资源简介

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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专题十四
二次函数（二）
【学习目标】
1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
2.经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
【要点梳理】
要点一、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式
二次函数
一元二次方程
图象
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0
抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根
△＜0
抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）
　要点诠释：
　　
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
　
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
要点诠释：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
专题十四
二次函数（二）专项训练
一、单选题
1.二次函数y=x2-2x+2与坐标轴的交点个数是（????
）
A.?0个???????????????????????????????????????B.?1个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?3个
2.抛物线y＝x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m为（??
）
A.?0?????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.?﹣1?????????????????????????????????????????D.?±1
3.根据下表，确定方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是（　　）
?????????????
x
??????????
2
???????
2.23
??????
2.24
???????
2.25
???????
ax2+bx+c
????
﹣0.05
?????
﹣0.02
??????
0.03
???????
0.07
A.?2＜x＜2.23??????????????????B.?2.23＜x＜2.24??????????????????C.?2.24＜x＜2.25??????????????????D.?2.24＜x≤2.25
4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
x
…
－1
0
1
3
…
y
…
－3
1
3
1
…
则下列判断中正确的是(??
)
A.?抛物线开口向上??????????????????????????????????????????????????B.?抛物线与y轴交于负半轴
C.?当x＝4时，y＞0?????????????????????????????????????????????????D.?方程ax2＋bx＋c＝0的正根在3与4之间
5.函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（??　）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
6.二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1
，
0），B（x2
，
0），且x1＜x2
，
点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（　　）
A.?当n＜0时，m＜0??????B.?当n＞0时，m＞x2??????C.?当n＜0时，x1＜m＜x2??????D.?当n＞0时，m＜x1
二、填空题
7.如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P在点Q的右侧，如果点P的坐标为（4，0），那么点Q的坐标为________．
8.二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，当函数值y＜0时，对应x的取值范围是________．
9.已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2009的值为________．
10.若关x的函数y＝kx2＋2x－1的图像与x轴仅有一个交点，则实数k的值为________。
11.如图所示的二次函数
的图象中，观察得出了下面五条信息：
①
；②
；③
；④
；⑤
，
你认为其中正确信息的个数有________个.
12.如图，已知二次函数y=
x2﹣
x﹣3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D，作直线CD，点P是抛物线对称轴上的一点，若以P为圆心的圆经过A，B两点，并且和直线CD相切，则点P的坐标为________
三、解答题
13.已知二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求m的值；
（2）求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．
14.如图，A（-1，0）、B（2，-3）两点在一次函数y2=-x+m与二次函数y1=ax2+bx-3的图象上。
（1）求一次函数和二次函数的解析式；
（2）请直接写出y2＞y1时，自变量x的取值范围．
15.二次函数y＝－3x2平移后得到得新函数图象与y轴交点纵坐标为3，对称轴为直线x＝2，求这个新函数的解析式．
16.已知抛物线y=﹣2x2﹣x+6．
（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；
（2）x取何值时，y＜0？
17.已知二次函数y=2x2﹣8x．
（1）用配方法将y=2x2﹣8x化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左侧）；
（3）将该二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，请直接写出得到的新图象的函数表达式．
18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为（3,0），与
轴交于点C（0,-3），顶点为D。
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标。
（2）联结AC，BC，求∠ACB的正切值。
（3）点P是x轴上一点，是否存在点P使得△PBD与△CAB相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
（4）M是抛物线上一点，点N在
轴，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。
四、综合题
19.如图，抛物线
与直线
分别交于A、B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C,连接AC,BC.已知A(0,3),C(-3,0)
（1）求抛物线的解析式;
（2）在抛物线对称轴l上找一点,使|MB-MC|的值最大,并求出这个最大值;
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA,交y轴于点Q，问是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.若存在，求出所有符合条件的点P;若不存在，请说明理由。
20.如图，已知点A的坐标为
，直线
与x轴，y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线过
过A、B、C三点.
（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标
（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标
（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作
，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为
秒
当
秒
为何值时，存在
为等腰直角三角形(
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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专题十四
二次函数（二）
【学习目标】
1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
2.经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
【要点梳理】
要点一、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式
二次函数
一元二次方程
图象
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0
抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根
△＜0
抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）
　要点诠释：
　　
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
　
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
要点诠释：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
专题十四
二次函数（二）专项训练
一、单选题
1.二次函数y=x2-2x+2与坐标轴的交点个数是（????
