资源简介

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
专题十三
圆
（二）
【学习目标】
了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；
2．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
3．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；
4．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
　　　　　　　
要点一、与圆有关的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上
　　设⊙O的半径为，OP=，则有
　　点P在⊙O
外；　点P在⊙O
上；点P在⊙O
内.
要点诠释：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
2．判定几个点在同一个圆上的方法
　　当时，在⊙O
上.
3．直线和圆的位置关系
　　设⊙O
半径为R，点O到直线的距离为.
　　(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.
　　(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.
　　(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.
4．切线的判定、性质
　　(1)切线的判定：
　　
　①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
　　
　②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
　　(2)切线的性质：
　　
　①圆的切线垂直于过切点的半径.
　　
　②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
　　
　③经过切点作切线的垂线经过圆心.
　　(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
　　(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
5．圆和圆的位置关系
　　设的半径为，圆心距.
　　(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离
　　
　.
　　(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含
　　(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.
　　(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.
　　(5)和有两个公共点相交.
要点二、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心、重心、垂心
　　(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
　　(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
　　(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.
　　(4)垂心：是三角形三边高线的交点.
要点诠释：
　　(1)
任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
　　(2)
解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
　　(3)
三角形的外心与内心的区别：
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.
2．圆内接四边形和外切四边形
　　(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
　　(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
要点三、圆中有关计算
1．圆中有关计算
　　圆的面积公式：，周长.
　　圆心角为、半径为R的弧长.
　　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.
　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
　　圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.
　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
要点诠释：
　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
专题十三
圆
（二）专项训练
一、单选题
1.用半径为6的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于
A.?3???????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【考点】弧长的计算，圆锥的计算
【解析】【分析】∵半径为6的半圆围成一个圆锥的侧面，∴扇形的弧长为。
∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，∴根据圆的周长公式，得
，
解得。
故选A。
2.若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（??
）
A.?18°??????????????????????????????????????B.?36°??????????????????????????????????????C.?72°??????????????????????????????????????D.?144°
【答案】
D
【考点】弧长的计算
【解析】【解答】设圆心角是a,由题意得，2πR=ar,
?2π
解得a=144°.
故答案为：D.
【分析】先计算小圆周长，再根据等量关系得到大圆的圆心角即可。
3.如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（
）
A.?DE=DO?????????????????????????????B.?AB=AC?????????????????????????????C.?CD=DB?????????????????????????????D.?AC∥OD
【答案】
A
【考点】圆周角定理，切线的判定
【解析】【解答】当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
所以B正确．
当CD=BD时，AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线．
所以C正确．
当AC∥OD时，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线．
所以D正确．
故选A．
【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线．
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线．
根据AC∥OD，AC⊥DE，得到∠EDO=90°，可以证明DE是⊙O的切线．本题考查的是切线的判断，利用条件判断DE是⊙O的切线，确定正确选项．
4.某品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O直径）为10cm，弧AB的度数约为90°，则弓形铁片ACB（阴影部分）的面积约为（???
）
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
【答案】
A
【考点】等腰三角形的性质，垂径定理，扇形面积的计算
【解析】【解答】解
：连接OA,OB,过点O作OD垂直于AB于点D，∴AB=2BD,∠BOD=∠AOD=45°,在Rt△AOD中，∠AOD=45°OA=5cm,∴AD=OD=
，
∴S阴影=S扇形AOB-S△AOB=cm2
故答案为：cm2
【分析】连接OA,OB,过点O作OD垂直于AB于点D，根据垂径定理及等腰三角形的三线合一得出AB=2BD，∠BOD=∠AOD=45°,利用等腰直角三角形的边之间的关系得出AD,OD的长，再由S阴影=S扇形AOB-S△AOB即可得出答案。
5.已知一弧的半径为3，弧长为
，
则此弧所对的圆心角为（
?
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【考点】圆心角、弧、弦的关系，弧长的计算
【解析】【分析】根据弧长的公式
，
代入计算即可．
【解答】∵弧长的公式
，
∴弧长的公式
，
解得，n=120，
故选C．
【点评】本题考查了弧长的公式计算，是基础知识比较简单．
6.如图，在半径2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为（??
）
A.?π????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?2π????????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【考点】勾股定理，扇形面积的计算
【解析】【解答】连结BC，设扇形的圆心为A点，
∵∠BAC=90°，
∴BC为直径，
∴BC=4，
在Rt△BAC中，由AB=AC，
由勾股定理AB=AC=
，
∴S扇形BAC=
.
