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专题10.1
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、考纲要求
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；
2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
二、考情分析
三、考点梳理
知识点一
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.
知识点二
分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.
【特别提醒】分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
【知识必备】
分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.
1.分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.
2.分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.
四、题型分析
考点一
分类加法计数原理的应用
例1．（2020·新疆）电路如图所示，在A，B间有四个开关，若发现A，B之间电路不通，则这四个开关打开或闭合的方式有（
）
A．3种
B．8种
C．13种
D．16种
例2．（2021·南京市中华中学高三期末）三名学生分别从5门选修课中选修一门课程，不同的选法有（
）
A．125种
B．243种
C．60种
D．10种
例3．（2021·上海高三专题练习）现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（
）
A．1024种
B．1023种
C．1536种
D．1535种
例4．（2021·贵州高三开学考试（理））如图所示，A地到E地要铺设一条煤气管道，其中需经过三级中间站，两点之间的连线上的数字表示距离.则从A地到E地铺设煤气管道最短距离是（
）
A．19
B．21
C．22
D．23
考点二
　分步乘法计数原理的应用
例5．（2021·全国高二课时练习）如图所示的电路图，从A到B共有___________条不同的线路可通电.
例6．（2020·安徽省蚌埠第三中学高二期末（理））如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（
）
A．96
B．84
C．60
D．48
例7．（2019·广东中山市·中山纪念中学高二月考（理））今有个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有(
)种
A．
B．
C．
D．
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精品试卷·第
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专题10.1
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、考纲要求
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；
2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
二、考情分析
三、考点梳理
知识点一
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.
知识点二
分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.
【特别提醒】分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
【知识必备】
分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.
1.分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.
2.分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.
四、题型分析
考点一
分类加法计数原理的应用
例1．（2020·新疆）电路如图所示，在A，B间有四个开关，若发现A，B之间电路不通，则这四个开关打开或闭合的方式有（
）
A．3种
B．8种
C．13种
D．16种
【答案】C
【分析】
根据串联与并联电路的特征从反面求解，要使电路是通路，则1，4闭合，2，3中至少有一个闭合，情形只有3种，
【详解】
解：各个开关打开或闭合有2种情形，故四个开关共有种可能，其中能使电路通的情形有：1，4都闭合且2和3中至少有一个闭合，共有3种可能，故开关打开或闭合的不同情形共有（种）.
故选：C.
例2．（2021·南京市中华中学高三期末）三名学生分别从5门选修课中选修一门课程，不同的选法有（
）
A．125种
B．243种
C．60种
D．10种
【答案】A
【分析】
根据分步乘法计数原理计算可得；
【详解】
解：三名学生分别从5门选修课中选修一门课程，对于任意1名同学均有种不同的选法，故不同的选法有种；
故选：A
例3．（2021·上海高三专题练习）现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（
）
A．1024种
B．1023种
C．1536种
D．1535种
【答案】D
【分析】
先看一张人民币的取法，再看2张100元人民币的取法，利用分步计数原理计算即可.
【详解】
除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，
2张100元人民币的取法有不取、取一张和取二张3种情况，
再减去这些人民币全不取的1种情况，
所以共有种．
故选：D.
【点睛】
误解：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有种．
错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成4种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况．
例4．（2021·贵州高三开学考试（理））如图所示，A地到E地要铺设一条煤气管道，其中需经过三级中间站，两点之间的连线上的数字表示距离.则从A地到E地铺设煤气管道最短距离是（
）
A．19
B．21
C．22
D．23
【答案】A
【分析】
对各个路线进行计算，路线到到到到最短，其他的路径均大于，即可得解.
【详解】
对各个路线进行计算可得，
由到到到到，距离共19为最短距离.
故选：A.
考点二
　分步乘法计数原理的应用
例5．（2021·全国高二课时练习）如图所示的电路图，从A到B共有___________条不同的线路可通电.
【答案】8
【分析】
先分三类：过支路①，②，③，在支路③由乘法原理计数．
【详解】
解析：先分三类.第一类，经过支路①有3种方法；第二类，经过支路②有1种方法；第三类，经过支路③有2×2=4种方法，所以总的线路条数N=3+1+4=8.
故答案：8
例6．（2020·安徽省蚌埠第三中学高二期末（理））如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（
）
A．96
B．84
C．60
D．48
【答案】B
【解析】
解：分三类：种两种花有种种法；
种三种花有2种种法；
种四种花有种种法．
共有2++=84．
故选B
例7．（2019·广东中山市·中山纪念中学高二月考（理））今有个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有(
)种
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
分两类，分别讨论两个小孩坐在一块和两个小孩不坐在一块所包含的情况，最后求和即可.
【详解】
第一类：只用两辆缆车，
若两个小孩坐在一块，则有种乘车方式；
若两个小孩不坐在一块，则有种乘车方式；
第二类：用三辆缆车，
若两个小孩坐在一块，则有种乘车方式；
若两个小孩不坐在一块，则有种乘车方式；
综上不同的乘车方式有种.
故选C
【点睛】
本题主要考查两个计数原理，熟记分类加法与分类乘法计算原理，即可分情况讨论，写出结果，属于常考题型.
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