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专题9.9.1
范围、最值问题重难点突破（理科）
一、考纲要求
1.理解并掌握圆锥曲线中范围问题；
2.理解并掌握圆锥曲线中最值问题；
二、考情分析
三、考点梳理
1.已知P是椭圆C：一点，F是该椭圆焦点，则；
2.已知P是双曲线C：一点，F是该椭圆焦点，则；双曲线C的焦点弦的最小值为
四、题型分析
重难点题型突破(一)
借助利用圆锥曲线定义与几何关系
例1、设分别为圆和椭圆上的点,则两点间的最大距离是(
)
A.
B.
C.
D.
【变式训练1-1】、已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为,.这两条曲线在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形.若,记椭圆与双曲线的离心率分别为、,则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练1-2】、以知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为
。
【变式训练1-3】、（2020届甘肃省兰州市高三诊断）已知点，抛物线，为抛物线的焦点，为抛物线的准线，为抛物线上一点，过作，点为垂足，过作的垂线，与交于点，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
重难点题型突破(二)
借助一个参数范围
例2、抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,又已知点,则的取值范围是
.
【变式训练2-1】、已知椭圆的离心率是，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线：
与圆相切：
（ⅰ）求圆的标准方程；
（ⅱ）若直线过定点，与椭圆交于不同的两点，与圆交于不同的两点，求的取值范围．
重难点题型突破(三)
借助题上的不等关系或隐含的不等关系
例3．（2020届湖南省衡阳市高三一模）已知，分别是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1】、已知椭圆的两个焦点为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，且，
求直线的斜率的取值范围.
重难点题型突破(四)
借助函数的值域
例4、已知抛物线（），直线与抛物线交于
(点在点的左侧)两点，且.
（1）求抛物线在两点处的切线方程；
（2）若直线与抛物线交于两点，且的中点在线段上，
的垂直平分线交轴于点，求面积的最大值.
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精品试卷·第
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专题9.9.1
范围、最值问题重难点突破（理科）
一、考纲要求
1.理解并掌握圆锥曲线中范围问题；
2.理解并掌握圆锥曲线中最值问题；
二、考情分析
三、考点梳理
1.已知P是椭圆C：一点，F是该椭圆焦点，则；
2.已知P是双曲线C：一点，F是该椭圆焦点，则；双曲线C的焦点弦的最小值为
四、题型分析
重难点题型突破(一)
借助利用圆锥曲线定义与几何关系
例1、设分别为圆和椭圆上的点,则两点间的最大距离是(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】：法一：转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加（半径）,,转化为二次函数，当时，取到最大值，选D。
法二：参数法。
【变式训练1-1】、已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为,.这两条曲线在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形.若,记椭圆与双曲线的离心率分别为、,则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为,,由于是以为底边的等腰三角形,若,即有,由椭圆的定义可得,由双曲线定义可得,即由,再由三角形的两边之和大于第三边,可得,可得,既有,由离心率公式可得,由于,则由,则的取值范围是,故选C.
【变式训练1-2】、以知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为
。
【解析】:，，即最小值为9。
【变式训练1-3】、（2020届甘肃省兰州市高三诊断）已知点，抛物线，为抛物线的焦点，为抛物线的准线，为抛物线上一点，过作，点为垂足，过作的垂线，与交于点，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
根据抛物线定义得，，则为的垂直平分线，
，.故选D。
重难点题型突破(二)
借助一个参数范围
例2、抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,又已知点,则的取值范围是
.
【答案】
【解析】由抛物线的定义可得,又,
,
当时,；当时,,
,当且仅当即时取等号,于是,
,,综上所述的取值范围是.
【变式训练2-1】、已知椭圆的离心率是，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线：
与圆相切：
（ⅰ）求圆的标准方程；
（ⅱ）若直线过定点，与椭圆交于不同的两点，与圆交于不同的两点，求的取值范围．
【解析】(1)
椭圆经过点，
，解得
，
，解得
∴椭圆的标准方程为
(2)
(i)圆的标准方程为,圆心为，
∵直线：
与圆相切，∴圆的半径,?
∴圆的标准方程为．
（ⅱ）由题可得直线的斜率存在,?设,
由消去整理得，
∵直线与椭圆交于不同的两点，
∴，解得．
设,?则
∴?
，
又圆的圆心到直线的距离,?
∴圆截直线所得弦长,?
，?
设则,?
,?
∵，∴
，∵的取值范围为．
重难点题型突破(三)
借助题上的不等关系或隐含的不等关系
例3．（2020届湖南省衡阳市高三一模）已知，分别是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】不妨设过点与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为，
与另一条渐近线的交点为，由是，
即有，又因为，故选D。
【变式训练3-1】、已知椭圆的两个焦点为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，且，
求直线的斜率的取值范围.
【解析】
（1）设椭圆，依题意得，
解得
，从而得椭圆.
（2）设直线，则
即，依题意有，
则
，消去得，
令，
则，所以在上递增，
所以，
由，得，所以直线的斜率的取值范围是
重难点题型突破(四)
借助函数的值域
例4、已知抛物线（），直线与抛物线交于
(点在点的左侧)两点，且.
（1）求抛物线在两点处的切线方程；
（2）若直线与抛物线交于两点，且的中点在线段上，
的垂直平分线交轴于点，求面积的最大值.
【解析】（1）由，令，得，所以，解得，
，由，得，故所以在点的切线方程为，即，同理可得在点的切线方程为.
（2）由题意得直线的斜率存在且不为0，
故设，
，
，由与联立，
得，
，
所以，
，
故.
又，所以，所以，
由，得且.
因为的中点为，所以的垂直平分线方程为，令，得，即，所以点到直线的距离，
所以
.
令，则，则，故.
设，则，结合，令，得；
令，得，所以当，即时，
.
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