）
A.?0个???????????????????????????????????????B.?1个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?3个
【答案】
B
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】根据x轴上点的坐标特点令y=0，求出x的值即可．
【解答】∵△=（-2)2-4×1×2=-4＜0，
∴二次函数y=x2-2x+2与x轴没有交点，与y轴有一个交点．
故答案为：B．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
2.抛物线y＝x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m为（??
）
A.?0?????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.?﹣1?????????????????????????????????????????D.?±1
【答案】
D
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】把原点坐标代入抛物线y=x2-mx-m2+1，得：-m2+1=0，
所以m=±1.
故答案为：D.
【分析】由题意把（0,0）代入原解析式可得关于m的方程，解方程即可求解.
3.根据下表，确定方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是（　　）
?????????????
x
??????????
2
???????
2.23
??????
2.24
???????
2.25
???????
ax2+bx+c
????
﹣0.05
?????
﹣0.02
??????
0.03
???????
0.07
A.?2＜x＜2.23??????????????????B.?2.23＜x＜2.24??????????????????C.?2.24＜x＜2.25??????????????????D.?2.24＜x≤2.25
【答案】
B
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∵对于函数y=ax2+bx+c，当x=2.23时y＜0，当x=2.24时y＞0，可见，x取2.23与2.24之间的某一值时，y=0，则方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是2.23＜x＜2.24．故选B．
【分析】将方程ax2+bx+c=0的解理解为函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时自变量x的值，即图像与x轴交点的横坐标，再解答．
4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
x
…
－1
0
1
3
…
y
…
－3
1
3
1
…
则下列判断中正确的是(??
)
A.?抛物线开口向上??????????????????????????????????????????????????B.?抛物线与y轴交于负半轴
C.?当x＝4时，y＞0?????????????????????????????????????????????????D.?方程ax2＋bx＋c＝0的正根在3与4之间
【答案】
D
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】如果将已知任意三点代入y＝ax2＋bx＋c中求解，那么计算量较大，而由表格知，当x＝0和x＝3时y＝1，故抛物线对称轴为直线
，结合已知点可画y＝ax2＋bx＋c的草图（如图所示），根据图象知A、B、C错．
故答案为：D．
【分析】根据表格数值可分析判断图像对称轴为。函数值先增大后减小，故函数开口方向向下。根据各点坐标，粗略画出函数图像，即可对选项进行判断。
5.函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（??　）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】
B
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】抛物线y=x2+bx+c与x轴没有交点，所以判别式△=b2-4ac=b2-4c＜0,所以结论①错误；因为点（1,1）在抛物线上，所以将x=1,y=1代入抛物线解析式得：b+c+1=1,所以结论②错误；由于点（3,3）在抛物线上，所以将x=3,y=3代入抛物线解析式得：9+3b+c=3,化简得：3b+c+6=0,所以结论③正确；当1＜x＜3时，直线在抛物线上方，所以有：x＞x2+bx+c,化简得：x2+(b-1)x+c＜0,所以结论④正确.
故选B.
6.二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1
，
0），B（x2
，
0），且x1＜x2
，
点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（　　）
A.?当n＜0时，m＜0??????B.?当n＞0时，m＞x2??????C.?当n＜0时，x1＜m＜x2??????D.?当n＞0时，m＜x1
【答案】
C
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵a=1＞0，
∴开口向上，
∵抛物线的对称轴为：x=﹣
，
二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1
，
0），B（x2
，
0），且x1＜x2
，
无法确定x1与x2的正负情况，
∴当n＜0时，x1＜m＜x2
，
但m的正负无法确定，故A错误，C正确；
当n＞0时，m＜x1
或m＞x2
，
故B，D错误，
故选C．
?
【分析】首先根据a确定开口方向，再确定对称轴，根据图象分析得出结论．
二、填空题
7.如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P在点Q的右侧，如果点P的坐标为（4，0），那么点Q的坐标为________．
【答案】
（﹣2，0）
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点P的坐标为（4，0），
∴点Q的横坐标为1×2﹣4＝﹣2，
∴点Q的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐即可；
8.二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，当函数值y＜0时，对应x的取值范围是________．
【答案】
﹣3＜x＜1
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题，二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：解：由图象可知，当﹣1＜x＜3时，函数图象在x轴的下方，y＜0．
故答案为﹣3＜x＜1
【分析】根据y＜0，则函数图象在x轴的下方，所以找出函数图象在x轴下方的x的取值范围即可
9.已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2009的值为________．
【答案】2010
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1=0，
∴m2﹣m=1，
∴原式=1+2009=2010．
故答案为：2010．
【分析】把点（m，0）代入抛物线y=x2﹣x﹣1求出m2﹣m的值，再代入所求代数式进行计算即可．
10.若关x的函数y＝kx2＋2x－1的图像与x轴仅有一个交点，则实数k的值为________。
【答案】
0或-1
【考点】一次函数的图象，二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令y=0，则kx2+2x-1=0.
