桥问题
设汽车质量为m，桥面圆弧半径为r，汽车过桥面最高点时的速率为v，汽车受支持力为FN，则有
mg－FN＝m
当v≥时，FN＝0，汽车将脱离桥面，发生危险。
汽车过凹形桥最低点时，其动力学方程为 。
例题2：一辆质量m＝2 t的汽车，驶过半径R＝90 m的一段拱形桥面，g取10 m/s2。
(1)汽车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？
(2)在最高点对桥面的压力等于汽车所受重力的一半时，车的速度大小是多少？
[解析]　(1)汽车通过拱形桥面最高点时，受力分析如图所示。
由牛顿第二定律，得mg－FN＝m
故桥面的支持力大小
FN＝mg－m＝N≈1.78×104 N
根据牛顿第三定律，知汽车在桥面最高点时对桥面压力的大小为1.78×104 N。
(2)对桥面的压力等于汽车所受重力的一半时，
此时桥面支持力FN′＝0.5mg，
mg－FN′＝m，
所以，此时汽车的速度大小
v′＝＝ m/s＝15 m/s。
[答案]　(1)1.78×104 N　(2)15 m/s
练习2：如图3所示，当汽车通过拱形桥顶点的速度为10 m/s时，汽车对桥顶的压力为汽车所受重力的，如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时，恰好不受桥面支持力作用，则汽车通过桥顶的速度应为(重力加速度g取10 m/s2)(　　)
图3
A．15 m/s　　　　　　　　 B．20 m/s
C．25 m/s D．30 m/s
解析：选B　根据牛顿第二定律，得mg－FN＝m
由牛顿第三定律知，FN与汽车对桥顶的压力大小相等，都为mg
解得r＝＝40 m
当支持力为零时，有mg＝m
解得v′＝＝20 m/s。故B正确，A、C、D错误。
【知识点三】
航天器中的失重现象
在任何关闭了发动机、又不受阻力的飞行器中，都是一个完全失重的环境，如向空中抛出的容器等。
离心运动
做匀速圆周运动的物体，在合外力 或者 时，做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫离心运动，发生离心运动的根本原因是“惯性”。
例题3：如图4所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的、质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同。当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两个物体的运动情况是(　　)
图4
A．两物体均沿切线方向滑动
B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动
D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远
[解析]　A、B两物体刚好未发生滑动时，对A、B两物体进行受力分析，如图所示。物体A需要的向心力FA＝Ffmax＋FT＝mω2rA，物体B需要的向心力FB＝Ffmax－FT＝mω2rB，因此FA>FB。烧断细线后，细线上拉力FT消失。对A有Ffmaxmω2rB，物体B随盘一起转动。故选项A、B、C均错误，选项D正确。
[答案]　D
练习3：如图5所示，让撑开的带有水的伞绕着伞柄旋转，当水滴从伞的边缘飞出时，可以看到水滴是沿着伞边缘的切线方向飞出，不计空气阻力，水滴脱离伞后做(　　)
图5
A．匀速直线运动 B．自由落体运动
C．圆周运动 D．平抛运动
解析：选D　水滴在最高处离开伞边缘，沿切线方向飞出，由于只受重力，加速度为g，所以水滴脱离伞后做平抛运动，故A、B、C错误，D正确。
【当堂小练】
1．关于铁轨转弯处，内、外轨间的高度关系，下列说法正确的是(　　)
A．内、外轨一样高，以防火车倾倒造成翻车事故
B．因为火车转弯处有向内倾倒的可能，故一般使内轨高于外轨，以防火车翻倒
C．外轨比内轨略高，这样可以使火车顺利转弯，减少车轮对铁轨的挤压
D．以上说法均不正确
解析：选C　外轨略高于内轨，这样轨道对火车的支持力垂直于轨道平面向上，它与火车的重力的合力沿水平方向指向圆心，消除或减小车轮和轨道间的侧向挤压，有效地保护了轨道和车轮，故C正确。
2．如图6所示，在光滑轨道上，小球滚下经过圆弧部分的最高点时，恰好不脱离轨道，此时小球受到的作用力是(　　)
图6
A．重力、弹力和向心力　　　 B．重力和弹力
C．重力和向心力 D．重力
解析：选D　由题意可知，小球在竖直平面内的光滑圆轨道内侧做圆周运动。经过圆弧最高点时刚好不脱离圆轨道的临界条件是小球只受重力且由重力提供小球做圆周运动的向心力，故D正确。
3.[多选]如图7所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法正确的是(　　)
图7
A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动
