资源简介

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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
专题十四
二次函数
（二）
【学习目标】
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
【要点梳理】
要点一、列二次函数解应用题
　
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
要点二、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
要点诠释：
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
　　①首先必须了解二次函数的基本性质；
　②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
　　③借助二次函数的性质来解决实际问题.
专题十四
二次函数
（二）
专项训练
一、单选题
1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=
x的图象如图所示，则方程ax2+（b－
）x+c=0（a≠0）的两根之和（??
）
A.?小于0????????????????????????????????B.?等于0????????????????????????????????C.?大于0????????????????????????????????D.?不能确定
【答案】
C
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数图象求一元二次方程的近似根，二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】由方程ax2+（b－
?）x+c=0（a≠0）可得ax2+bx+c=
?x，可得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=
x的图象的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=
?x的两个根，由图象可知方程ax2+（b－
）x+c=0（a≠0）的两根之和大于0，故答案为：C.
【分析】由图象可知方程的两根之和大于0。
2.如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（??
）
A.?y=
????????????????????????B.?y=﹣
????????????????????????C.?y=﹣
????????????????????????D.?y=
【答案】
C
【考点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：依题意设抛物线解析式y=ax2
，
把B（5，﹣4）代入解析式，
得﹣4=a×52
，
解得a=﹣
，
所以y=﹣
x2
．
故答案为：C．
【分析】由题意可设抛物线解析式y=ax2
，
因为点B（5，﹣4），所以将点B（5，﹣4）代入解析式计算即可求解。
?
3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），某抛物线的顶点坐标为D（－1，1）且经过点B，连接AB，直线AB与此抛物线的另一个交点为C，则S△BCD：S△ABO＝（???
）
A.?8:1????????????????????????????????????????B.?6:1????????????????????????????????????????C.?5:1????????????????????????????????????????D.?4:1
【答案】
B
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】设直线AB的解析式为y=kx+b,二次函数的解析式为y=a(x+1)2+1，
将点A(1,0)、B(0,2)代入y=kx+b中得：
?,解得：
?
∴直线AB的解析式为y=?2x+2；
将点B(0,2)代入到y=a(x+1)2+1中得：
2=a+1，解得：a=1，
∴二次函数的解析式为
?
将y=?2x+2代入y=x2+2x+2中得：
?2x+2=x2+2x+2,整理得：x2+4x=0，
解得：x1=?4,x2=0，
∴点C的坐标为(?4,10).
∵点C(?4,10),点B(0,2),点A(1,0)，
∴
?
∴BC=4AB.
∵直线AB解析式为y=?2x+2可变形为2x+y?2=0，
∴|?2+1?2|=3，|?2|=2.
∴S△BCD:S△ABO=4×3:2=12:2=6:1.
故答案为：:B.
【分析】设直线AB的解析式为y=kx+b，二次函数的解析式为y=a（x+1）2+1，结合点的坐标利用待定系数法求出一次函数与二次函数的解析式，联立一次函数与二次函数解析式解出交点C的坐标，根据两点间的距离公式求出线段BC、AB的长度，再借用点到直线的距离公式（分子部分）寻找到点D、O到直线AB的距离间的关键，借助各比例关系利用三角形的面积公式即可得出结论.
4..如图,已知抛物线y1=－2x2＋2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2.若y1≠y2
，
取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2
，
记M=y1=y2.例如：当x=1时，y1=0,y2=4,y1＜y2
，
此时M="0."