????????????
∵关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个交点，
????????????
∴关于x的方程kx2＋2x－1=0只有一个根.
???????????
①当k=0时，2x-1=0，即x=
，
∴原方程只有一个根，∴k=0符合题意；
???????????
②当k0时，=4+4k=0，
????????????
解得，k=-1.
???????????
综上所述，k=0或-1.
???????????
故答案为0或-1.
【分析】令y=0，则关于x的方程kx2+2x-1=0只有一个根，所以k=0或根的判别式=0，借助于方程可以求得实数k的值.本题考查了抛物线与x轴的交点，解题时，需要对函数y＝kx2＋2x－1进行分类讨论：一次函数和二次函数时，满足条件的k的值.
11.如图所示的二次函数
的图象中，观察得出了下面五条信息：
①
；②
；③
；④
；⑤
，
你认为其中正确信息的个数有________个.
【答案】
4
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】①∵图象开口向下，∴a＜0，
∵对称轴x=-
=
∴3b=2a，则a=
∴b＜0，∵图象与x轴交与y轴正半轴，
∴c＞0，∴abc＞0，故答案为：选项①错误；选项⑤正确；
②由图象可知：当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故此选项正确；
③当x=-1时，y=
a-b+c＞0，∴
-b+c＞0，∴b+2c＞0，故此选项正确；
④当x=-
时，y＞0，∴
＞0，∴a-2b+4c＞0，故此选项正确．
故正确的有4个．
【分析】（1）由图象开口向下可得a＜0，对称轴＜0，则b＜0，图象与x轴交与y轴正半轴，则c＞0，综上abc＞0；（2）当x=1时，y＜0，将x=1代入二次函数解析式可得a+b+c＜0；（3）当x=-1时，y=
a-b+c＞0，再根据a=
将a代换为b即可得b+2c＞0；（4）将x=代入化简得a-2b+4c＞0。
12.如图，已知二次函数y=
x2﹣
x﹣3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D，作直线CD，点P是抛物线对称轴上的一点，若以P为圆心的圆经过A，B两点，并且和直线CD相切，则点P的坐标为________
【答案】
（4，0）或（4，
）
【考点】待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点问题，切线的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：当y=0时，
x2﹣
x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=9，则A（﹣1，0），B（9，0），
当x=0时，y=
x2﹣
x﹣3=﹣3，则C（0，﹣3），
∵y=
x2﹣
x﹣3=
（x﹣4）2﹣
，
∴抛物线的对称轴为直线x=4，D点坐标为（4，﹣
），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（0，﹣3），D（4，﹣
）代入得
，解得
，
∴直线CD的解析式为y=﹣
x﹣3，
过P点作PH⊥直线CD于H，连结PB，CD交x轴于E点，抛物线的对称轴交x轴于F点，如图，则F（4，0），E（﹣
，0），
∴EF=4﹣（﹣
）=
，FB=
，
∴DE=
=
，
设P（4，t），则PD=t+
，PB=
=
，
∵以P为圆心的圆经过A，B两点，并且和直线CD相切，
∴PH=PB=
，
∵∠PDH=∠EDF，
∴Rt△DPH∽Rt△DEF，
∴
=
，即
=
，
整理得8t2﹣75t=0，解得t1=0，t2=
，
∴P点坐标为（4，0）或（4，
）．
故答案为（4，0）或（4，
）．
【分析】利用抛物线与坐标的交点问题求出A、B、C点的坐标，再把抛物线解析式配成顶点式得到抛物线的对称轴方程和D点坐标，则可利用待定系数法求出CD的解析式，过P点作PH⊥直线CD于H，连结PB，CD交x轴于E点，抛物线的对称轴交x轴于F点，如图，易得F和E点坐标，设P（4，t），于是根据切线性质得到PH=PB，然后证明Rt△DPH∽Rt△DEF，通过相似比建立t的方程，再方程求出t即可得到P点坐标．
三、解答题
13.已知二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求m的值；
（2）求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．
【答案】
（1）将A点坐标（﹣4，0）代入y=x2+3x+m得：16﹣12+m=0，解得：m=﹣4；
（2）当x=0时，则：y=﹣4，∴函数图象与y轴的交点为（0，﹣4）．
令y=0，则x2+3x﹣4=0，解得：x1=1，x2=﹣4，∴函数图象与x轴的另一个交点为（1，0）．
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入
二次函数y=x2+3x+m
即可算出m的值从而得出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线与x轴交点的纵坐标为0，将y=0代入即可算出对应的自变量的值，从而求出其与x轴交点的坐标；根据抛物线与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入即可算出对应的函数值，从而求出其与y轴交点的坐标。
14.如图，A（-1，0）、B（2，-3）两点在一次函数y2=-x+m与二次函数y1=ax2+bx-3的图象上。
（1）求一次函数和二次函数的解析式；
（2）请直接写出y2＞y1时，自变量x的取值范围．
【答案】
（1）解：把A（-1，0）代入y=-x+m得1+m=0，解得m=-1，
∴一次函数解析式为y=-x-1；
把A（-1，0）、B（2，-3）代入y=ax2+bx-3得
，解得
，
∴抛物线解析式为y=x2-2x-3。
（2）解：当-1＜x＜2时，y2＞y1。
