资源简介

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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
专题十三
圆
（一）
【学习目标】
1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
　
【知识网络】
　　　　　　　
【要点梳理】
要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
　　(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
　　(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
要点诠释：
　
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
　②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
　　(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
　　
　在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
　　(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
　　(3)垂径定理及推论：
　　
　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
　　
　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
　　
　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
　　
　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
　　
　⑤平行弦夹的弧相等.
要点诠释：
在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
3．两圆的性质
　　(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
　　(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
4．与圆有关的角
　　(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
　　
　圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
　　(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
　　
　圆周角的性质：
　　
　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
　　
　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
　　
　③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
　　
　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
　　
　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
要点诠释：
　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
专题十三
圆
（一）专题训练
一、单选题
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P.若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为(???
)
A.?10???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?3
【答案】
C
【考点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵CD⊥AB，CD=8，
∴PC=
CD=
×8=4，
在Rt△OCP中，
∵PC=4，OP=3，
∴OC=
.
故答案为：C.
【分析】利用垂径定理求出PC的长，再利用勾股定理求出OC的长。
2.如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　）
A.?50°???????????????????????????????????????B.?55°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?65°
【答案】
A
【考点】圆周角定理，切线长定理
【解析】【解答】解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°.
故答案为：A.
【分析】连接BC，由弦切角定理得∠ACE=∠ABC，再由切线的性质求得∠DBC，最后由切线长定理求得∠D的度数.
3.如图，在⊙O中，
，
．则
的度数为（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
故答案为：C．
【分析】根据圆周角及等弧所对的圆心角的性质求解即可。
4.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（??
）
A.?28°???????????????????????????????????????B.?30°???????????????????????????????????????C.?43°???????????????????????????????????????D.?60°
【答案】
A
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，
根据量角器的读数方法可得：（86°﹣30°）÷2=28°．
故选：A．
【分析】根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，从而可求得∠ACB的度数．
5.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（?????
）
A.?弧AB?=?弧2CD??????????????????B.?弧AB
弧2CD??????????????????C.?弧AB
弧2CD??????????????????D.?不能确定
【答案】
A
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】前提是在同一个圆中如果是两个圆心角的数量关系和圆心角所对应的弧的数量关系是一致的.
【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系知识点，圆心角是二倍的关系，那么它们所对应的弧也是二倍的关系.
6.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（　　）
A.?1：
?????????????????????????????????B.?1：
?????????????????????????????????C.?1：2?????????????????????????????????D.?2：3
【答案】
D
【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，
∴
，
∵CE平分∠ACB交⊙O于E，
∴
，
∴AD=
AB，BD=
AB，
过C作CE⊥AB于E，连接OE，
∵CE平分∠ACB交⊙O于E，
∴
=
，
∴OE⊥AB，
∴OE=
AB，CE=
AB，
∴S△ADE：S△CDB=（
AD?OE）：（
BD?CE）=（
）：（
）=2：3．
故选D．
【分析】由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据已知条件得到
，根据三角形的角平分线定理得到
，求出AD=
AB，BD=
AB，过C作CE⊥AB于E，连接OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OE=
AB，CE=
AB，根据三角形的面积公式即可得到结论．本题考查了圆周角定理，三角形的角平分线定理，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
7.如图，点A，B，C在
上，且
，则
的度数是（??
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵OB=OC，∠BOC=2∠BAC=2×25°=50°，
∴∠OCB=∠OBC=
（180°-50°）=65°.
故答案为：A.
【分析】首先连接OB，由圆周角定理可求得∠BOC的度数，然后由等腰三角形的性质，求得答案.
二、填空题
8.如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝________.
【答案】
35°
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】
?
?
?
故答案为：
【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
9.?如图，在⊙O中，△ABC是等边三角形，AD是直径，则∠ADB=________°,∠ABD=________°
【答案】60；90
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】同弧所对的圆周角相等，所以∠ADB=60度，直径所对的圆周角等于90度.
【分析】根据圆周角的定义做题，要注意所给条件中等边三角形个内角的度数，及圆周角所对半圆弧的度数.
10.如图，已知点C是的一点，圆周角∠ACB为125°，则圆心角∠AOB=________度.
【答案】
110°
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵∠AOB=2∠ACB=250°，
而∠ACB=125°，
∴∠AOB=360°-250°=110°．
故答案为110°．
【分析】由题意可得劣弧AB的度数=110°．根据圆心角、弦、弧之间的关系可求得∠AOB=110°。
11.如图，已知锐角三角形
内接于半径为2的
，
于点
，
，则
________．
【答案】
1
【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接OB和OC，
∵△ABC内接于半径为2的圆O，∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，OB=OC=2，
∵OD⊥BC，OB=OC，
∴∠BOD=∠COD=60°，
∴∠OBD=30°，
∴OD=
OB=1，
故答案为：1.
【分析】连接OB和OC，根据圆周角定理得出∠BOC的度数，再依据等腰三角形的性质得到∠BOD的度数，结合直角三角形的性质可得OD.
12.如图
，
，
是圆
上的3点，且四边形
是菱形，若点
是圆上异于
，
，
的另一点，则
的度数是________.