下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在；
④使得M=1的x值是或.其中正确的是(
)
A.?①②?????????????????????????????????????B.?①④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?③④
【答案】
D
【考点】二次函数与一次函数的综合应用，定义新运算
【解析】【分析】若y1=y2
，
记M=y1=y2
．
首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＜-1时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当-1＜x＜0时，y1＞y2；当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2
．
若y1≠y2
，
取y1、y2中的较小值记为M；即可求得答案．
∵当y1=y2时，即-2x2+2=2x+2时，解得：x=0或x=-1，
∴当x＜-1时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当-1＜x＜0时，y1＞y2；当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；
∴①错误；
∵抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2
．
若y1≠y2
，
取y1、y2中的较小值记为M；
∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；
∴②错误；
∵抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y1=-2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；
∴使得M大于2的x值不存在，
∴③正确；
∵如图：当-1＜x＜0时，y1＞y2；
∴使得M=1时，y2=2x+2=1，解得：x=-；
当x＞0时，y2＞y1
，
使得M=1时，即y1=-2x2+2=1，解得：x1=
，
x2=-（舍去），
∴使得M=1的x值是-或
．
∴④正确；
故选D．
5.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围（??
）
A.?x≥0?????????????????????????????B.?0≤x≤1?????????????????????????????C.?－2≤x≤1?????????????????????????????D.?x≤-2或x≥1
【答案】
C
【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】关键是从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断y2≥y1时，x的取值范围．
【解答】从图象上看出，两个交点坐标分别为（-2，0)，（1，3)，
∴当有y2≥y1时，有-2≤x≤1．故选C．
【点评】本题考查了借助图象求不等式解的能力．
6.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)图象的顶点为D
，
其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为－1，3．与y轴负半轴交于点C
，
在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c＞0；
③c＝－3a；④只有当a＝
时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有三个．其中正确的结论是（????
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】
C
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数-动态几何问题，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
如图，
①
由题意知对称轴x=,
∴2a=-b,
即2a+b=0,
∵b≠0，得2a-b≠0，错误；
②
∵a>0,
抛物线与x轴的交点的横坐标为-1,3，∴当-1∴当x=1时，y=a+b+c<0，正确；
③令y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,
和原函数比较系数即得c＝－3a，正确；
④
当a=时，y=(x+1)(x-3)=x2-x-=(x-1)2-2,
∴D（1,2），∵AB==4，∴OA=OB=OD
=2，∴△ABD是直角三角形，又∵OD⊥AB
∴△ABD是等腰直角三角形，正确；
⑤要使△ACB为等腰三角形，则有AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC三种情况，当AB=BC=4时，∵AO=1，△BOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16?9=7，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=?
，
与2a+b=0、a?b+c=0联立组成方程组，解得a=；同理当AB=AC=4时，∵AO=1，△AOC为直角三角形，∴c2=16?1=15，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，c=?
，
再与2a+b=0、a?b+c=0联立组成方程组,
解得a=；同理当AC=BC时在△AOC中,AC2=1+c2
，
在△BOC中，BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程无解，可知满足条件只有两个a值，错误.
综上，正确的有3项.
故答案为：C.
?
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：
【分析】
先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3确定出AB的长及对称轴，由对称轴方程确定2a+b=0,
则2a-b≠0；看图象即可得出当x=1,
y=a+b+c<0；令y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,
和原函数比较系数即得c＝－3a；
当a=时，求出D点的坐标，推出OA=OB=OD=2，则△ABD是直角三角形，结合OD⊥AB
，得出△ABD是等腰直角三角形；要使△ACB为等腰三角形，则有AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC三种情况，根据几何关系分别求出C点坐标，从而确定a的值，注意方程无解的情况.
二、填空题
7.已知关于x的二次函数y1＝x2﹣2x与一次函数y2＝x+4，若y1＞y2
，
则x的取值范围是________．
【答案】
x＜﹣1或x＞4
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：解方程组
得，
或
，
∴二次函数y1＝x2﹣2x的图形与一次函数y2＝x+4的图象交于（﹣1，3）和（4，8），
∴当x＜﹣1或x＞4时，y1＞y2
，
∴x的取值范围是x＜﹣1或x＞4．
【分析】解方程组得到二次函数y1＝x2﹣2x的图形与一次函数y2＝x+4的图象交于（﹣1，3）和（4，8），再结合图象可得结论．
8.小明推铅球，铅球行进高度
与水平距离
之间的关系为
，则小明推球的成绩是________m.
