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专题9.6
双曲线（理科）
一、考纲要求
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质．　
2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．　
3.理解数形结合的思想．
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
考点二
双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±xy＝±x
离心率
e＝　　，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
四、题型分析
重难点题型突破1
双曲线的定义及方程
例1．（陕西省延安一中2019届期中）如果方程－＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)
B．(－1，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【变式训练1-1】、若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)
A．离心率相等
B.虚半轴长相等
C．实半轴长相等
D．焦距相等
【变式训练1-2】、双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
【变式训练1-3】、双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　)
A．(－，0)，(，0)
B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－)，(0，)
D．(0，－2)，(0,2)
重难点题型突破2
求双曲线的离心率
例2．（江西省景德镇一中2019届模拟）如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为(　　)
A．2＋
B.
C．2＋
D.
【变式训练2-1】、已知是双曲线的左、右焦点,点在上,与轴垂直,,则的离心率为
(
)
A.
B.
C.
D.
【变式训练2-2】、已知为双曲线的左、右顶点,点在上,为等腰三角形,且顶角为,则的离心率为
(
)
A.
B.2
C.
D.
【变式训练2-3】、已知双曲线的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于、两点.若,则的离心率为
.
重难点题型突破3
直线与双曲线的位置关系
例3、已知直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则k的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1】、已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______.
【变式训练3-2】、已知双曲线的右焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
重难点题型突破4
与双曲线有关的综合问题
例4、已知双曲线
（1）求直线被双曲线截得的弦长；
（2）过点能否作一条直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点？
【变式训练4-1】、已知双曲线C：与双曲线有相同的渐近线，且双曲线C过点．
(1)若双曲线C的左、右焦点分别为，，双曲线C上有一点P，使得，求△的面积；
(2)过双曲线C的右焦点作直线l与双曲线右支交于A，B两点，若△的周长是，求直线l的方程．
【变式训练4-2】、（山西省长治一中2019届模拟）已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
【变式训练4-3】、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
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精品试卷·第
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专题9.6
双曲线（理科）
一、考纲要求
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质．　
2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．　
3.理解数形结合的思想．
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
考点二
双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±xy＝±x
离心率
e＝　　，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
四、题型分析
重难点题型突破1
双曲线的定义及方程
例1．（陕西省延安一中2019届期中）如果方程－＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)
B．(－1，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【答案】B　
【解析】双曲线的方程是－＝1.根据定义和条件知k＋1>0?k>－1.故选B.
【变式训练1-1】、若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)
A．离心率相等
B.虚半轴长相等
C．实半轴长相等
D．焦距相等
【答案】D　
【解析】由0＜k＜9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由＝，得两双曲线的焦距相等．
【变式训练1-2】、双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
【答案】A　
【解析】因为＝，所以＝3，所以＝，所以渐近线方程为y＝±x.故选A.
【变式训练1-3】、双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　)
A．(－，0)，(，0)
B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－)，(0，)
D．(0，－2)，(0,2)
【答案】B　
【解析】因为a2＝3，b2＝1，所以c2＝4，所以c＝2，又焦点在x轴上，所以B项正确．故选B.
重难点题型突破2
求双曲线的离心率
例2．（江西省景德镇一中2019届模拟）如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为(　　)
A．2＋
B.
C．2＋
D.
【答案】D　
【解析】由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C的方程，可得x＝±
，所以·＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e＞1，所以e2＝2＋，所以e＝
，故选D.
【变式训练2-1】、已知是双曲线的左、右焦点,点在上,与轴垂直,,则的离心率为
(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】设，则，，，，选A。
秒杀公式：，选A。
【变式训练2-2】、已知为双曲线的左、右顶点,点在上,为等腰三角形,且顶角为,则的离心率为
(
)
A.
B.2
C.
D.
【解析】可得，代入双曲线得，选D。
【变式训练2-3】、已知双曲线的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于、两点.若,则的离心率为
.
【解析】可得为等边三角形，到渐近线的距离为，得，。
秒杀方法：由可得(利用焦点到渐近线的距离为)。
重难点题型突破3
直线与双曲线的位置关系
例3、已知直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则k的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】双曲线渐近线为，直线过定点.画出双曲线的图像以及双曲线渐近线的图像如下图所示，由图可知，要使直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则，结合选项可知只有D选项符合.由消去得，化简得，因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点，所以，解得.
故选：D.
【变式训练3-1】、已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______.
【解析】
如图，由题可知，，则，
又，，，
又，
作，可得，，则
在，，即，
又，化简可得，同除以，得
解得，双曲线的离心率为
【变式训练3-2】、已知双曲线的右焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】双曲线的渐近线方程为，
由题意可知，双曲线渐近线的倾斜角范围是，
渐近线斜率，而，
由此得不等式，即，
故，所以，
故选：C．
重难点题型突破4
与双曲线有关的综合问题
例4、已知双曲线
（1）求直线被双曲线截得的弦长；
（2）过点能否作一条直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点？
【解析】（1）设直线与的交点
联立方程组，化简得：，
解得，所以，
所以弦长
（2）假设存在直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点.
设,,易知,由
两式相减得,
又,，所以,所以,
故直线的方程为,即.
由,消去得,
因为,方程无解,
故不存在一条直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点.
【变式训练4-1】、已知双曲线C：与双曲线有相同的渐近线，且双曲线C过点．
(1)若双曲线C的左、右焦点分别为，，双曲线C上有一点P，使得，求△的面积；
(2)过双曲线C的右焦点作直线l与双曲线右支交于A，B两点，若△的周长是，求直线l的方程．
【解析】(1)
设双曲线C：，点代入得：?
∴双曲线C：
在△PF1F2中，设?，
∴?，由②得：，
，??，
∴；
(2)
∵?
∴?，
1°当直线AB斜率不存在时，，不符合题意（舍）
2°当直线AB斜率存在时，设AB：?，
联立：?，
∴，
解得：，此时?，
∴直线l方程：或
【变式训练4-2】、（山西省长治一中2019届模拟）已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足(－)＝－1，所以x0＝y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，所以x0＝c，所以点A的坐标为，代入双曲线方程得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，所以34－82＋4＝0，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，因为e＞1，所以e＝，所以双曲线的离心率为.
【变式训练4-3】、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
【解析】(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知解得＜k＜1.
所以当l与双曲线左支有两个交点时，k的取值范围为.
(3)由(2)得xA＋xB＝，所以yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)＝k(xA＋xB)＋2＝.
所以AB的中点P的坐标为.设直线l0的方程为y＝－x＋m，
将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.因为＜k＜1，所以－2＜1－3k2＜0.
所以m＜－2.所以m的取值范围为(－∞，－2)．
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2
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