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专题9.3
圆的方程
一、考纲要求
1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．　
2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
圆的定义及方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C：(a，b)
半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
圆心：
半径：r＝
考点二
点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种情况
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
①(x0
－a)2＋(y0
－b)2＝r2?点在圆上；
②(x0
－a)2＋(y0
－b)2>r2?点在圆外；
③(x0－a)2＋(y0
－b)2四、题型分析
重难点题型突破1
求圆的方程
例1、(2019苏州期末）在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－1＝0上的圆的标准方程为________．
【答案】
(x－5)2＋(y－2)2＝17
【解析】由圆心既的线段AB的垂直平分线上，又在直线x－2y－1＝0上，先求出圆心的坐标．
线段AB的中点为M，斜率kAB＝1，所以线段AB的垂直平分线方程为y－＝－，即x＋y＝7.由得圆心C(5，2)，半径r＝CA＝，圆C的方程为(x－5)2＋(y－2)2＝17.
【变式训练1-1】、若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系为(
)
A.
在圆内
B.
在圆上
C.
在圆外
D.
位置不确定
【答案】C
【解析】∵圆心(0，0)到直线ax＋by＝1的距离d＝<1，∴a2＋b2>1，即点P(a，b)在圆外．故选C.
【变式训练1-2】、　(1)
已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程为________________________________．
(2)
已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________________．
(3)
若一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的方程为______________________．
【答案】（1）
x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
（2）(x－1)2＋(y＋4)2＝8；
（3）
(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9　
【解析】（1）
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将P，Q两点的坐标分别代入得又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0③.设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，即(x1＋x2)2－4x1x2＝36，得D2－4F＝36④，由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
（2）
过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－5＝0，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)，所以半径r＝＝2，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
（3）
因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，所以设所求圆的圆心为(3a，a)．因为所求圆与y轴相切，所以半径r＝3|a|.因为所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，所以d2＋()2＝r2，即2a2＋7＝9a2，所以a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
重难点题型突破2
与圆有关的问题
例2、
点(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A.
点在圆外
B.
点在圆内
C.
点在圆上
D.
不能确定
【答案】
A、
【解析】
将点(m2，5)代入圆方程，得m4＋25>24，故点在圆外．
【变式训练2-1】、已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则
(1)的最大值和最小值分别为________和________；
(2)y－x的最大值和最小值分别为________和________；
(3)x2＋y2的最大值和最小值分别为_______和_______．
【答案】　(1)　－　(2)－2＋　－2－　(3)7＋4　7－4
【解析】　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，
为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±，所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
【变式训练2-2】、已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（
）．
A.
4
B.
5
C.
6
D.
7
【答案】A
【解析】设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A.
【变式训练2-3】、.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
重难点题型突破3
与圆有关的定义与轨迹问题
例3、点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
【答案】A　
【解析】
设中点为A(x，y)，圆上任意一点为B(x′，y′)，由题意得则故(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.
【变式训练3-1】、、已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．
(1)求直角顶点C的轨迹方程；
(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程．
【解析】(1)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
【变式训练3-2】、已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
【解析】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2,2y)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2
＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
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圆的方程
一、考纲要求
1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．　
2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
圆的定义及方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C：(a，b)
半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
圆心：
半径：r＝
考点二
点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种情况
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
①(x0
－a)2＋(y0
－b)2＝r2?点在圆上；
②(x0
－a)2＋(y0
－b)2>r2?点在圆外；
③(x0－a)2＋(y0
－b)2四、题型分析
重难点题型突破1
求圆的方程
例1、(2019苏州期末）在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－1＝0上的圆的标准方程为________．
【变式训练1-1】、若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系为(
)
A.
在圆内
B.
在圆上
C.
在圆外
D.
位置不确定
【变式训练1-2】、　(1)
已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程为________________________________．
(2)
已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________________．
(3)
若一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的方程为______________________．
重难点题型突破2
与圆有关的问题
例2、
点(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A.
点在圆外
B.
点在圆内
C.
点在圆上
D.
不能确定
【变式训练2-1】、已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则
(1)的最大值和最小值分别为________和________；
(2)y－x的最大值和最小值分别为________和________；
(3)x2＋y2的最大值和最小值分别为_______和_______．
【变式训练2-2】、已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（
）．
A.
4
B.
5
C.
6
D.
7
【变式训练2-3】、.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（
）
A.
B.
C.
D.
重难点题型突破3
与圆有关的定义与轨迹问题
例3、点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
【变式训练3-1】、、已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．
(1)求直角顶点C的轨迹方程；
(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程．
【变式训练3-2】、已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
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