【答案】
10
【考点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：令函数式
中y=0，得
，
解得x1=10，x2=-2（舍去）.
即铅球推出的距离是10m.
故答案为：10.
【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可.
9.小明推铅球，铅球行进高度
与水平距离
之间的关系为
，则小明推铅球的成绩是________
.
【答案】
【考点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】令函数式
中，y=0，
，
解得x1=10，x2=-2（舍去）.
即铅球推出的距离是10m.
故答案为：10.
【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可.
10.如图，分别过点Pi(i，0)(i=1、2、…、n)作x轴的垂线，交y=x2的图象于点A
i；，交直线y=-x于点Bi。则
=________。
【答案】
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵分别过点Pi(i，0)(i=1、2、…、n)作x轴的垂线，交y=x2的图象于点A
i；，交直线y=-x于点Bi
，
当i=1时，则A1（1,1），B1（1，-1）
∴A1B1=1-（-1）=2=1×2；
当i=2时，则A1（2，4），B2（2，-2）
∴A2B2=4-（-2）=6=2×3；
当i=3时，则A3（3，9），B2（3，-3）
∴A3B3=9-（-3）=12=3×4；
当i=n时
AnBn=n（n+1）
∴
故答案为：
【分析】由题意可知当i=1时，将x=1分别代入两函数解析式，可求出点A1
，
B1的坐标，即可求出A1B1=1×2；当i=2时，将x=2分别代入两函数解析式，可求出A2B2=2×3；同理可求出A3B3=3×4…AnBn=n（n+1），然后代入可求出的值。
11.如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A，B，C，D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y
=
x2－
，则图中CD的长为
________
.
?
【答案】
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设?y
=??x2－??=0
，
∴??(x-1)(x+1)=0，
∴x1=1,
x2=-1,
∴OB=OA=1，
∴OC=1，
当x=0,
y=-,
∴OD=,
∴CD=OC+OD=1+=.
故答案为：.
【分析】设?y
=??x2－??=0
，
求出抛物线与x轴的交点坐标，则知OC的长，再设x=0,
求出抛物线与y轴的交点坐标，则知OD长，于是CD可求.
12.如图，平面坐标内，矩形
的顶点
、
、
，抛物线
经过点
，
，
的半径为1，当圆心P在抛物线上从点P运动到点Q，则在整个运动过程中，
与矩形
只有一个公共点的情况共出现________次．
【答案】
3
【考点】圆的综合题，二次函数-动态几何问题，圆-动点问题
【解析】【解答】解：∵
∴令
解得
∴
令
解得
∴抛物线顶点坐标为
，与坐标轴两交点为
当P开始运动到刚与AD边接触时，此时
与矩形
只有一个公共点；
当P继续向下运动始终与矩形
有两个公共点，直到P运动到抛物线顶点（0，-1）结束；
当P运动到抛物线的顶点
时，此时
与矩形
只有一个公共点；
当P点继续向上运动，直到运动到
时，此时
与矩形
只有一个公共点；
之后P再继续向Q点运动，不会与矩形
产生公共点
所以整个过程中出现了3次
故答案为：3．
【分析】先利用抛物线的解析式求出P,Q的坐标，然后分析P点的运动过程，从中找到
与矩形
只有一个公共点的情况即可．
三、解答题
13.已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1
，
0）、B（x2
，
0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1
，
x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．
（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．
【答案】解：（1）解方程x2+4x-5=0，得x=-5或x=1，
由于x1＜x2
，
则有x1=-5，x2=1，
∴A（-5，0），B（1，0）．
抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x-1）（a＞0），
∴对称轴为直线x=-2，顶点D的坐标为（-2，-9a），
令x=0，得y=-5a，
∴C点的坐标为（0，-5a）．
依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，
过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE-OC=4a．
