资源简介

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
专题十四
二次函数(一)
【学习目标】
1.
会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
2.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
3.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【要点梳理】
要点一、二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴
抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
要点诠释：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点二、二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点诠释：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
要点三、二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
要点四、求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
要点诠释：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
专题十四
二次函数(一)
专项训练
一、单选题
1.下列函数关系式中，属于二次函数的是（???
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
2.把抛物线
向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为
(????
)
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
3.抛物线y＝x2﹣6x+11的顶点为（??
）
A.?（﹣3，2）????????????????????????B.?（3，2）????????????????????????C.?（6，﹣2）????????????????????????D.?（3，12）
4.下列函数的图象，一定经过原点的是（????）
A.?y=x2－1?????????????????????????????B.?y=3x2－2x?????????????????????????????C.?y=2x+1?????????????????????????????D.?y=
5.抛物线y=（m﹣1）x2﹣3的图象开口向下，则m的取值范围是（??
）
A.?m≠1?????????????????????????????B.?m＞1?????????????????????????????C.?m＜1?????????????????????????????D.?m可取一切实数
6.若二次函数y＝ax2＋bx－1的最小值为－3，则方程|ax2＋bx－1|＝2的不相同实数根的个数是（?
?）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
7.函数
与y=-mx2+m(m≠0)在同一直角坐标系中的大致图象可能是（??
）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
二、填空题
8.将抛物线
先右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是________．
9.下列函数：①y＝3x2；②y＝-3（x+3）2；③y＝-3x2-1；④y＝-2x2+5；⑤y＝-（x-1）2
，
其中函数图象形状、开口方向相同的是________.
10.二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为________
.
11.已知二次函数y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线x=4，则f（1）________?f（5）（填“＞”或“＜”）
12.已知二次函数
的图象经过原点，则
的值为________.
13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有________．
14.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B.
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（
，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为
.
其中正确判断的序号是________.
三、解答题
15.已知
+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴
16.已知函数y=（m+2）+1是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
17.如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x＝2，顶点为D.求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积.
18.若函数y=（m+1）x
是二次函数，求m的值．
19.如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A（－4，0），B（－2，0），E（0，8）。
（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；
（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C、D两点（点C在点
D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S。若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M、点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止。求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
20.已知二次函数y＝x2﹣4x+3.
①求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
②求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点；
③直接写出y＞0时x的范围
四、综合题
21.已知抛物线
y
=
x2
+bx
+
c
经过点（-1，
0），
（3，
0）.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
22.已知点
在二次函数
的图象上，且当
时，函数y有最小值2.
（1）求这个二次函数的表达式.
（2）如果两个不同的点
，
也在这个函数的图象上，求
的值.(
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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专题十四
二次函数(一)
【学习目标】
1.
会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
2.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
3.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【要点梳理】
要点一、二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴
抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
要点诠释：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点二、二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点诠释：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
要点三、二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
要点四、求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
要点诠释：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
专题十四
二次函数(一)
专项训练
一、单选题
1.下列函数关系式中，属于二次函数的是（???
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
【答案】
D
【考点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y=2x+1是一次函数，故A不符合题意；
B、y=x2+不是二次函数，故B不符合题意；
C、y=（x+2）（x-1）-x2=x2+x-2-x2=x-2，此函数是一次函数，故C不符合题意；
D、y=x2-1是二次函数，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a≠0），y是x的二次函数，再对各选项逐一判断。
2.把抛物线
向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为
(????
)
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
【答案】
A
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】抛物线y=x2向右平移1个单位，得
y=(x-1)2
，
再向上平移3个单位，得
y=(x-1)2+3，
即平移后的抛物线解析式为y=(x-1)2+3.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”，按照题意改写解析式即可。
3.抛物线y＝x2﹣6x+11的顶点为（??
）
A.?（﹣3，2）????????????????????????B.?（3，2）????????????????????????C.?（6，﹣2）????????????????????????D.?（3，12）
【答案】
B
【考点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】
∴顶点坐标为（3,2）
故答案为：B.
【分析】通过配方法将抛物线配成顶点式.根据顶点式即可求出顶点坐标.
4.下列函数的图象，一定经过原点的是（????）
A.?y=x2－1?????????????????????????????B.?y=3x2－2x?????????????????????????????C.?y=2x+1?????????????????????????????D.?y=
【答案】
B
【考点】反比例函数的图象，二次函数图象与系数的关系，一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】?
