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第四章
图形的性质第31节
尺规作图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1．网格作图：利用平移、旋转、轴对称、中心对称、位似在网格中作图称为网格作图
■考点2．尺规作图
(1)尺规作图的定义：
在几何里把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称为基本作图．
(2)五种基本尺规作图：①作一条线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)段等于已知线段；②作一个角等于已知角：③作一个角的角平分线：④作线段的垂直平分线：⑤经过一点作已知直线的垂线．
(3)尺规作图的步骤：
①已知：写出已知的线段和角，画出图形：
②求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化：
③作法：应用五种基本作图，叙述时不需要重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹：
④证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，根据有关的定义、定理等并结合作法证明所作图形完全符合题设条件，
⑤对所作图形下结论．
(4)作三角形：①已知三边作三角形；②已知两边及其夹角作三角形：③已知两角及其夹边作三角形：④已知底边及底边上的高作等腰三角形．
(5)探究如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1．网格作图
◇典例：
（2020年广西桂林市）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1；
（2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2；
（3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　
　，　
　）中心对称．
【考点】作图-平移变换,作图-旋转变换
【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1；
（2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2；
（3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标．
解：（1）如图所示，分别确定平移后的对应点，
得到A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，分别确定旋转后的对应点，
得到A2B2C2即为所求；
（3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称．
故答案为：﹣2，0．
【点评】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键．
◆变式训练
（2020年黑龙江省绥化市）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点；
（2）连接，将线段绕点顺时针旋转90°得点B对应点，画出旋转后的线段；
（3）连接，求出四边形的面积．
【考点】作图-轴对称变换,作图-旋转变换
【分析】（1）连接AO并延长一倍即可得到；
（2）由于是一个正方形对角线，再找一个以为顶点的正方形，与相对的点即为，连接线段；
（3）连接，由求出四边形面积．
解：如图所示
（1）作出点A关于点O的对称点；
（2）连接，画出线段；
（3）连接，过点A作于点E，过点作于点F；
．
∴四边形的面积是24．
【点评】此题主要考查了图象的旋转以及中心对称，同时考查在网格中的面积计算问题，熟练掌握旋转变换和中心对称变换的定义作出变换后的对应点是解题的关键．
■考点2
尺规作图
◇典例
（2020年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）在平行四边形中，E为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图1，在上找出一点M，使点M是的中点；
（2）如图2，在上找出一点N，使点N是的一个三等分点．
【考点】平行四边形的性质，作图—复杂作图，相似三角形的性质
【分析】（1）连接对角线AC,BD，再连接E与对角线的交点，与BC的交点即为M点；
（2）连接CE交BD即为N点，根据相似三角形的性质可得,于是DN=BD．
解：（1）如图1，点M即为所求；
（2）如图2，点N即为所求．
【点评】此题主要考查平行四边形与相似三角形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的特点．
◆变式训练
（2020年四川省达州市）如图，点O在的边上，以为半径作，的平分线交于点D，过点D作于点E．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断与交点的个数，并说明理由．
【考点】切线的判定,作图—复杂作图
【分析】（1）根据已知圆心和半径作圆、作已知角的平分线、过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图的步骤作图即可；
（2）连接OD，由OB=OD，得到∠1=∠2，再由角平分线得出∠1=∠3，等量代换进而证出OD∥BA，根据两直线平行同旁内角互补，得到∠ODE=90°，由此得出OD是的切线，即与有1个交点.
解：（1）如下图，补全图形：
（2）如下图，连接OD，
∵点D在上，
∴OB=OD，
∴∠1=∠2，
又∵BM平分，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥BA，
∴∠ODE+∠BED=180°，
∵
∴∠ODE=90°，
∴ED是的切线，
∴与有1个交点.