S△ACD=S梯形ADEO-S△CDE-S△AOC
=（DE+OA）?OE-DE?CE-OA?OC=（2+5）?9a-×2×4a-×5×5a=15a，
而S△ABC=AB?OC=×6×5a=15a，
∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1：1；
（2）如解答图，过点D作DE⊥y轴于E
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2
，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2
，
设对称轴x=-2与x轴交于点F，则AF=3，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2
．
∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，
由勾股定理得：AD2+CD2=AC2
，
即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2
，
化简得：a2=，
∵a＞0，
∴a=，
∴抛物线的解析式为：y=（x+5）（x﹣1）=x2+x﹣．
【考点】二次函数的实际应用-动态几何问题
【解析】【分析】（1）首先解一元二次方程，求出点A、点B的坐标，得到含有字母a的抛物线的交点式；然后分别用含字母a的代数式表示出△ABC与△ACD的面积，最后得出结论；
（2）在Rt△ACD中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数a，得出抛物线的解析式．
14.如图所示的是一座拱桥，桥洞的拱形是抛物线的形状，当水面宽AB为12米时，桥洞顶部离水面4米，若水面上涨1米，求此时水面的宽．
?　　
【答案】
解：如图，以抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．
由题意可知抛物线过点（6，-4）
设抛物线的函数表达式为：
把（6，-4）代入
，可得
则抛物线的函数表达式为：
当水面上涨1米，水面所在的位置为直线
令
，则
，解得：
∴此时水面的宽为：6
米．
【考点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】由题意建立适当的平面直角坐标系，用待定系数法可求抛物线的函数解析式，然后把
代入解析式即可求解．
15.某超市准备进一批每个进价为40元的小家电,经市场调查预测,售价定为50元时可售出400个；定价每增加1元,销售量将减少10个.
（1）设每个定价增加x元,此时的销售量是多少？（用含x的代数式表示）
（2）超市若准备获得利润6000元,并且使进货量较少,则每个应定价为多少元？
（3）超市若要获得最大利润,则每个应定价多少元?获得的最大利润是多少？
【答案】
解：由题意得：
（1）400-10x；
（2）设每个定价增加x元．
列出方程为：（50+x-40）（400﹣10x）=6000；
解得：x1=10
,
x2=20；
要使进货量较少,则每个定价为70元,应进货200个；
（3）设每个定价增加x元,获得利润为y元．
y=
（50+x-40）
（400﹣10x）=﹣10x2+300x+4000=﹣10（x﹣15）2+6250
当x=15时,y有最大值为6250．
所以每个定价为65元时得最大利润,可获得的最大利润是6250元．
【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题，二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意列式即可；
（2）总利润=每个的利润×销售量,销售量为400﹣10x,列方程求解,根据题意取舍；
（3）利用函数的性质求最值．
16.抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点P,使S△ABP=S△ABC,若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
解：（1）设抛物线的顶点形式为y=a（x-1）2+4，
将A（3，0）代入得：0=4a+4，即a=-1，
则抛物线解析式为y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3；
（2）存在这样的P点，设P（a，-a2+2a+3），设直线AB解析式为y=kx+b，
将A（3，0），B（0，3）代入得：
，
解得：
，
∴直线AB解析式为：y=-x+3，
∵S△ABP=S△ABC
，
且两三角形都以AB为底边，
∴P到直线AB的距离等于C到直线AB距离的
，
∵C（1，4）到直线AB的距离d==
，
∴P到直线AB的距离d==
，
即|-a2+3a|=1，
整理得：a2-3a-1=0或a2-3a+1=0，
解得：a=或a=
当a=时，-a2+2a+3=-+3++3=-+=；
当a=时，-a2+2a+3=-+3-+3=+=；
当a=时，-a2+2a+3=-+3++3=；
当a=时，-a2+2a+3=-+3-+3=.