【解答】图像经过原点，即过点（0,0)
代入分析
A中，x=0时，y=-1，不符合题意；
B中，x=0时，y=0，符合题意；
C中，x=0时，y=1，不符合题意；
D中，是反比例函数，不符合题意。
故选B.
【点评】函数图像上各点的带入分析是考查的常考点也是重点，考生只需把各点带入分析即可。
5.抛物线y=（m﹣1）x2﹣3的图象开口向下，则m的取值范围是（??
）
A.?m≠1?????????????????????????????B.?m＞1?????????????????????????????C.?m＜1?????????????????????????????D.?m可取一切实数
【答案】
C
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：因为抛物线y=（m﹣1）x2﹣3的图象开口向下，
所以m﹣1＜0，即m＜1．
故选C．
【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数m﹣1＜0．
6.若二次函数y＝ax2＋bx－1的最小值为－3，则方程|ax2＋bx－1|＝2的不相同实数根的个数是（?
?）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
【答案】
C
【考点】二次函数的最值，二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】由题意可知，二次函数
的图象开口向上，经过定点
，最小值为-3，
则二次函数
的大致图象如图1所示，
函数
的图象则是由二次函数
位于x轴上方的图象不变，位于x轴下方的图象向上翻转得到的，如图2所示，
由图象可知，方程
的不相同实数根的个数是4个
故答案为：C．
【分析】根据二次函数y＝ax2＋bx－1可求出经过定点
，
再作图求解即可。
7.函数
与y=-mx2+m(m≠0)在同一直角坐标系中的大致图象可能是（??
）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
【答案】
B
【考点】反比例函数的图象，二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当m>0时，反比例函数
经过第一、三象限，-m<0，二次函数开口向下，且其对称轴为y轴，与y轴相交位于y轴的正半轴，故选项B正确；
当m<0时，反比例函数
经过第二、四象限，-m>0，二次函数开口向上，且其对称轴为y轴，与y轴相交位于y轴的负半轴，但是选项中没有.
故答案为：B.
【分析】分情况讨论：当m＞0；当m＜0时，可以分别得出一次函数和二次函数图像的位置，再对各选项逐一判断即可。
二、填空题
8.将抛物线
先右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是________．
【答案】
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线
的顶点坐标为（－3，－4），把点（－3，－4）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到对应点的坐标为（－1,－1），所以平移后的抛物线解析式为
．
故答案为
．
【分析】先求出顶点坐标为（－3，－4），利用平移的方向和距离得出平移后的顶点坐标（-1，-1），利用抛物线的顶点式写出平移后的解析式即可.
9.下列函数：①y＝3x2；②y＝-3（x+3）2；③y＝-3x2-1；④y＝-2x2+5；⑤y＝-（x-1）2
，
其中函数图象形状、开口方向相同的是________.
【答案】
②③
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①y＝3x2；②y＝-3（x+3）2；③y＝-3x2-1；④y＝-2x2+5；⑤y＝-（x-1）2
，
图象形状、开口方向相同的是②③；
故答案为：②③.
【分析】根据抛物线的图象与系数的关系可知：二次项的系数决定抛物线的开口方向及开口大小，从而即可一一判断得出答案.
10.二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为________
.
【答案】
【考点】菱形的性质，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连结BC交OA于D，如图，
∵四边形OBAC为菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠OBA=120°，
∴∠OBD=60°，
∴OD=BD，
设BD=t，则OD=t，
∴B（t，t），
把B（t，t）代入y=x2得t2=t，解得t1=0（舍去），t2=1，
∴BD=1，OD=
，
∴BC=2BD=2，OA=2OD=2
，
∴菱形OBAC的面积=?×2×2=2
．
故答案为2
．
【分析】连结BC交OA于D，如图，根据菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD=BD，设BD=t，则OD=t，B（t，t），利用二次函数图象上点的坐标特征得t2=t，解得t1=0（舍去），t2=1，则BD=1，OD=
，
然后根据菱形性质得BC=2BD=2，OA=2OD=2
，
再利用菱形面积公式计算即可．
11.已知二次函数y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线x=4，则f（1）________?f（5）（填“＞”或“＜”）
【答案】
＞
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线x=4，
∴当x的取值越靠近4函数值就越小，反之越大，
∴f（1）＞f（5），
故答案为：＞．
【分析】根据对称轴及开口方向确定其增减性即可确定答案．
12.已知二次函数
的图象经过原点，则
的值为________.