故答案为：C.
【分析】利用圆的半径，和90度的扇形，构造等腰直角三角形ABC，求出AB，利用扇形面积公式求扇形面积即可.
7.如图，半径为2的两个等圆⊙O1与⊙O2外切于点P，过O1作⊙O2的两条切线，切点分别为A，B，与⊙O1分别交于C，D，则
与
的弧长之和为（?
）
【答案】
A
【考点】切线的性质，弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OB
∵O1A和O1B与⊙O2相切
∴∠O1AO2=∠O1BO2=90°
∴∠AO1B＋∠AO2B=360°－（∠O1AO2＋∠O1BO2）=180°
∴
与
的弧长之和为
=
=
=
故答案为：A.
二、填空题
8.已知扇形的弧长为4π，半径为24，则此扇形的圆心角为________度．
【答案】
30
【考点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设此扇形的圆心角为n°，
则
，
解得：n=30，
故答案为：30．
【分析】设此扇形的圆心角为n°，根据弧长公式列式计算即可．
9.如图，直线AB与⊙O切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA=30°，则AB的长为________.
【答案】
【考点】含30°角的直角三角形，勾股定理，切线的性质
【解析】【解答】解：∵直线AB与⊙O切于点A，
∴∠OAB=90°
在Rt△OAB中，∠OBA=30°，半径OA=2
∴OB=2OA=4
∴AB=
故答案为：
.
【分析】根据切线的性质可得∠OAB=90°，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出OB，利用勾股定理即可求出结论.
10.如图，一个半径为
，面积为
的扇形纸片，若添加一个半径为R的圆形纸片，使得两张纸片恰好能组合成一个圆锥体，则添加的圆形纸片的半径R为________cm．
【答案】
2
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的弧长=2×12π÷6=4π，
∴圆锥的底面半径=4π÷2π=2cm，
故答案为2．
【分析】能组合成圆锥体，那么扇形的弧长等于圆形纸片的周长．应先利用扇形的面积=圆锥的弧长×母线长÷2，得到圆锥的弧长=2扇形的面积÷母线长，进而根据圆锥的底面半径=圆锥的弧长÷2π求解．
11.如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于M、N两点，⊙O的半径为2，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动时间________秒时，直线MN恰好与圆相切．
【答案】4﹣2
或4+2
【考点】直线与圆的位置关系，平移的性质
【解析】【解答】解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点M，交y轴于点N，如图所示．
设直线MN的解析式为y=x+b，即x﹣y+b=0，
∵MN与⊙O相切，且⊙O的半径为2，
∴
=
|b|=2，
解得：b=2
或b=﹣2
，
∴直线MN的解析式为y=x+2
或y=x﹣2
，
∴点M的坐标为（2
，0）或（﹣2
，0）．
令y=x﹣4中y=0，则x=4，
∴点M（4，0）．
∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，
∴移动的时间为4﹣2
秒或4+2
秒．
故答案为：4﹣2
或4+2
．
【分析】作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点M，交y轴于点N，设直线MN的解析式为y=x+b，由⊙O与直线MN相切依据点到直线的距离即可得出关于b的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可求b值，从而得出点E的坐标，根据运动的相对性，即可得出结论．
12.如图，在矩形ABCD中，AB=
，AD=1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是________．
【答案】
﹣
【考点】矩形的性质，扇形面积的计算，旋转的性质
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=
，AD=1，
∴tan∠CAB=
=
，AB=CD=
，AD=BC=1，
∴∠CAB=30°，
∴∠BAB′=30°，
∴S△AB′C′=
×1×
=
，
S扇形BAB′=
=
，
S阴影=S△AB′C′﹣S扇形BAB′=
﹣
．
故答案为：
﹣
．
【分析】首先根据题意利用锐角三角函数关系得出旋转角的度数，进而求出S△AB′C′
，
S扇形BAB′
，
即可得出阴影部分面积．
13.如图，正方形
和正
都内接于半径为1的
，
与
、
分别相交于点
、
，则
的长为________.
【答案】
1
【考点】正多边形和圆
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，
，
已知⊙O的半径是1，
则OF=1，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF=60°÷2=30°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴∠COF=30°+30°=60°，
∴OI=
，CI=
，
∴
，
BD=2，
故GH=1.
【分析】已知⊙O的半径是1，则OF=1，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出EF：GH的值是多少即可求GH.
