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专题9.4
直线与圆、圆与圆的位置关系
一、考纲要求
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；
3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
直线与圆的位置关系
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
考点二
圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
　方法位置关系　　　
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
【知识必备】
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆系方程
(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)。
四、题型分析
重难点题型突破1
直线与圆的位置关系
例1、直线kx－y－4k＋3＝0与圆x2＋y2－6x－8y＋21＝0的交点个数为(
)
A.
0
B.
1
C.
2
D.
1或2
【答案】C
【解析】∵直线kx－y－4k＋3＝0过定点(4，3)，且点(4，3)在圆x2＋y2－6x－8y＋21＝0内，∴交点个数为2个．故选C.
【变式训练1-1】、过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________________．
【答案】
x＝2或4x－3y＋1＝0
【解析】
①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径1，得k＝，所以切线方程为4x－3y＋1＝0；②若切线的斜率不存在，则切线方程为x＝2，符合题意，所以直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.
【变式训练1-2】、(2019·湖南长沙月考)设直线l：(m－1)x＋(2m＋1)y＋3m＝0(m∈R)与圆(x－1)2＋y2＝8相交于A，B两点，C为圆心，且△ABC的面积等于4，则实数m＝________.
【答案】－或－
【解析】设CA，CB的夹角为θ，圆的半径为r.所以S△ABC＝r2sin
θ＝4sin
θ＝4，得θ＝.易知圆心C到直线l的距离为2，所以＝2，解得m＝－或－.　
【变式训练1-3】、(1)(2020·杭州模拟)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为(　　)
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－6)
D．(－6，＋∞)
(2)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　)
A．(＋1，＋∞)
B．(－1，＋1)
C．(0，－1)
D．(0，＋1)
【答案】(1)　C
(2)A
【解析】(1)∵x2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圆，∴8－4b＞0，即b＜2.∵直线ax＋y＋a＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0的内部，∴6＋b＜0，解得b＜－6，∴b的取值范围是(－∞，－6)．故选C.
(2)计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1.
重难点题型突破2
圆的弦长、切线的问题
例2、（1）在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1－＝0被圆x2＋y2－6x－2y＋1＝0截得的弦长为________．
（2）当直线l：ax－y＋2－a＝0被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9截得的弦长最短时，实数a的值为________．
（3）若直线l：ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，且∠ACB＝90°，则实数a的值为________．
【答案】（1）
2
（2）2
（3）1或7
【解析】（1）
圆x2＋y2－6x－2y＋1＝0的圆心为C(3，1)，半径r＝3，点C到直线x－y＋1－＝0的距离d＝，所求弦长为l＝2＝2.
【解析】（2）
由ax－y＋2－a＝0得直线l恒过点M(1，2)．又因为点M(1，2)在圆C的内部，当MC与l垂直时，弦长最短，所以kMC·kl＝－1，所以×a＝－1，解得a＝2
.
（3）由题意，得圆心C(3，1)，半径r＝3且∠ACB＝90°，则圆心C到直线l：ax－y＋2－a＝0的距离为r，即＝，解得a＝1或a＝7.
【变式训练2-1】、（1）　过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，若弦AB的长为2，则直线l的方程为
_
（2）已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝________.
【答案】（1）
x＝1或3x－4y＋5＝0（2）±
【解析】
（1）当直线l的斜率不存在时，x＝1，符合条件；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，所以圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为，由＋＝9，解得k＝，即直线l的方程为3x－4y＋5＝0.综上所述，所求直线l的方程为x＝1或3x－4y＋5＝0.
（2）记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|＝|CB|＝可知，圆心C(1,2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是＝1，解得b＝±.
【变式训练2-3】、已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)
求过点P的圆C的切线方程；
(2)
求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
【解析】
(1)
由题意得圆心C(1，2)，半径r＝2.
因为(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，所以点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，所以切线的斜率k＝－＝1，
所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0.
(2)
因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0，满足题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝＝2，解得k＝，所以切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
综上所述，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
因为MC＝＝
，
所以过点M的圆C的切线长为＝＝1.