【点评】本题考查尺规作图、圆的切线的判定，熟练掌握尺规作图的步骤及圆的切线的判定定理是解题的关键.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（2020年内蒙古通辽市）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】三角形的外心，作图—基本作图
【分析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．
（2020年吉林省长春市）如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】作图基本作图，线段的垂直平分线的性质
【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．
解：由作图可知，垂直平分线段，
，，
，，
，
，
，
，
故选项A，B，D正确，
故选：C．
【点评】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（2020年广西北部湾经济区）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义和作法
【分析】先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BCA，进而求得∠ACD，由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，利用角平分线定义求解即可．
解：∵在中，，
∴，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，
由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义和作法，熟练掌握等腰三角形的性质以及角平分线的尺规作图法是解答的关键．
（2020年浙江省嘉兴、舟山市
）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：
①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；
②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；
③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．
则⊙O的半径为（　　）
A．2
B．10
C．4
D．5
【考点】作图—复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理
【分析】如图，设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：如图，设OA交BC于T．
∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，
∴AO⊥BC，BT＝TC＝4，
∴AE＝，
在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5，
故选：D．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（2020年辽宁省丹东市）如图，在四边形中，，，，，分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，直线与延长线交于点，连接，则的内切圆半径是（
）
A．4
B．
C．2
D．
【考点】线段垂直平分线定理，等边三角形的判定，等边三角形内切圆半径的求法，解直角三角形
【分析】分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，连接P，Q则PQ为BC的垂直平分线，可得EB=EC，又∠B=60°，所以△EBC为等边三角形，作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，则M在直线PQ上，连接BM，过M作BC垂线垂足为H，在Rt△BMH中，BH=BC=AD=，∠MBH=∠B=30°，通过解直角三角形可得出MH的值即为△BCE的内切圆半径的长．
解：有题意得PQ为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∵∠B=60°，
∴△EBC为等边三角形，
作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，
∴M在直线PQ上，
连接BM，过M作MH垂直BC于H，垂足为H，
∵
∴BH=BC=AD=
，
∵∠MBH=∠B=30°，
∴在Rt△BMH中,MH=BH×tan30°=×=4．
∴的内切圆半径是4．
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线定理，等边三角形的判定，等边三角形内切圆半径的求法，解直角三角形，解题关键在于理解题意，运用正确的方法求三角形内切圆半径．
（2020年江苏省扬州市）如图，在中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线BF交AC于点G．
如果，，的面积为18，则的面积为________．
【考点】角平分线的性质，三角形面积公式
【分析】由作图步骤可知BG为∠ABC的角平分线，过G作GH⊥BC,GM⊥AB，可得GM=GH
,然后再结合已知条件和三角形的面积公式求得GH，最后运用三角形的面积公式解答即可．
解：由作图作法可知：BG为∠ABC的角平分线
过G作GH⊥BC,GM⊥AB
∴GM=GH
∴,
故答案为27．
【点评】本题考查了角平分线定理和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活应用角平分线定理是解答本题的关键．
（2020年广东省）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________．
【考点】线段垂直平分线的性质,菱形的性质,作图—基本作图
【分析】根据题意知虚线为线段AB的垂直平分线，得AE=BE，得；结合°，，可计算的度数．
解：
∵
∴
∴
故答案为：45°．
【点评】本题考查了菱形的性质，及垂直平分线的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
（2020年湖北省荆州市）已知：，求作的外接圆，作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画弧，如图⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据是___________________．
【考点】线段垂直平分线的性质，三角形的外接圆与外心，作图—复杂作图
【分析】利用线段垂直平分线的性质得到OA=OC=OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．
解：如图，连接，
∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，
∴OA=OC=OB，
∴⊙O为的外接圆．
故答案为：线段的垂直平分线的性质．
【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．考查线段的垂直平分线的性质，确定圆的条件，掌握作图的原理是解题的关键．
（2020年湖南省邵阳市）如图，线段，用尺规作图法按如下步骤作图．
（1）过点B作的垂线，并在垂线上取；
（2）连接，以点C为圆心，为半径画弧，交于点E；
（3）以点A为圆心，为半径画弧，交于点D．即点D为线段的黄金分割点．
则线段的长度约为___________（结果保留两位小数，参考数据：）
【考点】近似数和有效数字,勾股定理,作图—复杂作图
【分析】根据作图得△ABC为直角三角形，，AE=AD,
根据勾股定理求出AC，再求出AE，即可求出AD．
解：由作图得△ABC为直角三角形，，AE=AD,
∴cm，
∴cm，
∴cm．
故答案为：6.18
【点评】本题考查了尺规作图，勾股定理等知识，根据作图步骤得到相关已知条件是解题关键．
（2020年江苏省盐城）如图，点是正方形，的中心．
（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接求证：．
【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，作图—基本作图
【分析】（1）作BC的垂直平分线即可求解；
（2）根据题意证明即可求解．
解：如图所示，点即为所求．
连接
由得：
是正方形中心，
在和中，
．
【点评】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等三角形的判定与性质．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
1、
选择题
（2020年广西柳州市）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（
）
A．B．C．D．
【考点】作图﹣复杂作图
【分析】作线段的垂直平分线可得线段的中点．
解：作线段的垂直平分线可得线段的中点．
由此可知：选项A符合条件，
故选A．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
（2020年广西河池市）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（　　）
A．B．C．
D．
【考点】三角形一边的中线的作法
【分析】根据题意，CD为△ABC的边AB上的中线，就是作AB边的垂直平分线，交AB于点D，点D即为线段AB的中点，连接CD即可判断．
解：作AB边的垂直平分线，交AB于点D，连接CD，
∴点D即为线段AB的中点，
∴CD为△ABC的边AB上的中线．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形一边的中线的作法；作该边的中垂线，找出该边的中点是解题关键．
（2020年广东省深圳市）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【考点】等腰三角形的性质,作图—尺规作图的定义
【分析】根据尺规作图的方法步骤判断即可．
解：由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，
而AB=AC，
由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，
BD=3，
故选B
【点评】本题考查尺规作图-角平分线及三线合一的性质,关键在于牢记尺规作图的方法和三线合一的性质.