【答案】
2
【考点】二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】根据题意得：m(m?2)=0，
∴m=0或m=2，
∵二次函数的二次项系数不为零，所以m=2.
故填2.
【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m-2）=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0.
13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有________．
【答案】
①③④
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵﹣
＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故此选项正确；
②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，故a+c＞b，错误；
③当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣
=1，
即b=﹣2a，代入得9a﹣6a+c＜0，得3a+c＜0，故此选项正确；
④当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项正确．
故①③④正确．
故答案为：①③④．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.
14.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B.
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（
，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为
.
其中正确判断的序号是________.
【答案】
①③④
【考点】二次函数图象的几何变换，轴对称的应用-最短距离问题，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，
∵△＝4﹣4＝0，
∴此方程两个相等的实数根，
则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为
，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，
又∵﹣2＜0
，且点M（﹣2，y1）、点N（
，y2）、点
在该函数图象上，
∴y2＞y3＞y1
，
故②错误；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位所得抛物线的解析式为：
，
即y＝﹣（x+1）2+m，故③正确；
④当m＝1时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2，
∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），
作点B关于y轴的对称点
，
作C点关于x轴的对称点
，
连接
，与x轴、y轴分别交于D、E点，
相交于
，如图所示：
则
，
根据两点之间线段最短，知
最短，而BC的长度一定，
∴此时，四边形BCDE周长的最小值为
，
即
，
故④正确；
故答案为：①③④.
三、解答题
15.已知
+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴
【答案】
解：由题意得
解得
m=-1，
开口向下，顶点坐标
，对称轴
【考点】二次函数的定义，二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】二次函数中自变量的最高次数为二次且二次项系数不为0，故可求得m的值；从而可求得所给二次函数的解析式，再将解析式配方为顶点式：
，
那么a>0时，抛物线开口向上，a<0时抛物线开口向下；顶点坐标为（h，k）；对称轴为x=h.
16.已知函数y=（m+2）+1是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
【答案】
解：（1）∵函数y=（m+2）+1是关于x的二次函数，
∴m2+m﹣4=2，
解得：m1=2，m2=﹣3；
（2）当m=2时，抛物线有最低点，
此时y=4x2+1，
则最低点为：（0，1），
当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）当m=﹣3时，函数有最大值，
此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值为1，
当x＞0时，y随x的增大而减小．
【考点】二次函数的定义
【解析】【分析】（1）利用二次函数的定义得出关于m的等式进而得出答案；
（2）利用二次函数的性质得出m的值；
（3）利用二次函数的性质得出m的值．
17.如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x＝2，顶点为D.求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积.
【答案】
解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
把A（1，0），C（0，6）代入得：
，
解得：
，
则二次函数解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2＝2x2﹣8x+6；
∵y＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点D的坐标为（2，﹣2），
由A（1，0），对称轴为直线x＝2可知另一个与x轴的交点B（3，0），
∴AB＝2，
∴S四边形ADBC＝S△ABD+S△ABC＝
＝8.
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】根据二次函数的对称轴为直线x＝2，设出二次函数解析式，把A与C坐标代入求出a与k的值，确定出二次函数解析式；然后将解析式配成顶点式找出函数图象顶点D的坐标，进而根据对称性求得B的坐标，根据S四边形ADBC＝S△ABD+S△ABC求得即可.
