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专题9.8
曲线与方程（理科）
一、考纲要求
1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；
2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；
3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
曲线与方程
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．
考点二
求曲线方程的基本步骤
四、题型分析
重难点题型突破1
直接法
直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程
当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,
称之直接法.
、已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．
【解析】设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有，即，．整理得，这就是动点M的轨迹方程．
若，方程化为，它表示过点和x轴垂直的一条直线；
若λ≠1，方程化为，
它表示以为圆心，为半径的圆．
例2、抛物线焦点弦的中点轨迹方程是
。
【解析】
设弦端点，中点为，则
因为所以
重难点题型突破2
相关点代入法
据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程
例3、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程
【解析】
设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理
在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)
又|AR|=|PR|=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动
设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0
整理得
x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程
例4、(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝
.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
【解析】(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，由＝
得x0＝x，y0＝y.因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)，由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以·＝0，即⊥，又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
重难点题型突破3
参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例5、设点A和B为抛物线
y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线
【解法一】
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)
(x≠0)
直线AB的方程为x=my+a
由OM⊥AB，得m=－
由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0
所以y1y2=－4pa,
x1x2=
所以，由OA⊥OB，得x1x2
=－y1y2
所以
故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)
故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点
【解法二】
设OA的方程为，代入y2=4px得
则OB的方程为，代入y2=4px得
∴AB的方程为，过定点，
由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）
故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点
【解法三】
设M(x,y)
(x≠0)，OA的方程为，代入y2=4px得
则OB的方程为，代入y2=4px得
由OM⊥AB，得M既在以OA为直径的圆
……①上，
又在以OB为直径的圆
……②上（O点除外），
+②得
x2+y2－4px=0(x≠0)
故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点
例6、过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程.
【解析】：设，直线的斜率为，则直线的斜率为.直线OA的方程为，由解得，即，同理可得.
由中点坐标公式，得，消去，得，此即点的轨迹方程.
例7、设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
【解析】：（1）设所求椭圆方程为由题意得解得
所以椭圆方程为．
(2)设点解方程组得
由和得
其中t＞1．消去t，得点P轨迹方程为和．其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分．
例8、如右图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
【解析】：设及，又，可得
直线的方程为------①；
直线的方程为------②.
由①x②得---------③.
又
，代入③得，化简得，此即点的轨迹方程.
当时，点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆；
当时，点的轨迹是椭圆.
重难点题型突破4
定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
例9、已知中，、、的对边分别为、、，若依次构成等差数列，且，，求顶点的轨迹方程.
【解析】如右图，以直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系.
由题意，构成等差数列，（两定点的距离等于定长—椭圆），即，又，的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，，，故的轨迹方程为
例10、已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线
【解析】
建立坐标系如图所示，
设|AB|=2a,则A(－a,0）,B(a,0)
设M(x,y）是轨迹上任意一点
则由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简得
(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0
(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴)
(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0
点M的轨迹是以(－，0）为圆心，为半径的圆
x
A1
A2
O
y
N
M
P
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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曲线与方程（理科）
一、考纲要求
1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；
2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；
3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
曲线与方程
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．
考点二
求曲线方程的基本步骤
四、题型分析
重难点题型突破1
直接法
直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程
当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,
称之直接法.
、已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．
例2、抛物线焦点弦的中点轨迹方程是
。
重难点题型突破2
相关点代入法
据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程
例3、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程
例4、(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝
.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
重难点题型突破3
参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例5、设点A和B为抛物线
y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线
例6、过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程.
例7、设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
例8、如右图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
重难点题型突破4
定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
例9、已知中，、、的对边分别为、、，若依次构成等差数列，且，，求顶点的轨迹方程.
例10、已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线
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