三、解答题
14.如图，AB与⊙O相切于点B，AO及AO的延长线分别交⊙O于D、C两点，若∠A=40°，求∠C的度数.
【答案】
解：如图，连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
∵∠A=40°，
∴∠BOA=50°，
又∵OC=OB，
∴∠C=
∠BOA=25°.
【考点】切线的性质
【解析】【分析】连接OB，利用切线的性质OB⊥AB，进而可得∠BOA=50°，再利用外角等于不相邻两内角的和，即可求得∠C的度数.
15.将一个边长为a的正方形纸片卷起来，恰好可以围住一个圆柱的侧面；又在这个正方形纸片上剪下最大的一个扇形，卷起来，恰好可以围住一个圆锥的侧面，那么该圆柱和圆锥两者的底面半径之比为多少？（如果保留π）
【答案】
解：设圆柱的底面圆的半径为R，则2πR=a，解得
，
设圆锥的底面圆的半径为r，
，解得
，
所以
，
即该圆柱和圆锥两者的底面半径之比为
．
【考点】圆锥的计算，圆柱的计算
【解析】【分析】
设圆柱的底面圆的半径为R，
利用圆柱的底面周长等于a，就可求出R，
设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的底面圆的周长等于展开扇形的弧长，就可求出r的值，然后求出R与r的比值。
16.如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
【答案】
解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA=CE，
同理DE=DB，PA=PB，
∴三角形PDE的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12，
即PA的长为6；
（2）∵∠P=60°，
∴∠PCE+∠PDE=120°，
∴∠ACD+∠CDB=360°﹣120°=240°，
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE=∠OCA=∠ACD；
同理：∠ODE=∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE=（∠ACD+∠CDB）=120°，
∴∠COD=180﹣120°=60°．
【考点】切线的性质
【解析】【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB的结论，即可求出PA的长；
（2）根据三角形的内角和求出∠ADC和∠BEC的度数和，然后根据切线长定理，得出∠EDO和∠DEO的度数和，再根据三角形的内角和求出∠DOE的度数．
17.如图1，点I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆⊙O于点D．
（1）求证：DB=DC=DI；
（2）若AB是⊙O的直径，OI⊥AD，求tan的值．
【答案】
（1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴ID=BD，
∵∠BAD=∠CAD，
∴
，
∴CD=BD，
∴DB=DC=DI；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AD，OI⊥AD，
∴OI∥BD，
∵OA=OB，
∴AI=DI，
由（1）知ID=BD，
∴AD=2BD，BD=2OI，
设OI=x，则BD=AI=2x，AD=4x，
∴AB==2x，
如图2，过O作OE⊥BD交⊙O于E，连接AE交OI于F，则OE∥AI，
∴
，
即
，
∴IF=x，
∵OE⊥BD，
∴
，
∴∠DAE=∠BAD=∠CAD，
∴tan∠DAE=tan==﹣2．
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）要证明ID=BD=DC，只要求得∠BID=∠IBD，再根据角平分线的性质即可得到结论；
（2）由AB是⊙O的直径，得到BD⊥AD，由于OI⊥AD，得到OI∥BD，于是求得AD=2BD，BD=2OI，设OI=x，则BD=AI=2x，AD=4x，得到AB==2x，如图2，过O作OE⊥BD交⊙O于E，连接AE交OI于F，则OE∥AI，得到比例式代入求得IF=x，即可得到结果．
18.如图，△ABC的周长为24，面积为24，求它的内切圆的半径．
【答案】
解：连结OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，
设它的内切圆的半径为r，则OD=OE=OF=r，
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC
，
∴?r?AB+?r?BC+?r?AC=24，
∴r（AB+BC+AC）=24，
∴r?24=24，
∴r=2．
即它的内切圆的半径为2．
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】连结OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，根据切线的性质得OD=OE=OF=r，则利用S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC得到?r?AB+?r?BC+?r?AC=24，变形得到r（AB+BC+AC）=24，然后把周长为24代入计算即可得到r的值．
19.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，半径OD⊥AC于点E，过点D的切线与BA延长线交于点F．
（1）求证：∠CDB=∠BFD；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．
【答案】
解：（1）∵DF与⊙O相切，
∴DF⊥OD，
∵OD⊥AC，
∴DF∥AC，
∴∠CAB=∠BFD，
∴∠CAB=∠BFD，
∴∠CDB=∠BFD；
（2）∵半径OD垂直于弦AC于点E，AC=8，
∴AE=AC=
．
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OD=AB=
，
在Rt△AEO中，OE===3，
∵AC∥DF，
∴△OAE∽△OFD．
∴
，
∴=
，
∴DF=
．
【考点】切线的性质
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到DF⊥OD，由于OD⊥AC，推出DF∥AC，根据平行线的性质得到∠CAB=∠BFD，于是得到结论；
（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．
四、综合题（
20.如图，
中，
，
.动点
从点
出发，在
边上以每秒1cm的速度向终点
匀速运动，同时动点
从点
出发，沿
以每秒
的速度向终点
匀速运动，连接
，设运动时间为
（秒）.