【答案】
或
【考点】菱形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【解析】【解答】连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB=OA=OB=BC，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ADC=60°，∠AD′C=120°.
故答案为：60°或120°.
【分析】连接OB，则AB=OA=OB故可得出△AOB是等边三角形，所以∠ADC=60°，∠AD′C=120°，据此可得出结论.
13.如图，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，AC=3，BC=4，则线段CD的长等于________.
【答案】
【考点】勾股定理，圆周角定理，确定圆的条件，旋转的性质，等腰直角三角形
【解析】【解答】解：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图），
∴∠CBD=∠EAD，AE=BC，
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CBD+∠CAD=180°，
∴∠EAD+∠CAD=180°，
∴点C，A，E在同一条直线上，且△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=
CD，
∵CE=AC+BC=7，
∴CD=
（AC+BC）=
，
故答案为：
.
【分析】将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图），于是得到∠CBD=∠EAD，AE=BC，根据四边形的内角和得到点C，A，E在同一条直线上，根据勾股定理即可得到结论.
14.如图，在
中，
，
，
，P是
所在平面内一点，且满足
，则
的最大值为________.
【答案】
+2
【考点】勾股定理，圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴AB=2BC，又AC=4，
∴
，
解得：BC=
，
∵PA⊥PC，即∠APC=90°，
∴点P在以AC为直径的圆O上，
如图，当P、O、B三点共线时，PB最大，
∵BC=
，OC=
AC=2，
∴BO=
=
，
∴PB=
+2，
故答案为：
+2.
【分析】由于∠APC=90°，则根据圆周角定理可判断点P在以AC为直径的圆上，取AC的中点O，连接BO，然后根据点与圆的位置关系确定PB的最大值.
三、解答题
15.如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC＝NC．
【答案】
解：∵弧AC和弧BC相等，
∴∠AOC=∠BOC，
又∵OA="OB"
M、N分别是OA、OB的中点
∴OM=ON，
在△MOC和△NOC中，，
∴△MOC≌△NOC（SAS），
∴MC=NC．
【考点】全等三角形的判定与性质，圆周角定理
【解析】【分析】根据等弧所对的圆周角相等得出
∠AOC=∠BOC，
然后利用SAS判断出
△MOC≌△NOC
，根据全等三角形对应边相等得出
MC＝NC．
16.如图，在⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且sinD＝
，求证：四边形ABOC为菱形.
【答案】
解：∵点A是劣弧BC的中点，
∴OA⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵∠D＝∠ABE，
∴sin∠D＝sin∠ABE＝
＝
，
∴∠ABE＝30°，
∴∠BAE＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝OB，
∵OA⊥BC，
∴
∴AC＝AB，
∴AC＝OC＝OB＝AB，
∴四边形ACOB是菱形.
【考点】菱形的判定，圆周角定理，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】由垂径定理的推论求得∠AEB＝90°，然后解直角三角形求得∠ABE＝30°，然后由圆周角定理得到∠BAE＝60°，从而判定△AOB是等边三角形，得到OA＝AB＝OB，然后由垂径定理求得AC＝AB，从而根据四边相等的四边形是菱形即可判断.
17.如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度数．
【答案】
解：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵BE=CE，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=70°，∠BAC=2∠CAE，
∴∠BAC=40°，
∴∠DOE=2∠CAE=∠BAC=40°．
【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理
【解析】【分析】
连接AE，
根据直径所对的圆周角是直角得出
∠AEB=90°，
根据线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出
AB=AC，
根据等腰三角形的三线合一及三角形的内角和得出
∠BAC=2∠CAE=40°，进而根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得出答案。
18.在圆O中，直径CD⊥弦AB于E，AB＝6，
＝
，求DE的长．
【答案】
解：如图所示，
∵
＝
，
∴CE＝3DE，
∴CD＝CE+DE＝4DE，
∴OD＝
CD＝2DE，
∴OE＝OD﹣DE＝DE，
∴OA＝OD＝2DE，
∴OA＝2OE．
∵CD垂直平分AB，
∴AE＝
AB＝
×6＝3，∠AEO＝90°，
∴∠OAE＝30°，
∴OA＝
＝
＝2
，
∴DE＝
OA＝
×2
＝
．
【考点】垂径定理，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据题意画出图形，先根据
＝
得出CE=3DE，再由垂径定理的出AE=
AB，∠AEO=90°，故可得出∠OAE=30°，由锐角三角函数的定义可得出OA的长，进而得出结论．
19.如图，已知△ABC内接于⊙O，AD、AE分别平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF，且分别交圆于点D、F，连接DE，CD，DE与BC相交于点G．
（1）求证：DE是△ABC的外接圆的直径；
（2）设OG=3，CD=
，
求⊙O的半径．
【答案】
证明：（1）∵AD、AE分别平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF，
∴∠1=∠2，∠3=∠EAF，
∵∠1+∠2+∠3+∠EAF=180°，
∴∠2+∠3=90°，
即∠DAE=90°，
∴DE是△ABC的外接圆的直径；
（2）解：连接OC，如图所示：
设⊙O的半径为r，
则OD=OC=r，DG=r﹣3，
∵∠1=∠2，
∴，
∴OD⊥BC，
∴∠OGC=∠DGC=90°，
由勾股定理得：CG2=CD2﹣DG2
，
CG2=OC2﹣OG2
，
∴CD2﹣DG2=OC2﹣OG2
，
即（?）2﹣（r﹣3）2=r2﹣32
，
解得：r=5，或r=﹣2（不合题意，舍去），
∴⊙O的半径为5．
【考点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义和平角关系得出∠2+∠3=90°，即∠DAE=90°，由90°的圆周角所对的弦是直径，即可得出结论；
（2）连接OC，设⊙O的半径为r，则OD=OC=r，DG=r﹣3，由垂径定理得出OD⊥BC，由勾股定理得出CD2﹣DG2=OC2﹣OG2
，
得出方程，解方程即可．
四、综合题
20.如图，在
中，
，将
沿直线
翻折得到
，连接
交
于点
.