（2020年湖北省襄阳市）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】全等三角形的判定与性质，作图—基本作图
【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解．
解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，
在△AED和△ABD中：
∵，
∴△AED≌△ABD(AAS)，
∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确，
又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C，
∴∠EDC=∠BAC，选项C正确，
选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误．
故选：D.
【点评】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键．
（2020年四川省成都市）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
【考点】线段垂直平分线的性质
【分析】由作图可知，
M
N是线段BC的垂直平分线，据此可得解．
解：由作图可知，
M
N是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD=AC-AD=6-2=4，
故选：C
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，灵活的利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这一性质添加辅助线是解题的关键．
（2020年浙江省衢州市）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】作图-复杂作图，平行线的判定
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
解：A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．
B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．
C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，
D、无法判断两直线平行，
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
（2020年河北省）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（
）
A．，均无限制
B．，的长
C．有最小限制，无限制
D．，的长
【考点】作图—基本作图
【分析】根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论．
解：第一步：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；
∴；
第二步：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
∴的长；
第三步：画射线．射线即为所求．
综上，答案为：；的长，
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
（2020年河南省）如图，在中，，分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接则四边形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】等边三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形,勾股定理,作图—基本作图
【分析】连接BD交AC于O，由已知得△ACD为等边三角形且BD是AC的垂直平分线，然后解直角三角形解得AC、BO、BD的值，进而代入三角形面积公式即可求解．
解：连接BD交AC于O，
由作图过程知，AD=AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠DAC=60?，
∵AB=BC,AD=CD，
∴BD垂直平分AC即：BD⊥AC，AO=OC，
在Rt△AOB中，
∴BO=AB·sin30?=，
AO=AB·cos30?=，AC=2AO=3，
在Rt△AOD中，AD=AC=3,∠DAC=60?，
∴DO=AD·sin60?=，
∴=，
故选：D．
【点评】本题考查了作图-基本作图、等边三角形的判定与性质、垂直平分线、解直角三角形、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知道解决问题，属于中考常考题型．
（2020年贵州省贵阳、安顺市）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（
）
A．无法确定
B．
C．1
D．2
【考点】尺规作图，角平分线的性质
【分析】当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1．
解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，
根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，
∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，
故答案为：C．
【点评】本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理．
（2020年湖南省湘西州）已知，作的平分线，在射线上截取线段，分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线，分别交于D，交于G．那么，一定是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
【考点】等腰三角形的判定,作图—基本作图
【分析】根据题意知EF垂直平分OC，由此证明△OMD≌△ONG，即可得到OD=OG得到答案.
解：如图，连接CD、CG，
∵分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F
∴EF垂直平分OC，
设EF交OC于点N，
∴∠ONE=∠ONF=90°，
∵OM平分，
∴∠NOD=∠NOG，
又∵ON=ON，
∴△OMD≌△ONG，
∴OD=OG，
∴△ODG是等腰三角形，
故选：C.
【点睛】此题考查基本作图能力：角平分线的做法及线段垂直平分线的做法，还考查了全等三角形的判定定理及性质定理，由此解答问题，根据题意得到EF垂直平分OC是解题的关键.
