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第2课时　排列的应用
[目标] 1.能分析排列的意义，并能用它们解决一些简单的应用问题.2.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法．
[重点] 排列的简单应用与有限制条件的排列．
[难点] 排列的综合应用．
知识点　　排列的应用
[填一填]
1．无限制条件的排列问题
没有限制条件的排列问题，即对所排列的“元素”或所排列的“位置”没有特别的限制，这一类题相对简单，分清“元素”和“位置”即可．
2．有限制条件的排列问题
对于有限制条件的排列问题，先考虑安排好特殊元素(或位置)，再安排一般的元素(或位置)，即先特殊后一般，一般用直接法．也可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，此方法是间接法．
[答一答]
1．解简单的排列应用题的基本思想是什么？
提示：
2．处理有限制条件的排列问题常用什么方法？
提示：有限制条件的排列问题常用的方法有“直接法”和“间接法”(又称排除法)．当问题的正面分类较多或计算较复杂而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”．而用“直接法”解有限制条件的排列问题的基本方法有：元素分析法——即以元素为主，优先考虑特殊元素，再考虑其他元素；位置分析法——即以位置为主，优先考虑特殊位置，再考虑其他位置．另外针对具体情况还有下列常用技巧．
(1)“捆绑”排列问题
排列问题中诸如将某些元素必须安排在一起(如相邻)的问题，我们称之为“捆绑”排列问题，也称为“集团排列”问题，即先排“集团内部”的元素，再把它们看成一个整体作为一个大“元素”，与其他元素一起排列．
(2)间隔排列问题——“插空”法
我们把排列中部分元素不能相邻的排列问题称为间隔排列问题，解决间隔排列问题的常用方法是“插空”法，也就是先排不需要间隔(可以相邻)的元素，再将需要间隔的元素用插空方式插入排列即可．
(3)某些元素顺序确定的排列问题
在某些排列问题中，某些元素的前后顺序是固定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有整体法，即若有m＋n个元素排成一列，其中有m个元素之间的顺序固定不变，将这m＋n个元素任意排成一列，共有A种不同的排法，其中顺序不变的m个元素在任意排列时有A种不同的排法，而这m个元素的排列顺序固定不变只有一种，故共有种不同的排法．
1．有限制条件的排列应用题
(1)注意排列的有序性．
(2)对受限制条件的位置与元素首先排列，并适当选用直接法或间接法．
(3)从位置出发的“填空法”和不相邻问题的“插空法”是解答排列应用题中常用的有效方法．某些元素的相邻问题，常用“捆绑法”，先看成一个元素．
(4)要注意通过排列应用题，深化对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解，培养“全局分类”和“局部分步”意识．
2．排列综合问题
解答排列综合应用题时，首先要认真审题，准确理解题意，从而建立排列模型；其次，在具体分析解决问题时，要善于综合运用上述所讲的方法；最后，对于情景比较新颖的问题，既要善于综合运用所学的思想方法(如分类思想，整体思想等)解题，更要注意利用特例来分析问题，归纳总结出一般的规律．
类型一　　无限制条件的排列问题
【例1】　(1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？
(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？
【解】　(1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此不同的安排方法有A＝5×4×3＝60种．
(2)由题意知3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题．
由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事，所以由分步乘法计数原理得共有5×5×5＝125种报名方法．
　
解决此类问题，一是明确是否为排列问题，二是明确完成这件事是分类还是分步，还是既要分类又要分步.
(1)从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为(　C　)
A．5 B．10
C．20 D．60
解析：此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数，即共有A＝20种不同的送书方法．
(2)一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有(　D　)
A．240种 B．600种
C．408种 D．480种
解析：将4人排成一排，共有A种排法，产生5个空当，将五个空座位和一个空座位构成的两个元素插入，共有A种放法．由分步乘法计数原理知满足条件的坐法共有AA＝480(种)．
类型二　　元素的“在”与“不在”问题
【例2】　六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法．
(1)甲不站右端，也不站左端．
(2)甲、乙站在两端；
(3)甲不站左端，乙不站右端．
【解】　(1)方法1：特殊位置法
分两步：第一步：先排左、右两端有A种排法．
第二步：再排中间四个位置，有A种排法．
由分步乘法计数原理共有A·A＝480种站法．
方法2：特殊元素法
在这里甲是特殊元素，可先排甲，分两步：
第一步：先排甲，有A种排法；
第二步：排其他5人，有A种排法．
故共有AA＝480种站法．
方法三：间接法(排除法)
不考虑甲站位的要求，共有A种站法，其中甲站左端或右端的排列数为2A，于是符合题意的有A－2A＝480种站法．
(2)特殊位置法
分两步：第一步：先排两端，有A种站法；
第二步：再排中间四个位置，有A种站法，共有A·A＝48种站法．
同学们也可用“特殊元素法”解决．
(3)方法1：排除法
不考虑甲、乙站位的要求，共有A种站法，其中甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，而甲在左端，且乙在右端的站法有A种，故共有A－2A＋A＝504种站法．
方法2：直接法
从元素甲的位置进行考虑，可分两类：
第一类：甲站右端有A种站法．
第二类：甲站中间4个位置之一，可先排甲后排乙，再排其余4个，有A·A·A种站法，故共有A＋A·A·A＝504种站法．
　
此类“排队”问题和“排数”问题类似.主要是从特殊位置或特殊元素两个方面考虑，当正面考虑情况复杂时，考虑用排除法.