是线段
上的点，连接
.
是
的外接圆与
的另一个交点，连接
，
.
（1）求证：
是直角三角形；
（2）求证：
；
（3）当
，
时，在线段
上存在点
，使得
和
互相平分，求
的值.
【答案】
（1）证明：
，
，
，
，
是直角三角形.
（2）证明：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
（3）解：设
交
于
.连接
.
与
互相平分，四边形
是平行四边形，
，即
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
，解得
（负根已经舍弃）.
【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等可得∠EFB=∠EDB，∠EBF=∠EDF，然后将其两边分别相加可推出∠BEF=90°，据此证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质以及圆周角定理可推出∠EFB=∠BCD，然后由同角的余角相等可得∠BCD=∠CAB，得到∠EFB=∠CAB，最后根据相似三角形的判定方法证明即可；
（3）由题意可推出四边形AFBE是平行四边形，进而推出EF∥BD，结合AJ=JB可得AF=FD，则FJ为△ABD的中位线，然后表示出EF，由△ABC∽△CBM，
△BEJ∽△BME，结合相似三角形对应边成比例可分别表示出BM、BE，然后由?△BEF∽△BCA以及相似三角形的性质可得关于m的方程，求解即可.(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
专题十三
圆
（一）
【学习目标】
1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
　
【知识网络】
　　　　　　　
【要点梳理】
要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
　　(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
　　(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
要点诠释：
　
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
　②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
　　(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
　　
　在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
　　(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
　　(3)垂径定理及推论：
　　
　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
　　
　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
　　
　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
　　
　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
　　
　⑤平行弦夹的弧相等.
要点诠释：
在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
3．两圆的性质
　　(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
　　(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
4．与圆有关的角
　　(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
　　
　圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
　　(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
　　
　圆周角的性质：
　　
　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
　　
　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
　　
　③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
　　
　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
　　
　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
要点诠释：
　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
专题十三
圆
（一）专题训练
一、单选题
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P.若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为(???
)
A.?10???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?3
2.如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　）
A.?50°???????????????????????????????????????B.?55°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?65°
3.如图，在⊙O中，
，
．则
的度数为（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
4.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（??
）
A.?28°???????????????????????????????????????B.?30°???????????????????????????????????????C.?43°???????????????????????????????????????D.?60°
5.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（?????
）
A.?弧AB?=?弧2CD??????????????????B.?弧AB
弧2CD??????????????????C.?弧AB
弧2CD??????????????????D.?不能确定
6.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（　　）
A.?1：
?????????????????????????????????B.?1：
?????????????????????????????????C.?1：2?????????????????????????????????D.?2：3
7.如图，点A，B，C在
上，且
，则
的度数是（??
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
二、填空题
8.如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝________.
9.?如图，在⊙O中，△ABC是等边三角形，AD是直径，则∠ADB=________°,∠ABD=________°
10.如图，已知点C是的一点，圆周角∠ACB为125°，则圆心角∠AOB=________度.
11.如图，已知锐角三角形
内接于半径为2的
，
于点
，
，则
________．
12.如图
，
，
是圆
上的3点，且四边形
是菱形，若点
是圆上异于
，
，
的另一点，则
的度数是________.
13.如图，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，AC=3，BC=4，则线段CD的长等于________.
14.如图，在
中，
，
，
，P是
所在平面内一点，且满足
，则
的最大值为________.
三、解答题
15.如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC＝NC．
16.如图，在⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且sinD＝
，求证：四边形ABOC为菱形.
17.如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度数．
18.在圆O中，直径CD⊥弦AB于E，AB＝6，
＝
，求DE的长．
19.如图，已知△ABC内接于⊙O，AD、AE分别平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF，且分别交圆于点D、F，连接DE，CD，DE与BC相交于点G．
（1）求证：DE是△ABC的外接圆的直径；
（2）设OG=3，CD=
，
求⊙O的半径．
四、综合题
20.如图，在
中，
，将
沿直线
翻折得到
，连接
交
于点
.
是线段
上的点，连接
.
是
的外接圆与
的另一个交点，连接
，
.
（1）求证：
是直角三角形；
（2）求证：
；
（3）当
，
时，在线段
上存在点
，使得
和
互相平分，求
的值.

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