（1）当
秒时，则
的面积
________
；（直接写出答案）
（2）以
为直径作圆
，在点
，
的运动过程中，当圆
与
的一边所在直线相切时，求
的值.
【答案】
（1）
（2）解：如图，过点A作
于点E，
则
，
在
中，
，
，
由题意得：
，
①如图，当圆
与AB相切时，
则
，
在
中，
，即
，
解得
，
经检验，
是所列分式方程的解；
②如图，当圆
与BC相切时，
则
，
在
中，
，即
，
解得
，
经检验，
是所列分式方程的解；
③当圆
与AC相切时，
如图，设圆
与AC相切于点F，连接OF，过点P作
于点G，作
，交CA延长线于点M，过点Q作
于点N，
则
，
，
点O是PQ的中点，
，
，
，
，
在
中，
，即
，
解得
，
，
，
在
中，
，即
，
解得
，
在
中，
，
，
在
中，
，
则由
得：
，
解得
；
综上，当圆
与AB相切时，
；当圆
与BC相切时，
；当圆
与AC相切时，
.
【考点】切线的判定，三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）如图，过点P作
于点D，
，
，
，
由题意，当
秒时，
，
，
在
中，
，
则
，
故答案为：
；
【分析】（1）如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得
，再根据线段的和差可求出BP、BQ的长，然后根据直角三角形的性质可得PD的长，最后利用三角形的面积公式即可得；（2）如图（见解析），先利用等腰三角形的性质、解直角三角形可得BC的长，再分圆
与AB相切、圆
与BC相切、圆
与AC相切三种情况，然后分别利用圆的切线的性质、解直角三角形即可得.
21.已知
内接于⊙O，
，
的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记
.
（1）如图1，若
，
①直接写出
的值为________；
②当⊙O的半径为4时，直接写出图中阴影部分的面积为________；
（2）如图2，若
，
，
，求DC的长.
【答案】
（1）；
（2）解：如图，连接AD，连接AO并延长交⊙O于点H，连接DH，则
，
∴
，
∵AF与⊙O相切，
∴
，
∴
，
∵BD平分
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中
∵
∴
≌
（ASA），
∴
，
∵
，
∴
.
【考点】等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形，切线的性质，三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】（1）①如图1，连接OA，AD，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠OAF=90°，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵∠ADB=∠ACB=60°，
∴∠BAD=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵OA=OB=OD，
∴∠ABO=∠OAB=30°，∠OAD=∠ADO=60°，
∵∠BDC=∠BAC=60°，
∴∠ADF=180°-60°-60°=60°=∠OAD，
∴OA∥DF，
∴∠F=180°-∠OAF=90°，
∵∠DAF=30°，
∴AD=2DF，
∴AF=
，
∴
，
故答案为：
；
②∵⊙O的半径为4，
∴AD=OA=4，DF=
=2，AF=2
，
∵∠AOD=60°，
∴阴影部分的面积为：S梯形AODF-S扇形OAD=
?AF?（DF+OA）-
=
×2
×（2+4）?
=6
-
；
故答案为：6
-
【分析】
（1）①由切线的性质得：∠OAF=90°，证明△ABC是等边三角形，得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，根据三角形的内角和定理证明∠BAD=90°，可知BD是⊙O的直径，由圆周角，弧，弦的关系得AD=CD，说明△ADF是含30度的直角三角形，可解答；
②根据阴影部分的面积=S梯形AODF-S扇形OAD代入可得结论；
（2）如图2，连接AD，连接AO并延长交⊙O于点H，连接DH，则∠ADH=90°，先证明△ADF≌△ADE（ASA），得DF=DE=6，由已知得DC的长．(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
专题十三
圆
（二）
【学习目标】
了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；
2．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
3．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；
4．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
　　　　　　　
要点一、与圆有关的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上
　　设⊙O的半径为，OP=，则有
　　点P在⊙O
外；　点P在⊙O
上；点P在⊙O
内.