则满足题意的P坐标为（,）；（,）；（,）；（,）．
【考点】二次函数的三种形式，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设出抛物线的顶点形式为y=a（x-1）2+4，将A坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）存在，设出P（a，-a2+2a+3），直线AB解析式为y=kx+b，将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB解析式，根据三角形ABP面积为三角形ABC面积的一半，由两三角形都以AB为底边，得到C到直线AB的距离为P到直线AB距离的2倍，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出满足题意P的坐标．
17.如图1,在平面直角坐标系中,有一矩形ABCD,其三个顶点的坐标分别为A（2,0）、B（8,0）、C（8,3）．将直线l:y＝－3x－3以每秒3个单位的速度向右运动,设运动时间为t秒．
（1）当t＝_________时,直线l经过点A．（直接填写答案）
（2）设直线l扫过矩形ABCD的面积为S,试求S＞0时S与t的函数关系式．
（3）在第一象限有一半径为3、且与两坐标轴恰好都相切的⊙M,在直线l出发的同时,⊙M以每秒2个单位的速度向右运动,如图2所示,则当t为何值时,直线l与⊙M相切？
【答案】
(1)y＝－3x－3与x轴交点坐标是（-1,0）,直线l经过点A（2,0）,故向右平移3个单位长度,直线l:y＝－3x－3以每秒3个单位的速度向右运动,所以t=1;（2）由题意,可知矩形ABCD顶点D的坐标为(2,3)．由一次函数的性质可知,当t由小到大变化时,直线l:y=﹣3(x﹣3t)-3=﹣3x+9t﹣3向右平移,依次扫过矩形ABCD的不同部分．可得当直线经过A(2,0)时,t=1;当直线经过D(2,3)时,t=;当直线经过B(8,0)时,t=3;当直线经过C(8,3)时,t=
．
①当1＜t≤时,如图所示．设直线l:y=-3x+9t﹣3与x轴交于点P,与AD交于点Q．令y=0,可得x=3t﹣1,∴AP=3t﹣3;令x=2,可得y=9t﹣9,∴AQ=9t﹣9．∴S=S△APQ=AP?AQ=(3t﹣3)(
9t﹣9)=;②当＜t≤3时,如图所示．设直线l:y=-3x+9t﹣3与x轴交于点P,与CD交于点Q．令y=0,可得x=3t﹣1,∴AP=3t﹣3;令y=3,可得x=3t﹣2,∴DQ=3t﹣4．S=S梯形APQD=(DQ+AP)?AD=9t－;③当3＜t≤时,如图所示．设直线l:y=-3x+9t﹣3与BC交于点P,与CD交于点Q．令x=8,可得y=9t﹣27,∴BP=9t﹣27,CP=30﹣9t;令y=3,可得x=
3t﹣2,∴DQ=
3t﹣4,CQ=10﹣3t．S=S矩形ABCD﹣S△PQC=18﹣CP?CQ=－(3t－10)2＋18;④当t＞时,S=S矩形ABCD=18．综上所述,
S与t的函数关系式为:;(3)若直线l:y=﹣3x+9t﹣3与⊙M相切,如图所示,应有两条符合条件的切线．设直线与x轴、y轴交于A、B点,则A(3t﹣1,0)、B(0,9t﹣3),∴OB=3OA．由题意,可知⊙M与x轴相切,设切点为D,连接MD;设直线与⊙M的一个切点为P,连接MP并延长交x轴于点G;过P点作PN⊥MD于点N,PH⊥x轴于点H．易证△PMN∽△BAO,∴PN:MN=OB:OA=3,∴PN=3MN．在Rt△PMN中,由勾股定理得:PM2=PN2+MN2,解得:
MN=,PN=,∴PH=ND=MD﹣MN=3﹣,OH=OD﹣HD=OD﹣PN=2t+3﹣,∴P(2t+3﹣,3﹣),代入直线解析式求得:t=5﹣;同理,当切线位于另外一侧时,可求得:t=5+
．
【考点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】
（1）y＝－3x－3与x轴交点坐标是（-1,0）,直线l经过点A（2,0）,故向右平移3个单位长度,直线l:y＝－3x－3以每秒3个单位的速度向右运动,所以t=1;
（2）求出直线l:y=﹣3x+9t﹣3,再分情况讨论;
（3）分两种情况讨论,借助三角形相似即可．
18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（﹣4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D、点E同时从点O出发以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴正半轴，y轴正半轴向点A、点B方向移动，当点D运动到点A时，点D、E同时停止移动．过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，交AB于点G，作点E关于直线DF的对称点E′，连接FE′，射线DE′交AB于点H．设运动时间为t秒．