【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点的坐标代入解析式，可解出m、a、b的值，得出一次函数解析式。
（2）根据解析式与图像的交点，可得出x的取值范围。
15.二次函数y＝－3x2平移后得到得新函数图象与y轴交点纵坐标为3，对称轴为直线x＝2，求这个新函数的解析式．
【答案】
解：设新的函数解析式为：
，
∵平移后与y轴交点纵坐标为3，
∴c=3，
∵对称轴为直线x＝2，
∴
，
∵a=-3，
∴b=12，
∴新函数解析式：
【考点】二次函数图象的几何变换，待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】设新的函数解析式为：
，根据题目要求分别求出b和c即可得出新的函数解析式．
16.已知抛物线y=﹣2x2﹣x+6．
（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；
（2）x取何值时，y＜0？
【答案】
（1）解：y=﹣2x2﹣x+6=﹣2（x2+
x+
）+
+6=﹣2（x+
）2+
，
顶点坐标（﹣
，
），
对称轴是直线x=﹣
（2）解：令y=0，即﹣2x2﹣x+6=0，
解得x=﹣2或
，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜﹣2或x＞
时，y＜0
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质，二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）配方得到顶点式，然后根据y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，由此确定顶点坐标和对称轴即可；
（2）先令y=0，求出x的值，再根据抛物线的开口方向分析即可.
17.已知二次函数y=2x2﹣8x．
（1）用配方法将y=2x2﹣8x化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左侧）；
（3）将该二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，请直接写出得到的新图象的函数表达式．
【答案】
解：（1）y=2x2﹣8x=2（x2﹣4x+4﹣4）=2（x﹣2）2﹣8；
（2）在y=2x2﹣8x中令y=0，则2x2﹣8x=0，解得：x1=0，x2=4，
则A的坐标是（0，0），B的坐标是（4，0）；
（3）y=2（x﹣2）2﹣8沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位后的解析式是：y=2x2﹣5．
【考点】二次函数图象的几何变换，二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）利用配方法即可直接求解；
（2）在解析式中令y=0，求得x即可求得A和B的横坐标；
（3）根据二次函数的平移法则即可直接写出平移后的解析式．
18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为（3,0），与
轴交于点C（0,-3），顶点为D。
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标。
（2）联结AC，BC，求∠ACB的正切值。
（3）点P是x轴上一点，是否存在点P使得△PBD与△CAB相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
（4）M是抛物线上一点，点N在
轴，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】
（1）解：∵抛物线过点B（3，0）C（0，-3）
∴
解得：
∴抛物线解析式为：y=
-2x-3；
又∵
y=-2x-3=
-4；
∴顶点D的坐标为：D（1，-4）。
（2）解：作AH⊥BC于点H
∵
-2x-3=0
解得：
=-1,
=3
∴A(-1,0)
又∵OB=OC,∠B0C=90°
∴∠OBC=45°
∵AB=4
∴AH=BH=2
∵BC=3
∴CH=
∴tan∠ACB==2
（3）解：作DG⊥OB于点G
∵BG=2,DG=4
∴tan∠DBG=2
∵tan∠ACB=2
∴∠DBG=∠ACB
当点P在点B的右侧时，∠PBD＞90°,
∴△PBD为钝角三角形与△CAB不相似
∴点P在点B的左侧
∴△PBD∽△CAB，且∠DBG=∠ACB
∴
或
∵BD=2
∴BP=
或BP=6
∴P（-
，0）或P（-3，0）
（4）解：存在；N的坐标为：(2+,0);
(2-,0)
;
(-3,0)
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）把点B与点C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解，把解析式整理成顶点式即可写出顶点坐标；（2）首先得出A点坐标，进而得出∠OBC=45°，BC=3
，
再过点A做AH⊥BC,垂足为H，利用
tan∠ACB=,求出即可；（3）根据平行四边形对边平行且相等的性质得出M及N点坐标；检验即可得出答案。
四、综合题
19.如图，抛物线
与直线
分别交于A、B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C,连接AC,BC.已知A(0,3),C(-3,0)
（1）求抛物线的解析式;
（2）在抛物线对称轴l上找一点,使|MB-MC|的值最大,并求出这个最大值;
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA,交y轴于点Q，问是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.若存在，求出所有符合条件的点P;若不存在，请说明理由。
【答案】
（1）如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点P作PG⊥y轴于G点，∠APQ=90°，
将A(0,3),
c(-3,0)代入,
?得：,
解得：,
∴抛物线的解析式为：y=x2+x+3.