1、
填空题
（2020年山东省潍坊市）如图，在中，，，垂直平分，垂足为Q，交于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线．若与的夹角为，则________°．
【考点】角平分线的定义，线段垂直平分线的性质
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC=70°，由角平分线的定义得∠2=35°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠1+∠2=90°，从而可得∠1=55°，最后根据对顶角相等求出．
解：如图，
∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，
，
，
，
∵是的平分线，
，
是的垂直平分线，
是直角三角形，
，
，
∵∠α与∠1是对顶角，
．
故答案为：55°．
【点评】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．
（2020年西藏）如图，已知平行四边形ABCD，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAB的内部相交于点G，画射线AG交DC于H．若∠B＝140°，则∠DHA＝_____．
【考点】作图-基本作图，平行四边形的性质
【分析】先利用平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，则利用平行线的性质可计算出∠BAD＝40°，再由作法得AH平分∠BAD，所以∠BAD＝∠BAD＝20°，然后根据平行线的性质得到∠DHA的度数．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣140°＝40°，
由作法得AH平分∠BAD，
∴∠BAH＝∠DAH，
∴∠BAD＝∠BAD＝20°，
∵AB∥CD，
∴∠DHA＝∠BAH＝20°．
故答案为20°．
【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．
（2020年海南省）如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交边于点，连接，则的周长为________．
【考点】线段垂直平分线的性质,作图—基本作图
【分析】由题意可得MN为AB的垂直平分线，所以AD=BD，进一步可以求出的周长.
解：∵在中，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，交BC边于D，连接AD；
∴MN为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴的周长为：AD+DC+AC=BC+AC=13；
故答案为13.
【点评】本题主要考查的是垂直平分线的运用，掌握定义及相关方法即可.
（2020年辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市）如图，在中，，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若，则的长为_________．
【考点】一元二次方程的应用，线段垂直平分线的性质，勾股定理，作图—基本作图
【分析】由题意可得：直线MN是AB的垂直平分线，从而有EA=EB，然后设BE=AE=x，则可用含x的代数式表示出BC，于是在Rt△BCE中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求出结果．
解：由题意可得：直线MN是AB的垂直平分线，∴EA=EB，
设BE=AE=x，则AC=x+3，
∵AC=2BC，
∴，
在Rt△BCE中，由勾股定理，得，
即，解得：（舍去），
∴BE=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质、勾股定理和一元二次方程的解法等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、灵活应用方程思想是解题关键．
（2020年天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，点B在网格线上，且．
（Ⅰ）线段的长等于___________；
（Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点D，若分别为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_______．
【考点】勾股定理,作图—应用与设计作图,轴对称-最短路线问题
【分析】（1）将AC放在一个直角三角形，运用勾股定理求解；
（2）取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．
解：（Ⅰ）如图，在Rt△AEC中，CE=3,AE=2,则由勾股定理，得AC==；
（Ⅱ）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．
【点评】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，轴对称-最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
（2020年宁夏）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，此时射线恰好经过点D，则_____度．
【考点】作图-复杂作图
【分析】由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们的性质可得，再根据三角形内角和定理即可得解．
解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，
∴AD=BD，
∴
∴
∵，且，
∴，即，
∴．
故答案为：32．
【点评】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．
（2020年新疆）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点P．若点C的坐标为()，则a的值为________．
【考点】角平分线的性质以及坐标点的性质
【分析】由题意根据角平分线的性质及第一象限内点的坐标特点进行分析计算即可得出答案．
解：∵由题意可知，点C在∠AOB的平分线上，
∴，解得．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查角平分线的性质以及坐标点的性质，熟练掌握并利用角平分线的作法得出C点坐标性质是解题的关键．
（2020年贵州省毕节市）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，sinC=，以点A为圆心，AB长为半径作弧交AC于M，分别以B、M为圆心，以大于BM长为半径作弧，两弧相交于点N，射线AN与BC相交于D，则AD的长为_____．
【考点】基本作图，相似三角形的判定与性质
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，设AE=DE=AF=DF=x，则BE=6﹣x，CF=8﹣x，依据∠B=∠FDC，∠BDE=∠C，可得△BDE∽△DCF，依据相似三角形对应边成比例，即可得到AE的长，进而得出AD的长．
解：如图，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由题可得：AD平分∠BAC，∠BAC=90°，∴四边形AEDF是正方形，∴DE=DF，∠BAD=45°=∠ADE，∴AE=DE=AF=DF．
∵∠BAC=90°，AB=6，sinC，∴BC=10，AC=8，设AE=DE=AF=DF=x，则BE=6﹣x，CF=8﹣x．
∵∠B=∠FDC，∠BDE=∠C，
∴△BDE∽△DCF，
∴，即，
解得：x，
∴AE，
∴Rt△ADE中，ADAE．
故答案为．
【点评】本题考查了基本作图以及相似三角形的判定与性质，正确运用相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．
1、
解答题
（2020年江西省）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作关于点对称的；
（2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的．
【考点】勾股定理，作图-轴对称变换，作图-旋转变换
【分析】（1）分别作出A，B，C三点关于O点对称的点，，，然后顺次连接即可得；
（2）计算得出AB=，AC=5，再根据旋转作图即可．
解：（1）如图1所示；
（2）根据勾股定理可计算出AB=，AC=5，再作图，如图2所示．
【点评】本题考查复杂作图-应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（2020年内蒙古赤峰市）小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力.爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等.