①t为何值时点E′恰好在抛物线上，并求此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积；
②点P是平面内任意一点，若点D在运动过程中的某一时刻，形成以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，那么请直接写出点P的坐标．
【答案】
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（﹣4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3；
（2）①根据题意设E′（2t，t），
∴t=﹣×4t2+×t+3，解得：t=2，t=﹣3（舍去），
∴D（2，O），E′（4，2）
∵A（6，0），B（0，3）．
∴直线AB为y=﹣x+3，
把x=2代入得y=﹣×2+3=2，
∴G（2，2），
∵D（2，0），E′（4，2），
∴直线DE′的解析式为y=x﹣2，
解
，
得
，
∴H（
，
），
∴S△DGH=×2×（﹣2）=
，
∴t为2时点E′恰好在抛物线上，此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积为；
②如图，当AD为对角线时，∵A（6，0），D（2，0），E′（4，2），以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，
则DE′=AE′，
∴E′和P关于x轴对称，
∴P（4，﹣2）
所以点P的坐标为（4，﹣2）；
当AD、DE是边时；∵AD=6﹣t，菱形ADE′P
∴E'P=AD=DE′=6﹣t
∵E'（2t，t），D（t，0）
∴DE′2=t2+t2=2t2
∴2t2=（6﹣t）2
∴t1=﹣6+6
，
t2=﹣6﹣6（舍去），
∵P（t+6，t）
∴P（6
，
﹣6+6），
当AD、AE是边时；∵AD=6﹣t，菱形AE'PD
∴E'P=AD=AE′=6﹣t，
∵E'（2t，t），D（t，0），
∵AE′2=（6﹣2t）2+t2
，
∴（6﹣2t）2+t2=（6﹣t）2
，
∴t3=3，t4=0（舍去），
∴P（3，3）．
综上，P（4，﹣2）或P（6
，
﹣6+6）或（3，3）．
?
【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式；
（2）①根据题意设E′（2t，t），代入抛物线的解析式即可求得t的值，进而求得D、E′的坐标，根据A（6，0），B（0，3）求得直线AB的解析式，根据D（2，0），E′（4，2）求得直线DE′的解析式，进而求得G、H的坐标，即可求得三角形DGH的面积，即是△DE′F与△ADG重叠部分的面积；
②根据菱形的性质分三种情况分别讨论即可求得P的坐标(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
专题十四
二次函数
（二）
【学习目标】
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
【要点梳理】
要点一、列二次函数解应用题
　
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
要点二、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
要点诠释：
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
　　①首先必须了解二次函数的基本性质；
　②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
　　③借助二次函数的性质来解决实际问题.
专题十四
二次函数
（二）
专项训练
一、单选题
1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=
x的图象如图所示，则方程ax2+（b－
）x+c=0（a≠0）的两根之和（??
）
A.?小于0????????????????????????????????B.?等于0????????????????????????????????C.?大于0????????????????????????????????D.?不能确定
2.如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（??
）
A.?y=
????????????????????????B.?y=﹣
????????????????????????C.?y=﹣
????????????????????????D.?y=
?
