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专题9.2
两条直线的位置关系
一、考纲要求
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2；
②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．
(2)两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
(3)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1k2＝－1；
②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1与l2的关系为垂直．
(4)两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
考点二
两条直线的交点
考点三
三种距离
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
＝
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝
四、题型分析
重难点题型提突破1
直线平行与垂直
例1、已知直线l1：ax＋2y＋3＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)
当l1∥l2时，求实数a的值；
(2)
当l1⊥l2时，求实数a的值．
【解析】　(1)(方法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，
l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2?解得a＝－1，综上可知，当a＝－1时，l1∥l2.
(方法2)∵l1∥l2∴?解得a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2.
(2)(方法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；
当a≠1且a≠0时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)由·＝－1，得a＝.
(方法2)∵l1⊥l2，∴a＋2(a－1)＝0，解得a＝.
【变式训练1-1】、（江苏省盐城一中2019届期末）若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于(　　)
A．1
B．－
C．－
D．－2
【答案】D　
【解析】由a×1＋2×1＝0得a＝－2.故选D.
【变式训练1-2】、（湖北省荆州一中2019届月考）经过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线的方程是________．
【答案】2x－y＋4＝0
【解析】因为y′＝6x－4，所以y′|x＝1＝2，所以所求直线方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.
【变式训练1-3】、
若直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则实数m的值为(　　)
A.
2
B.
－3
C.
2或－3
D.
－2或－3
【答案】
C
【解析】
直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或m＝－3.故选C.
【变式训练1-4】、若直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为(　　)
A.
－3
B.
－
C.
2
D.
3
【答案】
D
【解析】
直线ax＋2y－1＝0的斜率k1＝－，直线2x－3y－1＝0的斜率k2＝.因为两直线垂直，所以－×＝－1，即a＝3.
重难点题型提突破2
点与线、线与线的距离公式
例2、已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程．
(2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离．
(3)是否存在过点P且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
【解析】　(1)过点P的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见过P(2，－1)垂直于x轴的直线满足条件．此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得＝2，解得k＝.此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)过点P与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得klkOP＝－1.∴kl＝－＝2.由直线的点斜式方程得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，最大距离为＝.
(3)由(2)可知，过P点不存在与原点距离超过的直线，∴不存在过P点且与原点距离为6的直线．
【变式训练2-1】、直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是(
)
A.
B.
C.
D.
1
【答案】A
【解析】　先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，则两平行线间的距离为d＝＝.故选A.
【变式训练2-2】、（福建省莆田一中2019届期末）已知定点A(1,1)，B(3,3)，动点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值是________．
【答案】2
【解析】点A(1,1)关于x轴的对称点为C(1，－1)，则|PA|＝|PC|，设BC与x轴的交点为M，则|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝2.由三角形两边之和大于第三边知当P不与M重合时，|PA|＋|PB|＝|PC|＋|PB|＞|BC|，故当P与M重合时，|PA|＋|PB|取得最小值．
【变式训练2-3】、（江西省九江一中2019届质检）已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
【解析】依题意知kAC＝－2，A(5,1)，所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0，联立直线AC和直线CM的方程，得所以C(4,3)．设B(x0，y0)，AB的中点M为，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，所以所以B(－1，－3)，所以kBC＝，所以直线BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.
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两条直线的位置关系
一、考纲要求
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2；
②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．
(2)两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
(3)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1k2＝－1；
②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1与l2的关系为垂直．
(4)两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
考点二
两条直线的交点
考点三
三种距离
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
＝
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝
四、题型分析
重难点题型提突破1
直线平行与垂直
例1、已知直线l1：ax＋2y＋3＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)
当l1∥l2时，求实数a的值；
(2)
当l1⊥l2时，求实数a的值．
【变式训练1-1】、（江苏省盐城一中2019届期末）若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于(　　)
A．1
B．－
C．－
D．－2
【变式训练1-2】、（湖北省荆州一中2019届月考）经过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线的方程是________．
【变式训练1-3】、
若直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则实数m的值为(　　)
A.
2
B.
－3
C.
2或－3
D.
－2或－3
【变式训练1-4】、若直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为(　　)
A.
－3
B.
－
C.
2
D.
3
重难点题型提突破2
点与线、线与线的距离公式
例2、已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程．
(2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离．
(3)是否存在过点P且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
【变式训练2-1】、直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是(
)
A.
B.
C.
D.
1
【变式训练2-2】、（福建省莆田一中2019届期末）已知定点A(1,1)，B(3,3)，动点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值是________．
【变式训练2-3】、（江西省九江一中2019届质检）已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
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