【变式训练2-4】、已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
【解析】(1)设切线方程为x＋y＋b＝0，则＝，∴b＝1±2，∴切线方程为x＋y＋1±2＝0.
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，则＝，∴m＝±5，∴切线方程为2x＋y±5＝0.
(3)∵kAC＝＝，∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.
重难点题型突破3
圆与圆位置关系
例3、圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为(
)
A.
2
B.
2
C.
3
D.
2
【答案】B
【解析】由得x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，∴所求弦长为2.故选B.
【变式训练3-1】、（河北省石家庄二中2019届期末）已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m＝________.
【答案】2或－5
【解析】圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，则C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2.当圆C1与圆C2相外切时，显然有|C1C2|＝r1＋r2，即＝5，整理得m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.
【变式训练3-2】、已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【解析】
两圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.
(1)当两圆外切时，＝＋，解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心距5，故只有－＝5，解得m＝25－10.
(3)当m＝45时，4－＜|MN|＝5＜＋4，两圆相交，其两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦长为.
【变式训练3-3】、已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相内切，
则
a2＋b2的最小值为__________．
【答案】
【解析】
由圆C1与圆C2内切，得＝1，
即(a＋b)2＝1.又由基本不等式≥，可知a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，故a2＋b2的最小值为.
【变式训练3-4】、已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相交”，则公共弦所在的直线方程为______________________．
【答案】
(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0
【解析】
由题意将圆C1，圆C2的方程都化为一般方程，
得圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0①，圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0②，
由②－①得
(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，
即所求公共弦所在直线方程为(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0.
【变式训练3-5】、已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(
)
A.
3
B.
8
C.
4
D.
9
【答案】D
【解析】　由题设中可知两圆相内切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由题设可知＝2－1，即a2＋4b2＝1，则＋＝(a2＋4b2)＝5＋＋≥5＋4＝9.当且仅当a2＝2b2时等号成立．故选D.
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直线与圆、圆与圆的位置关系
一、考纲要求
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；
3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
直线与圆的位置关系
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
考点二
圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
　方法位置关系　　　
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
【知识必备】
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆系方程
(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)。
四、题型分析
重难点题型突破1
直线与圆的位置关系
例1、直线kx－y－4k＋3＝0与圆x2＋y2－6x－8y＋21＝0的交点个数为(
)
A.
0
B.
1
C.
2
D.
1或2
【变式训练1-1】、过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________________．
【变式训练1-2】、(2019·湖南长沙月考)设直线l：(m－1)x＋(2m＋1)y＋3m＝0(m∈R)与圆(x－1)2＋y2＝8相交于A，B两点，C为圆心，且△ABC的面积等于4，则实数m＝________.
【变式训练1-3】、(1)(2020·杭州模拟)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为(　　)
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－6)
D．(－6，＋∞)
(2)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　)
A．(＋1，＋∞)
B．(－1，＋1)
C．(0，－1)
D．(0，＋1)
重难点题型突破2
圆的弦长、切线的问题
例2、（1）在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1－＝0被圆x2＋y2－6x－2y＋1＝0截得的弦长为________．
（2）当直线l：ax－y＋2－a＝0被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9截得的弦长最短时，实数a的值为________．
（3）若直线l：ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，且∠ACB＝90°，则实数a的值为________．
【变式训练2-1】、（1）　过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，若弦AB的长为2，则直线l的方程为
_
（2）已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝________.
【变式训练2-3】、已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)
求过点P的圆C的切线方程；
(2)
求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
【变式训练2-4】、已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
重难点题型突破3
圆与圆位置关系
例3、圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为(
)
A.
2
B.
2
C.
3
D.
2
【变式训练3-1】、（河北省石家庄二中2019届期末）已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m＝________.
【变式训练3-2】、已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【变式训练3-3】、已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相内切，
则
a2＋b2的最小值为__________．
【变式训练3-4】、已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相交”，则公共弦所在的直线方程为______________________．
【变式训练3-5】、已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(
)
A.
3
B.
8
C.
4
D.
9
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