3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），某抛物线的顶点坐标为D（－1，1）且经过点B，连接AB，直线AB与此抛物线的另一个交点为C，则S△BCD：S△ABO＝（???
）
A.?8:1????????????????????????????????????????B.?6:1????????????????????????????????????????C.?5:1????????????????????????????????????????D.?4:1
4..如图,已知抛物线y1=－2x2＋2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2.若y1≠y2
，
取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2
，
记M=y1=y2.例如：当x=1时，y1=0,y2=4,y1＜y2
，
此时M="0."
下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在；
④使得M=1的x值是或.其中正确的是(
)
A.?①②?????????????????????????????????????B.?①④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?③④
5.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围（??
）
A.?x≥0?????????????????????????????B.?0≤x≤1?????????????????????????????C.?－2≤x≤1?????????????????????????????D.?x≤-2或x≥1
6.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)图象的顶点为D
，
其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为－1，3．与y轴负半轴交于点C
，
在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c＞0；
③c＝－3a；④只有当a＝
时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有三个．其中正确的结论是（????
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
二、填空题
7.已知关于x的二次函数y1＝x2﹣2x与一次函数y2＝x+4，若y1＞y2
，
则x的取值范围是________．
8.小明推铅球，铅球行进高度
与水平距离
之间的关系为
，则小明推球的成绩是________m.
9.小明推铅球，铅球行进高度
与水平距离
之间的关系为
，则小明推铅球的成绩是________
.
10.如图，分别过点Pi(i，0)(i=1、2、…、n)作x轴的垂线，交y=x2的图象于点A
i；，交直线y=-x于点Bi。则
=________。
11.如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A，B，C，D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y
=
x2－
，则图中CD的长为
________
.
?
12.如图，平面坐标内，矩形
的顶点
、
、
，抛物线
经过点
，
，
的半径为1，当圆心P在抛物线上从点P运动到点Q，则在整个运动过程中，
与矩形
只有一个公共点的情况共出现________次．
三、解答题
13.已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1
，
0）、B（x2
，
0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1
，
x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．
（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．
14.如图所示的是一座拱桥，桥洞的拱形是抛物线的形状，当水面宽AB为12米时，桥洞顶部离水面4米，若水面上涨1米，求此时水面的宽．
?　　
15.某超市准备进一批每个进价为40元的小家电,经市场调查预测,售价定为50元时可售出400个；定价每增加1元,销售量将减少10个.
（1）设每个定价增加x元,此时的销售量是多少？（用含x的代数式表示）
（2）超市若准备获得利润6000元,并且使进货量较少,则每个应定价为多少元？
（3）超市若要获得最大利润,则每个应定价多少元?获得的最大利润是多少？
16.抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点P,使S△ABP=S△ABC,若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
17.如图1,在平面直角坐标系中,有一矩形ABCD,其三个顶点的坐标分别为A（2,0）、B（8,0）、C（8,3）．将直线l:y＝－3x－3以每秒3个单位的速度向右运动,设运动时间为t秒．
（1）当t＝_________时,直线l经过点A．（直接填写答案）
（2）设直线l扫过矩形ABCD的面积为S,试求S＞0时S与t的函数关系式．
（3）在第一象限有一半径为3、且与两坐标轴恰好都相切的⊙M,在直线l出发的同时,⊙M以每秒2个单位的速度向右运动,如图2所示,则当t为何值时,直线l与⊙M相切？
18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（﹣4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D、点E同时从点O出发以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴正半轴，y轴正半轴向点A、点B方向移动，当点D运动到点A时，点D、E同时停止移动．过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，交AB于点G，作点E关于直线DF的对称点E′，连接FE′，射线DE′交AB于点H．设运动时间为t秒．
①t为何值时点E′恰好在抛物线上，并求此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积；
②点P是平面内任意一点，若点D在运动过程中的某一时刻，形成以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，那么请直接写出点P的坐标．

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