（2）解：由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称，
∴对l上任意一点有MD=MC，
联立方程组,
解得（舍去），或
，
∴B（-4,1），
当B、C、M共线时，
|MB-MC|
取最大值，即BC的长，
在Rt△BEC中，
BC==
，
∴
|MB-MC|的值最大值为?；
（3）解：存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
在Rt△BEC中，∵BE=CE=1，
∴∠BCE=45°，
在Rt△ACO中，
∴AO=CO=3，
∴∠ACO=45°，
x2+x+3?,（x>0）,
①当∠PAQ=∠BAC时，
△PAQ∽△CAB，
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，
∴△PGA∽△BCA，
∴
，
即
，
∴,
解得x=1或0（舍去），
∴y=×12+×1+3=6，
∴P（1,6）;
②当∠PAQ=∠ABC时，
△PAQ∽△CBA，
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC，
∴△PGA∽△CBA，
∴
，
即
，
∴,
解得x=-(舍去)或0（舍去），
此时无符合条件的点P，
综上，存在点P（1,6）.
【考点】待定系数法求二次函数解析式，轴对称的性质，二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据对称性，可得MC=MD
，
根据解方程组，可得B点坐标，根据两边之差小于第三边，可得B
，
C
，
M共线，根据勾股定理，可得答案；
（3）根据等腰直角三角形的判定，可得∠BCE
，
∠ACO
，
根据相似三角形的判定与性质，可得关于x的方程，根据解方程，可得x
，
根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
20.如图，已知点A的坐标为
，直线
与x轴，y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线过
过A、B、C三点.
（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标
（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标
（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作
，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为
秒
当
秒
为何值时，存在
为等腰直角三角形
【答案】
（1）令
代入
，
，
，
令
代入
，
，
设抛物线的解析式为：
，
把
代入
，
，
抛物线的解析式为：
，
顶点D的坐标为
；
（2）当
时，
此时四边形DEFP是平行四边形，
设直线DP的解析式为
，
直线BC的解析式为：
，
，
，
把
代入
，
，
直线DP的解析式为
，
联立
，
解得：
或
舍去
，
把
代入
，
，
的坐标为
（3）由题意可知：
，
设直线AC的解析式为：
，
把
和
代入
，
得：
，
解得
，
直线AC的解析式为：
，
由题意知：
，
如图1，当
，
，
令
代入
，
，
，
轴，
的纵坐标为
，
把
代入
，
，
，
，
，
∽
，
，
，
当
时，
，
，
此时
，符合题意，
如图2，当
时，
，
点Q的坐标为
令
代入
，
，
，
轴，
点M的纵坐标为
，
令
代入
，
，
，
，
，
∽
，
，
，
当
时，
，
，
此时
，符合题意
如图3，当
，
过点Q作
于点E，
过点M作
轴于点F，
设
，
令
代入
，
，
，
令
代入
，
，
，
，
当
时，
，
，
，
，
∽
，
，
，
，
，此情况符合题意，
综上所述，当
为等腰直角三角形时，此时
或
或
【考点】待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）分别令
和
代入
即可求出B和C的坐标，然后设抛物线的交点式为
，最后把C的坐标代入抛物线解析式即可求出a的值和顶点D的坐标；（2）若四边形DEFP为平行四边形时，则
，设直线DP的解析式为
，可得m的值，求出直线DP的解析式后，联立抛物线解析式和直线DP的解析式即可求出P的坐标；（3）由题意可知，
，若
为等腰直角三角形，则共有三种情况，
；
；
.

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