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专题9.5
椭圆（理科）
一、考纲要求
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．
2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
3.了解椭圆的简单应用．
4.理解数形结合的思想.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
考点二
椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
焦距
＝2c
离心率
e＝，　　e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
【知识必备】
1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin
θ＝b2tan
＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝
|y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.
四、题型分析
重难点题型突破1
椭圆的定义及方程
例1、已知椭圆:,点M与C的焦点不重合,若关于的焦点的对称点分别为,线段的中点在上,则
.
【变式训练1-1】、(2011年新课标全国卷14)在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率为.过的直线交于两点,且的周长为16,那么的方程为
.
【变式训练1-2】、设是椭圆上一点，分别是两圆和上的点，则的最小值和最大值分别为（
）
A．4，8
B．2，6
C．6，8
D．8，12
重难点题型突破2
求椭圆的离心率
例2、在平面直角坐标系中,已知顶点和,顶点在椭圆上,则　　　　.
网]
【变式训练2-1】、(2013年新课标全国卷II)设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,,,则的离心率为
(
)
A.
B.
C.
D.
重难点题型突破3
直线与椭圆的位置关系
例3、已知椭圆，直线：，直线与椭圆的位置关系是（
）
相离
B．相交
C．相切
D．不确定
【变式训练3-1】、已知是椭圆的左右焦点，是直线上一点，若的最小值是，则实数__________.
【变式训练3-2】、对不同的实数值,讨论直线与椭圆的位置关系.
重难点题型突破4
与椭圆有关的综合问题
例4、已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值．
【变式训练4-1】、椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线AB的斜率为，求△ABF2的面积．
【变式训练4-2】、已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．
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专题9.5
椭圆（理科）
一、考纲要求
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．
2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
3.了解椭圆的简单应用．
4.理解数形结合的思想.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
考点二
椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
焦距
＝2c
离心率
e＝，　　e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
【知识必备】
1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin
θ＝b2tan
＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝
|y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.
四、题型分析
重难点题型突破1
椭圆的定义及方程
例1、已知椭圆:,点M与C的焦点不重合,若关于的焦点的对称点分别为,线段的中点在上,则
.
【解析】如图,,,.
【变式训练1-1】、(2011年新课标全国卷14)在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率为.过的直线交于两点,且的周长为16,那么的方程为
.
【解析】,得方程为:.
【变式训练1-2】、设是椭圆上一点，分别是两圆和上的点，则的最小值和最大值分别为（
）
A．4，8
B．2，6
C．6，8
D．8，12
【答案】A
【解析】根据题意作出如下图像，其中是椭圆的左，右焦点，
在中可得：…①,
当且仅当三点共线时，等号成立，
在中可得：…②，当且仅当三点共线时，等号成立，
由①+②得：，
由椭圆方程可得：，即
由椭圆定义可得：，
所以可化为：.
故选：A.
重难点题型突破2
求椭圆的离心率
例2、在平面直角坐标系中,已知顶点和,顶点在椭圆上,则　　　　.
【解析】秒杀公式：。[]
【变式训练2-1】、(2013年新课标全国卷II)设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,,,则的离心率为
(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】设，，则，即，，，选D。
秒杀公式：，选D。
重难点题型突破3
直线与椭圆的位置关系
例3、已知椭圆，直线：，直线与椭圆的位置关系是（
）
相离
B．相交
C．相切
D．不确定
【解析】直线：化为，
可得直线恒过点，由可知该点在椭圆内部.
所以直线与椭圆相交，
故选：B.
【变式训练3-1】、已知是椭圆的左右焦点，是直线上一点，若的最小值是，则实数__________.
【解析】依题意椭圆，则，，又因为，是直线上一点，若的最小值是，则此直线与椭圆相切.由消去并化简得，判别式，解得.
故答案为：.
【变式训练3-2】、对不同的实数值,讨论直线与椭圆的位置关系.
【解析】由消去得，
当时，，此时直线与椭圆相交；
当
，此时直线与椭圆相切；
当，此时直线与椭圆相离.
重难点题型突破4
与椭圆有关的综合问题
例4、已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值．
【解析】(1)由题意得解得a＝，b＝1.所以椭圆M的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|AB|＝＝＝＝
.
当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.
【变式训练4-1】、椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线AB的斜率为，求△ABF2的面积．
【解析】(1)由题意知，4a＝8，所以a＝2，又e＝，所以＝，c＝1，
所以b2＝22－1＝3，所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设直线AB的方程为y＝(x＋1)，
由得5x2＋8x＝0，解得x1＝0，x2＝－，
所以y1＝，y2＝－.所以S△ABF2＝c·|y1－y2|＝1×＝.
【变式训练4-2】、已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为，
则原点到直线的距离，
由，得，解得离心率.
（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为.
依题意，圆心是线段的中点，且.
易知，不与轴垂直.
设其直线方程为，代入（1）得
.
设，则，.
由，得，解得.
从而.
于是.[]
由，得，解得.
故椭圆的方程为.
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