18.若函数y=（m+1）x
是二次函数，求m的值．
【答案】
解：依题意：m2﹣2m﹣1=2，
解得m1=3，m2=﹣1．
∵m+1≠0，
∴m=3
【考点】二次函数的定义
【解析】【分析】根据二次函数定义可得m2﹣2m﹣1=2且m+1≠0，再解即可．
19.如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A（－4，0），B（－2，0），E（0，8）。
（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；
（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C、D两点（点C在点
D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S。若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M、点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止。求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）、设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx+c
∵抛物线C1与坐标轴的交点依次是A（－4，0），B（－2，0），E（0，8）
∴把x=-4,y=0与x=-2,y=0和x=0,y=8分别代入到解析式中，可得：
解之得：
∴抛物线C1的解析式为y=x2+6x+8
如图所示，抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的大致图像为：
与抛物线C1的解析式为y=x2+6x+8比较可知，抛物线C2的解析式应为为-y=（-x）2+6（-x）+8即y=-x2+6x-8
（2）、如图所示。四边形MDNA的面积为S。若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M、点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止。可知A与D、M与N的运动各自具有对称性。
∵抛物线C1与坐标轴的交点依次是A（－4，0），B（－2，0），抛物线C1与抛物线C2关于原点对称
∴C（2，0）；D（4，0）；N（0,1）且四边形MDNA的面积为S=2S△AND
做NP⊥x轴，垂足为P，则NP=1。当运动时间为t时，AD=8-2t,NP=1+2t
∴四边形MDNA的面积为S=2S△AND=2××（8-2t）（1+2t）
即S=-4t2+14t+8
很显然，当A、D两点运动至原点位置处重合，此时，t==4秒
∴自变量t的取值范围为0≤t≤4
考虑到当t=4秒时，四边形MDNA将汇集成一条线段，故t=4秒应当舍去。
综上所述，四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式为S=-4t2+14t+8，且自变量t的取值范围为0≤t＜4
（3）对于S=-4t2+14t+8，配方可得：S=-4（t-）2+
∵-4（t-）2≤0
∴当t-=0即t=时，S有最大值，且最大值为
（4）在运动过程中，四边形MDNA能形成矩形。
当运动时间为t时，AD=8-2t，而的坐标为M（-3,-1-2t），N（3,1+2t）
∴此时线段MN的长度为MN=
根据矩形的对角线相等的性质，当MN=AD时，四边形MDNA能形成矩形。
∴=解之得：t=
当t=时，t＜0，不符合题意，故舍去。
∴t=
故知，在运动过程中，当t=时，四边形MDNA能形成矩形。
【考点】二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点，与二次函数有关的动态几何问题
【解析】【解答】先求出抛物线C1的解析式，再根据中心对称图形的特点求抛物线C2的解析式；建立面积与时间的关系，再进行分析得出时间的变化范围；极值问题实际上是二次函数配方后的最大（小）值；根据矩形的判定方法建立关系，从而得解。
【分析】这是一道关于二次函数、二元一次方程、根式方程、直角坐标系等的综合性试题。
20.已知二次函数y＝x2﹣4x+3.
①求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
②求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点；
③直接写出y＞0时x的范围
【答案】
解：①∵二次函数y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴该函数图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）；
②当x=0时，y=3，
当y=0时，0=x2﹣4x+3=（x﹣3）（x﹣1），得x1=3，x2=1，
即该函数图象与坐标轴的交点为（0，3），（1，0），（3，0）；
③∵二次函数y=x2﹣4x+3的图象开口向上，与x轴的交点为（1，0），（3，0），
∴y＞0时x的取值范围是x＜1或x＞3.
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax^2的图象
【解析】【分析】①把二次函数的一般形式改写为顶点式可得对称轴和顶点坐标；
②二次函数与x轴交点的纵坐标为0，故令y=0，求解?一元二次方程x2﹣4x+3
=0即可；
③求出二次函数的图象在x轴上方部分相应的自变量的取值范围即可.
四、综合题
21.已知抛物线
y
=
x2
+bx
+
c
经过点（-1，
0），
（3，
0）.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
【答案】
（1）解：由题意得
解之：
∴此函数解析式为：y=x2-2x-3
∴抛物线的对称轴为直线x=.
（2）解：∵a=1＞0
∴当x≤1时y随x的最大而减小.
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将已知两点坐标代入函数解析式，建立关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，即可得到函数解析式，利用函数解析式可求出抛物线的对称轴。
（2）利用a的值，可知抛物线的开口向上，由此可求出y随x的最大而减小时自变量x的取值范围。
22.已知点
在二次函数
的图象上，且当
时，函数y有最小值2.
（1）求这个二次函数的表达式.
（2）如果两个不同的点
，
也在这个函数的图象上，求
的值.
【答案】
（1）解：设y=a(x-1)2+2,
∴3=a(0-1)2+2,
解得a=1,
∴y=(x-1)2+2=x2-2x+3.
（2）解：∵对称轴方程：x-1=0,即x=1,
∵yC=yD,
∴?,
∴m+n=2.
【考点】二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）根据顶点式设函数的解析式为y=a(x-1)2+2,
代入点（0,3）即可求出a值，则知函数解析式；
（2）根据二次函数图象的坐标特点，可得?,则m+n值可求.

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