（1）请你在图1中画出一种分法(无需尺规作图)；
（2）如图2，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的直线，(不写作法，保留作图痕迹)
【考点】尺规作图—作中垂线
【分析】（1）顺着正方形蛋糕的对角线切出两刀，即可把蛋糕和巧克力均分成四份；
（2）要将正方形蛋糕均分成四份，第一刀必须保证过蛋糕的中心，第二刀为第一刀的中垂线即可，保留尺规作图中垂线的痕迹．
解：（1）如下图所示，顺着正方形蛋糕的对角线切出两刀，即可把蛋糕和巧克力均分成四份：
（2）要将正方形蛋糕均分成四份，第一刀必须保证过蛋糕的中心，第二刀为第一刀的中垂线即可，如下图所示，设第一刀与蛋糕边线的交点为A、B，分别以A、B为圆心，任一半径（比AB的一半长即可），画圆弧，圆弧交点的连线即为第二刀：
【点评】本题主要考察了尺规作图—作中垂线，以线段的端点为圆心，做两个半径相等的圆（半径大于线段长度的一半），圆弧交点的连线即为中垂线．
（2020年吉林省长春市）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画．
要求：
（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；
（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；
（3）点在格点上．
【考点】三角形的面积,作图—应用与设计作图
【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等．
解：经计算可得下图中：图①面积为；图②面积为1；图③面积为，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）．
故本题答案如下：
【点评】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可．
（2020年江苏省无锡市）如图，已知是锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边、相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，则的半径为________．
【考点】尺规作图，切线的性质
【分析】（1）由题意知直线为线段BC的垂直平分线，若圆心在线段上，且与边、相切，则再作出的角平分线，与MN的交点即为圆心O；
（2）过点作，垂足为，根据即可求解．
解：（1）①先作的垂直平分线：分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，连接两个交点即为直线l，分别交、于、；
②再作的角平分线：以点B为圆心，任意长为半径作圆弧，与的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点B，即为的角平分线，这条角平分线与线段MN的交点即为；
③以为圆心，为半径画圆，圆即为所求；
（2）过点作，垂足为，设
∵，，∴，∴
根据面积法，∴
∴，解得，
故答案为：．
【点评】本题考查了尺规作图，切线的性质等内容，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图．
（2020年江苏省泰州市）如图，已知线段，点在平面直角坐标系内，
（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点，使点到两坐标轴的距离相等，且与点的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，点的坐标为，求点的坐标．
【考点】两点间的距离公式，勾股定理，作图—基本作图
【分析】（1）作第一象限的平分线OM，再以点A为圆心，a为半径画弧，交OM于点P即可；
（2）根据题意，设点P（t，t），再根据两点之间的距离公式列出方程即可解答．
解：（1）如图所示，作第一象限的平分线OM，再以点A为圆心，a为半径画弧，交OM于点P，则点P为所求；
（2）∵点P到两坐标轴的距离相等，且在第一象限，
∴设点P（t，t），
则AP=，
解得：t=5或t=-1（舍去），
∴P（5,5）．
【点评】本题考查了尺规作图以及两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意，明确如何作图能满足题意．
（2020年福建省）如图，为线段外一点．
（1）求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形中，，相交于点，，的中点分别为，求证：三点在同一条直线上．
【考点】平行线的判定与性质,作图—复杂作图,相似三角形的判定与性质
【分析】（1）按要求进行尺规作图即可；
(2)通过证明角度之间的大小关系，得到，即可说明三点在同一条直线上．
解：（1）
则四边形就是所求作的四边形．
（2）∵，∴，，
∴，∴．
∵分别为，的中点，
∴，，∴．
连接，，又∵，
∴，∴，
∵点在上∴，∴，
∴三点在同一条直线上．
【点评】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、相似三角形的性质与判定等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想．
（2020年北京市）已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=BC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP=
．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC=∠BAC（
）（填推理依据）
∴∠ABP=∠BAC
【考点】作图-复杂作图，平行线的性质，圆周角定理
【分析】（1）按照作法的提示，逐步作图即可；
（2）利用平行线的性质证明：
再利用圆的性质得到：∠BPC=∠BAC，从而可得答案．
解：（1）依据作图提示作图如下：
（2）证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP=
．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC=∠BAC（在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
）（填推理依据）
∴∠ABP=∠BAC
故答案为：∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
【点评】本题考查的是作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．掌握以上知识是解题的关键．
（2020年陕西省）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
【考点】作图—基本作图
【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°即可．
解：如图，点P即为所求．
作法：（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧交AC于D，交BC于E，
（2）以点B为圆心，以CD长为半径画弧，交BC于F，
（3）以点F为圆心，以DE长为半径画弧，交前弧于点M，
（3）连接BM，并延长BM与AC交于点P，则点P即为所求．
【点评】本题考查了作图——基本作图．解决本题的关键是掌握基本作图方法．
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）如图，在中，是边上一点，且．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
①作的角平分线交于点；
②作线段的垂直平分线交于点．