要点诠释：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
2．判定几个点在同一个圆上的方法
　　当时，在⊙O
上.
3．直线和圆的位置关系
　　设⊙O
半径为R，点O到直线的距离为.
　　(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.
　　(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.
　　(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.
4．切线的判定、性质
　　(1)切线的判定：
　　
　①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
　　
　②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
　　(2)切线的性质：
　　
　①圆的切线垂直于过切点的半径.
　　
　②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
　　
　③经过切点作切线的垂线经过圆心.
　　(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
　　(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
5．圆和圆的位置关系
　　设的半径为，圆心距.
　　(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离
　　
　.
　　(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含
　　(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.
　　(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.
　　(5)和有两个公共点相交.
要点二、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心、重心、垂心
　　(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
　　(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
　　(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.
　　(4)垂心：是三角形三边高线的交点.
要点诠释：
　　(1)
任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
　　(2)
解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
　　(3)
三角形的外心与内心的区别：
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.
2．圆内接四边形和外切四边形
　　(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
　　(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
要点三、圆中有关计算
1．圆中有关计算
　　圆的面积公式：，周长.
　　圆心角为、半径为R的弧长.
　　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.
　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
　　圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.
　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
要点诠释：
　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
专题十三
圆
（二）专项训练
一、单选题
1.用半径为6的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于
A.?3???????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?
2.若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（??
）
A.?18°??????????????????????????????????????B.?36°??????????????????????????????????????C.?72°??????????????????????????????????????D.?144°
3.如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（
）
A.?DE=DO?????????????????????????????B.?AB=AC?????????????????????????????C.?CD=DB?????????????????????????????D.?AC∥OD
4.某品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O直径）为10cm，弧AB的度数约为90°，则弓形铁片ACB（阴影部分）的面积约为（???
）
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
5.已知一弧的半径为3，弧长为
，
则此弧所对的圆心角为（
?
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
6.如图，在半径2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为（??
）
A.?π????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?2π????????????????????????????????????????D.?
7.如图，半径为2的两个等圆⊙O1与⊙O2外切于点P，过O1作⊙O2的两条切线，切点分别为A，B，与⊙O1分别交于C，D，则
与
的弧长之和为（?
）
二、填空题
8.已知扇形的弧长为4π，半径为24，则此扇形的圆心角为________度．
9.如图，直线AB与⊙O切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA=30°，则AB的长为________.
10.如图，一个半径为
，面积为
的扇形纸片，若添加一个半径为R的圆形纸片，使得两张纸片恰好能组合成一个圆锥体，则添加的圆形纸片的半径R为________cm．
11.如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于M、N两点，⊙O的半径为2，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动时间________秒时，直线MN恰好与圆相切．
12.如图，在矩形ABCD中，AB=
，AD=1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是________．
13.如图，正方形
和正
都内接于半径为1的
，
与
、
分别相交于点
、
，则
的长为________.
三、解答题
14.如图，AB与⊙O相切于点B，AO及AO的延长线分别交⊙O于D、C两点，若∠A=40°，求∠C的度数.
15.将一个边长为a的正方形纸片卷起来，恰好可以围住一个圆柱的侧面；又在这个正方形纸片上剪下最大的一个扇形，卷起来，恰好可以围住一个圆锥的侧面，那么该圆柱和圆锥两者的底面半径之比为多少？（如果保留π）
16.如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
17.如图1，点I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆⊙O于点D．
（1）求证：DB=DC=DI；
（2）若AB是⊙O的直径，OI⊥AD，求tan的值．
18.如图，△ABC的周长为24，面积为24，求它的内切圆的半径．
19.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，半径OD⊥AC于点E，过点D的切线与BA延长线交于点F．
（1）求证：∠CDB=∠BFD；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．
四、综合题（
20.如图，
中，
，
.动点
从点
出发，在
边上以每秒1cm的速度向终点
匀速运动，同时动点
从点
出发，沿
以每秒
的速度向终点
匀速运动，连接
，设运动时间为
（秒）.
（1）当
秒时，则
的面积
________
；（直接写出答案）
（2）以
为直径作圆
，在点
，
的运动过程中，当圆
与
的一边所在直线相切时，求
的值.
21.已知
内接于⊙O，
，
的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记
.
（1）如图1，若
，
①直接写出
的值为________；
②当⊙O的半径为4时，直接写出图中阴影部分的面积为________；
（2）如图2，若
，
，
，求DC的长.

展开更多......

收起↑