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专题9.1
直线的方程
一、考纲要求
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；
3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．
考点二
直线的斜率
(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tanθ.
(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝　.
考点三
直线方程的五种形式
名称
条件
方程
适用范围
点斜式
斜率k与点(x0，y0)
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
斜率k与纵截距b
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
两点(x1，y1)，(x2，y2)
＝
不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)
截距式
截距a与b
　＋＝1　
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
—
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
四、题型分析
重难点题型提突破1
直线的倾斜角与斜率
例1、
若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A.
1
B.
4
C.
1或3
D.
1或4
【变式训练1-1】、
直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
∪
D.
∪
【变式训练1-2】、（徐州一中模拟）(1)直线2xcos
α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A.
B.　
C.
D.
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围是__________．
重难点题型提突破2
求直线的方程
例2、过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为________．
【变式训练2-1】、过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程为________．
【变式训练2-2】、过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为________________．
【变式训练2-3】、根据所给条件求直线的方程．
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.
【变式训练2-4】、（江苏扬州中学2019届模拟）已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
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专题9.1
直线的方程
一、考纲要求
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；
3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．
考点二
直线的斜率
(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tanθ.
(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝　.
考点三
直线方程的五种形式
名称
条件
方程
适用范围
点斜式
斜率k与点(x0，y0)
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
斜率k与纵截距b
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
两点(x1，y1)，(x2，y2)
＝
不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)
截距式
截距a与b
　＋＝1　
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
—
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
四、题型分析
重难点题型提突破1
直线的倾斜角与斜率
例1、
若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A.
1
B.
4
C.
1或3
D.
1或4
【答案】
A
【解析】
由题意得＝1，解得m＝1.
【变式训练1-1】、
直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
∪
D.
∪
【答案】
B
【解析】
由直线方程可得该直线的斜率为k＝－，又－1≤－<0，所以倾斜角的取值范围是.
【变式训练1-2】、（徐州一中模拟）(1)直线2xcos
α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A.
B.　
C.
D.
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围是__________．
【答案】
(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)
【解析】(1)直线2xcos
α－y－3＝0的斜率k＝2cos
α，因为α∈，所以≤cos
α≤，因此k＝2cos
α∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tan
θ∈[1，]．
又θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的取值范围是.
(2)如图，因为kAP＝＝1，kBP＝＝－，所以k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．
重难点题型提突破2
求直线的方程
例2、过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为________．
【答案】：x－2y＋2＝0或x＝2
【解析】：①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－，依题意有××2＝2，即＝1，解得k＝，所以直线m的方程为y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.
【变式训练2-1】、过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程为________．
【答案】4x＋3y－13＝0
【解析】设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.
【变式训练2-2】、过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为________________．
【答案】2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0
【解析】设直线方程的截距式为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是＋＝1或＋＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
【变式训练2-3】、根据所给条件求直线的方程．
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.
【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sin
α＝(0<α<π)，从而cos
α＝±，
则k＝tan
α＝±.故所求直线方程为y＝±(x＋4)，
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1.
又直线过点(－3,4)，从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；
当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.
由点到直线的距离公式得＝5，解得k＝.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
【变式训练2-4】、（江苏扬州中学2019届模拟）已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
【解析】(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，
要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是.
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A，B(0,1＋2k)．又－＜0且1＋2k＞0，∴k＞0.
故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)＝≥(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
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