（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系．
【考点】平分线与垂直平分线的尺规作图，同时考查了三角形的中位线
【分析】（1）①根据角平分线的作图方法直接作图即可；②根据垂直平分线的作图方法直接作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质与垂直平分线的定义证明是的中位线，根据中位线的性质可得答案．
解：（1）如图，①即为所求作的的角平分线，
②过的垂线是所求作的线段的垂直平分线．
（2）如图，连接，
平分
由作图可知：
是的中位线，
【点评】本题考查的是角平分线与垂直平分线的尺规作图，同时考查了三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
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4第四章
图形的性质第31节
尺规作图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1．网格作图：利用平移、旋转、轴对称、中心对称、位似在网格中作图称为网格作图
■考点2．尺规作图
(1)尺规作图的定义：
在几何里把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称为基本作图．
(2)五种基本尺规作图：①作一条线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)段等于已知线段；②作一个角等于已知角：③作一个角的角平分线：④作线段的垂直平分线：⑤经过一点作已知直线的垂线．
(3)尺规作图的步骤：
①已知：写出已知的线段和角，画出图形：
②求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化：
③作法：应用五种基本作图，叙述时不需要重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹：
④证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，根据有关的定义、定理等并结合作法证明所作图形完全符合题设条件，
⑤对所作图形下结论．
(4)作三角形：①已知三边作三角形；②已知两边及其夹角作三角形：③已知两角及其夹边作三角形：④已知底边及底边上的高作等腰三角形．
(5)探究如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1．网格作图
◇典例：
（2020年广西桂林市）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1；
（2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2；
（3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　
　，　
　）中心对称．
【考点】作图-平移变换,作图-旋转变换
【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1；
（2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2；
（3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标．
解：（1）如图所示，分别确定平移后的对应点，
得到A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，分别确定旋转后的对应点，
得到A2B2C2即为所求；
（3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称．
故答案为：﹣2，0．
【点评】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键．
◆变式训练
（2020年黑龙江省绥化市）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点；
（2）连接，将线段绕点顺时针旋转90°得点B对应点，画出旋转后的线段；
（3）连接，求出四边形的面积．
■考点2
尺规作图
◇典例
（2020年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）在平行四边形中，E为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图1，在上找出一点M，使点M是的中点；
（2）如图2，在上找出一点N，使点N是的一个三等分点．
【考点】平行四边形的性质，作图—复杂作图，相似三角形的性质
【分析】（1）连接对角线AC,BD，再连接E与对角线的交点，与BC的交点即为M点；
（2）连接CE交BD即为N点，根据相似三角形的性质可得,于是DN=BD．
解：（1）如图1，点M即为所求；
（2）如图2，点N即为所求．
【点评】此题主要考查平行四边形与相似三角形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的特点．
◆变式训练
（2020年四川省达州市）如图，点O在的边上，以为半径作，的平分线交于点D，过点D作于点E．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断与交点的个数，并说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（2020年内蒙古通辽市）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年吉林省长春市）如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年广西北部湾经济区）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年浙江省嘉兴、舟山市
）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：
①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；
②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；
③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．
则⊙O的半径为（　　）
A．2
B．10
C．4
D．5
（2020年辽宁省丹东市）如图，在四边形中，，，，，分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，直线与延长线交于点，连接，则的内切圆半径是（
）
A．4
B．
C．2
D．
（2020年江苏省扬州市）如图，在中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线BF交AC于点G．
如果，，的面积为18，则的面积为________．
（2020年广东省）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________．
（2020年湖北省荆州市）已知：，求作的外接圆，作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画弧，如图⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据是___________________．
（2020年湖南省邵阳市）如图，线段，用尺规作图法按如下步骤作图．
（1）过点B作的垂线，并在垂线上取；
（2）连接，以点C为圆心，为半径画弧，交于点E；
（3）以点A为圆心，为半径画弧，交于点D．即点D为线段的黄金分割点．
则线段的长度约为___________（结果保留两位小数，参考数据：）
