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导数与函数的极值、最值
一、选择题
1．下列结论中，正确的是(　　)
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
C．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
D．如果在x0点附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
2．设函数f(x)＝＋ln x，则(　　)
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
3．已知函数f(x)＝x2－2(－1)k ln x(k∈N＋)存在极值，则k的取值集合是(　　)
A．{2,4,6,8，…} B．{0,2,4,6,8，…}
C．{1,3,5,7，…} D．N＋
4．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为(　　)
A．0 B.
C. D.
二、填空题
5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
6．设方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则实数k的取值范围是________．
7．已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
8．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－a)．
(1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．
9．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数y的极小值．
10．已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．
1．解析：根据极值的概念，左侧f′(x)>0，单调递增；右侧f′(x)<0，单调递减，f(x0)为极大值．
答案：B
2．解析：f′(x)＝－，令f′(x)＝0，即－＝0，得x＝2，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.
答案：D
3．解析：∵f′(x)＝2x－且x∈(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x2＝(－1)k，(*)
要使f(x)存在极值，则方程(*)在(0，＋∞)上有解．
∴(－1)k>0，又k∈N＋，∴k＝2,4,6,8，…，
所以k的取值集合是{2,4,6,8，…}．
答案：A
4．解析：f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在区间[2,4]上单调递减，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.
答案：C
5．解析：∵y＝ex＋ax，
∴y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，
即x＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.
答案：(－∞，－1)
6．解析：设f(x)＝x3－3x－k，则f′(x)＝3x2－3.
令f′(x)＝0，得x＝±1，且f(1)＝－2－k，f(－1)＝2－k，
又f(x)的图像与x轴有3个交点，
故
∴－2答案：(－2,2)
7．解析：由f(x)＝＋2ln x，得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0时，f′(x)>0.故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e.
答案：[e，＋∞)
8．解析：(1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0，得a＝，
此时有f(x)＝(x2－4)·，
f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0，得x＝或x＝－1.
又f＝－，f(－1)＝，
f(－2)＝0，f(2)＝0，
∴f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
9．解析：(1)y′＝3ax2＋2bx.
由题意，知即
解得
经检验符合题意，故a＝－6，b＝9.
(2)由(1)知y＝－6x3＋9x2.
所以y′＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．
令y′＝0，解得x1＝1，x2＝0.
所以当x<0时，y′<0；当00；
当x>1时，y′<0.
所以当x＝0时，y有极小值，其极小值为0.
10．解析：因为f(x)＝，x>0，
则f′(x)＝－，
当00，
当x>1时，f′(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)在x＝1处取得极大值．
因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在极值，
所以解得

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