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专题9.7
抛物线（理科）
一、考纲要求
1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
考点二
抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线
　x＝－　
　x＝　
　y＝－　
　y＝　
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
＝　x0＋　
＝　－x0＋　
＝　y0＋　
＝　－y0＋　
考点三
与焦点弦有关的常用结论
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
【知识必备】
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
四、题型分析
重难点题型突破1
抛物线方程的图像与性质
例1、抛物线y2＝4x的准线方程为(　　)
A.
x＝1
B.
x＝－1
C.
y＝1
D.
y＝－1
【答案】
B
【解析】
抛物线的焦点在x轴上，且2p＝4，即p＝2，所以抛物线的准线方程为直线x＝－＝－1.
【变式训练1-1】、过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝(　　)
A．9　　　　　　　　　
B．8
C．7
D．6
【答案】B　
【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
【变式训练1-2】、拋物线y＝2ax2(a≠0)的焦点是(　　)
A.
B.或
C.
D.或
【答案】C　
【解析】抛物线的方程化成标准形式为x2＝y(a≠0)，其焦点在y轴上，所以焦点坐标为.故选C.
【变式训练1-3】、设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
【答案】[－1,1]
【解析】：Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，l与抛物线有公共点；当k≠0时，Δ＝64(1－k2)≥0得－1≤k<0或0重难点题型突破2
抛物线的焦点弦问题
例2、(1)定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，则点M到y轴的最短距离为(　　)
A.
B．1
C.
D．2
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为__________．
【答案】(1)B　(2)4
【解析】
(1)如图所示，抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－，过A，B，M分别作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分别为A′，B′，M′.由抛物线定义知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|.又M为AB中点，由梯形中位线定理得|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|FA|＋|FB|)≥|AB|＝×3＝，则M到y轴的距离d≥－＝1(当且仅当AB过抛物线的焦点时，等号成立)，所以dmin＝1，即点M到y轴的最短距离为1.
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.故|PB|＋|PF|的最小值为4.
【变式训练2-1】、已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝4|FB|，O为坐标原点，若△AOB的面积为，求p的值．
【解析】　易知抛物线y2＝2px的焦点F的坐标为，准线为x＝－，
不妨设点A在x轴上方，如图，过A、B作准线的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′，过点B作BH⊥AA′，交AA′于H，则|BB′|＝|A′H|，设|FB|＝t，则|AF|＝|AA′|＝4t，∴|AH|＝|AA′|－|A′H|＝3t，又|AB|＝5t，
∴在Rt△ABH中，cos∠HAB＝，
∴tan∠HAB＝，则可得直线AB的方程为y＝.由得8x2－17px＋2p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝p＋p＝p，易知点O到直线AB的距离为d＝p.
∴S△AOB＝×p×p＝＝，∴p2＝1，又p＞0，∴p＝1.
重难点题型突破3
直线与抛物线方程的位置关系
例3、过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A．4　　　　　　　　　　
B.
C．5
D．6
【答案】　B
【解析】易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1，①
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝.
[应用结论]　法一：由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos
θ＝＝，所以tan
θ＝2，则sin2θ＝8cos2θ，所以sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.
法二：因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
【变式训练3-1】、（2017·全国高考）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则点到直线的距离为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】设直线与轴相交于点，与直线相交于点，，
设，因为，所以，
所以，解得：，设，由焦半径公式得：，所以，，
所以，
所以点到直线的距离为.
【变式训练3-2】、如图，已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(2，1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)若∠APB的平分线垂直于y轴，求证：直线AB的斜率为定值．
【解析】　(1)由已知条件，可设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)．∵点P(2，1)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程为x2＝4y.
(2)由题意知kAP＋kBP＝0，∴＋＝0，∴eq
\f(\f(x,4)－1,x1－2)＋eq
\f(\f(x,4)－1,x2－2)＝0，∴＋＝0，
∴x1＋x2＝－4，∴kAB＝＝eq
\f(\f(x,4)－\f(x,4),x1－x2)＝＝－1，∴直线AB的斜率为定值－1.
【变式训练3-3】、、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(8，－4)，P(2，t)(t<0)在抛物线y2＝2px(p>0)上．
(1)求p，t的值；
(2)过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上，若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1＋k2＝2k3，求点C的坐标．
【解析】　(1)将点A(8，－4)代入y2＝2px，得p＝1.将点P(2，t)代入y2＝2x，得t＝±2.∵t<0，∴t＝－2.
(2)由题意知，点M的坐标为(2，0)，直线AM的方程为y＝－x＋.联立，解得B
，∴k1＝－，k2＝－2，代入k1＋k2＝2k3，得k3＝－，故直线PC的方程为y＝－x＋，联立，解得C.
重难点题型突破4
与抛物线方程有关的综合问题
例4、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标为，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】设抛物线的焦点是，
根据抛物线的定义可知
，，
当三点共线时，等号成立，
的最小值是，
，
的最小值是.
故答案为：
【变式训练4-1】、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线的焦点为F(4，0)，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p=_______，的最小值为______．
【答案】
【解析】∵
抛物线的焦点为F(4，0)，
∴
，
∴
抛物线的方程为，
设直线的方程为，设，，
由得，
∴，，
由抛物线的定义得
，
∴，
当且仅当即时，等号成立，
故答案为：．
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抛物线（理科）
一、考纲要求
1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
考点二
抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线
　x＝－　
　x＝　
　y＝－　
　y＝　
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
＝　x0＋　
＝　－x0＋　
＝　y0＋　
＝　－y0＋　
考点三
与焦点弦有关的常用结论
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
【知识必备】
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
四、题型分析
重难点题型突破1
抛物线方程的图像与性质
例1、抛物线y2＝4x的准线方程为(　　)
A.
x＝1
B.
x＝－1
C.
y＝1
D.
y＝－1
【变式训练1-1】、过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝(　　)
A．9　　　　　　　　　
B．8
C．7
D．6
【变式训练1-2】、拋物线y＝2ax2(a≠0)的焦点是(　　)
A.
B.或
C.
D.或
【变式训练1-3】、设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
重难点题型突破2
抛物线的焦点弦问题
例2、(1)定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，则点M到y轴的最短距离为(　　)
A.
B．1
C.
D．2
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为__________．
【变式训练2-1】、已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝4|FB|，O为坐标原点，若△AOB的面积为，求p的值．
重难点题型突破3
直线与抛物线方程的位置关系
例3、过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A．4　　　　　　　　　　
B.
C．5
D．6
【变式训练3-1】、（2017·全国高考）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则点到直线的距离为（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练3-2】、如图，已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(2，1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)若∠APB的平分线垂直于y轴，求证：直线AB的斜率为定值．
【变式训练3-3】、、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(8，－4)，P(2，t)(t<0)在抛物线y2＝2px(p>0)上．
(1)求p，t的值；
(2)过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上，若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1＋k2＝2k3，求点C的坐标．
重难点题型突破4
与抛物线方程有关的综合问题
例4、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标为，则的最小值是__________．
【变式训练4-1】、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线的焦点为F(4，0)，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p=_______，的最小值为______．
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