（2020年江苏省盐城）如图，点是正方形，的中心．
（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
1、
选择题
（2020年广西柳州市）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（
）
A．B．C．D．
（2020年广西河池市）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（　　）
A．B．C．
D．
（2020年广东省深圳市）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
（2020年湖北省襄阳市）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省成都市）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
（2020年浙江省衢州市）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年河北省）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（
）
A．，均无限制
B．，的长
C．有最小限制，无限制
D．，的长
（2020年河南省）如图，在中，，分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接则四边形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年贵州省贵阳、安顺市）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（
）
A．无法确定
B．
C．1
D．2
（2020年湖南省湘西州）已知，作的平分线，在射线上截取线段，分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线，分别交于D，交于G．那么，一定是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
1、
填空题
（2020年山东省潍坊市）如图，在中，，，垂直平分，垂足为Q，交于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线．若与的夹角为，则________°．
（2020年西藏）如图，已知平行四边形ABCD，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAB的内部相交于点G，画射线AG交DC于H．若∠B＝140°，则∠DHA＝_____．
（2020年海南省）如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交边于点，连接，则的周长为________．
（2020年辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市）如图，在中，，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若，则的长为_________．
（2020年天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，点B在网格线上，且．
（Ⅰ）线段的长等于___________；
（Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点D，若分别为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_______．
（2020年宁夏）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，此时射线恰好经过点D，则_____度．
（2020年新疆）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点P．若点C的坐标为()，则a的值为________．
（2020年贵州省毕节市）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，sinC=，以点A为圆心，AB长为半径作弧交AC于M，分别以B、M为圆心，以大于BM长为半径作弧，两弧相交于点N，射线AN与BC相交于D，则AD的长为_____．
1、
解答题
（2020年江西省）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作关于点对称的；
（2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的．
（2020年内蒙古赤峰市）小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力.爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等.
（1）请你在图1中画出一种分法(无需尺规作图)；
（2）如图2，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的直线，(不写作法，保留作图痕迹)
（2020年吉林省长春市）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画．
要求：
（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；
（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；
（3）点在格点上．
（2020年江苏省无锡市）如图，已知是锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边、相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，则的半径为________．
（2020年江苏省泰州市）如图，已知线段，点在平面直角坐标系内，
（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点，使点到两坐标轴的距离相等，且与点的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，点的坐标为，求点的坐标．
（2020年福建省）如图，为线段外一点．
（1）求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形中，，相交于点，，的中点分别为，求证：三点在同一条直线上．
（2020年北京市）已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=BC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP=
．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC=∠BAC（
）（填推理依据）
∴∠ABP=∠BAC
（2020年陕西省）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）如图，在中，是边上一点，且．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
①作的角平分线交于点；
②作线段的垂直平分线交于点．
（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系．
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17

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