C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动
解析：选BC　若拉力突然变大，则小球将做近心运动，不会沿轨迹Pb做离心运动，A项错误。若拉力突然变小，则小球将做离心运动，但由于力与速度有一定的夹角，故小球将做曲线运动，B项正确，D项错误。若拉力突然消失，则小球将沿着P点处的切线方向运动，C项正确。
4．“摩天轮”是游乐场非常受欢迎的项目。如图8所示，一摩天轮在竖直平面内匀速转动，其半径为40 m，转动一周的时间为1 min，有一质量为50 kg的游客在观光舱中随摩天轮转动，计算时取π＝3，下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　)
图8
A．游客在运动过程中所受合力不变
B．游客过最高点的速度约为20 m/s
C．游客在最低点，观光舱对游客的作用力约为520 N
D．游客在转动轴等高处，观光舱对游客的作用力竖直向上
解析：选C　游客在运动过程中做匀速圆周运动，所受合力大小不变，方向时刻变化，故A错误；速度v＝＝ m/s＝4 m/s，故B错误；最低点时，由牛顿第二定律，有FN－mg＝m，得FN＝mg＋m＝50×10＋50×N＝520 N，故C正确；游客在转动轴等高处所受合力指向圆心，则此时观光舱对游客的作用力斜向上，故D错误。
【课后小练】
1．铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图9所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时的速度等于，则(　　)
图9
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
解析：选C　由牛顿第二定律可知，F合＝m，解得F合＝mgtan θ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，FNcos θ＝mg，
则FN＝，内、外轨道对火车均无侧压力，故C正确，A、B、D错误。
2．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低。如图10所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些。汽车的运动可看作在水平面内做半径为R的圆周运动。设内、外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L。已知重力加速度为g。要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于(　　)
图10
A. B．
C. D．
解析：选B　设路面的斜角为θ，作出汽车的受力图，如图所示。
由题意知，当mgtan θ＝m时，其横向摩擦力等于零，所以v＝＝ ，B正确。
3.杂技演员表演“水流星”，在长L＝1.6 m的细绳的一端，系一个总质量m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图11所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　)
图11
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的水的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
解析：选B　“水流星”在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此知绳的拉力恰好为零，且水恰不流出容器，处于完全失重状态，但受重力作用，故B正确。
4.在汽车越野赛中，一个土堆可视为半径R＝10 m的圆弧，左侧连接水平路面，右侧与一坡度为37°的斜坡连接。某车手驾车从左侧驶上土堆，经过土堆顶部时恰能离开，赛车行驶一段时间后恰沿与斜坡相同的方向进入斜坡，沿斜坡向下行驶。研究时将赛车视为质点，如图12所示，不计空气阻力。求：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
图12
(1)赛车经过土堆顶部时的速度大小；
(2)赛车落到斜坡上的位置与土堆顶部的水平距离。
解析：(1)赛车在土堆顶部做圆周运动，且恰能离开，故重力刚好提供向心力，由牛顿第二定律，得mg＝m
解得v＝＝10 m/s。
(2)赛车离开土堆顶部后做平抛运动，落到斜坡上时速度与水平方向夹角为37°，则有tan 37°＝＝
解得t＝＝0.75 s
则落到斜坡上的位置距离土堆顶部的水平距离x＝vt＝7.5 m。
答案：(1)10 m/s　(2)7.5 m

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