来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有(　A　)
A．48种 B．64种
C．72种 D．96种
解析：每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，裁判只能分为：中、英；中、瑞；英、瑞．三组中，中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，同一国家裁判可以互换，然后进行全排列，不同的安排方案总数有AAAA＝2×2×2×6＝48种．
类型三　“相邻”与“不相邻”问题
【例3】　三个女生和五个男生排成一排．
(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？
(2)如果女生互不相邻，有多少种不同排法？
(3)如果女生不站两端，有多少种不同排法？
【解】　(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A种排法，因此共有A·A＝4 320种不同排法．
(2)(插空法)先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法．
(3)法1：(位置分析法)因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法．
法2：(元素分析法)从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法．
法3：(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A·A种排法和女生排在末位的A·A种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有A·A种不同的排法，所以共有A－2AA＋AA＝14 400种不同的排法．
处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
(1)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　C　)
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
解析：完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有A种排法；第二步排列每个家庭中的三个成员，共有AAA种排法．由乘法原理可得不同的坐法种数有AAAA，故选C.
(2)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有480种．(用数字作答)
解析：先排除甲、乙外的4人，方法有A种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有A种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有A·A＝480(种)．
排列中为“定序”问题解决策略
【例4】　7个人站成一排，其中甲在乙前面(不一定相邻)，乙在丙前面，则共有多少种不同的站法？
【思路分析】　我们可以从整体角度出发，先不考虑甲、乙、丙三人的顺序，即7个人任意排，有A种不同的排法，在这所有排法中，任取一种排法，让其余四个人站在原位置不动，而甲、乙、丙3人任意交换位置，即这3个人进行全排列，共有A种不同的站法，而在这A种排法中仅有一种站法符合题意，且这所有的站法都是7个人进行全排列的某一种，因此我们把这7个人的全排列除以甲、乙、丙外的4个人的不同位置为分类标准进行分类，而每类中有A个排列，每类中有且仅有一个符合题意的排列，从而可求出所求的排列数，还可用插空法来求解．
【解】　解法1：先不考虑甲、乙、丙的顺序，任意排列共有A种，因为在上述排列中，每A种有且仅有一种恰好是符合甲、乙、丙按一定顺序排列，因此符合要求的排法共有A÷A＝840种．
解法2：7个位置中，除甲、乙、丙外的4个人排列有A种，然后将甲、乙、丙按规定顺序插入三个空当中，因此共有A＝840种．
【解后反思】　本例中，7个人站成一排时，甲必须在乙前面，乙在丙前面，也就是甲、乙、丙三人的顺序是确定的(顺序不变)．解决这类某些元素顺序确定的问题的基本方法有二：一是整体法，即若有m＋n个元素排成一列，其中有m个元素之间的顺序固定不变，将这m＋n个元素任意排成一列，共有A种不同的排法，然后任取一个排列，固定其他的n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，共有A种排法，其中只有一个排列是我们所需要的排列，因而共有种不同的排法．类似地还可推广到一般情形，如有m＋n＋k个元素排成一列，其中有m个元素之间的排序一定，而另外k个元素之间的顺序也一定，则共有种不同的排法．二是插空法，即“逐步插空法”．
某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．
(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？
(2)3位老年者与2位年轻的都要分别按从大到小的顺序出场，顺序有多少种？
解：(1)只要第一步先排好年轻的，共有A种方法，第二步排3位年老者只有一种排法，按分步计数原理有A×1＝20(种)排法．
(2)设合条件的排法共有x种，用(1)的方法可得：x·A·A＝A，解得x＝＝10(种)．
1．8名学生站成两排，前排3人，后排5人，则不同的站法共有(　A　)
A．A种 B．(A＋A)种
C．(A＋A)种 D.A种
2．从a，b，c，d，e五人中选2人分别参加数学和物理竞赛，但a不能参加物理竞赛，则不同的选法有(　A　)种．
A．16 B．12
C．20 D．10
解析：先选一人参加物理竞赛有A种方法，再从剩下的4人中选1人参加数字竞赛，有A种方法，共有A·A＝16种方法．
3．在数字1,2,3与符号?，λ五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是12.
解析：符号?，λ只能在两个数之间，这是间隔排列，排法有AA＝12种．
4．如图，将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有12种.
1 2 3
3 1 2
2 3 1
解析：只需要填写第一行和第一列，其余即确定了．因此共有AA＝12(种)．
5．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，求不同的排法的种数．
解：先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法．
再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．
因此共有A·A·1＝12(种)不同的排列方法．

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