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专题10.2
排列与组合
一、考纲要求
1.理解排列、组合的概念；
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；
3.能解决简单的实际问题.
二、考情分析
三、考点梳理
知识点一
排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
知识点二
排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
【知识必备】
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
四、题型分析
(一)
排列问题
例1．（2021·全国高三专题练习）甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（
）
A．12种
B．24种
C．48种
D．120种
例2．（2021·全国高二课时练习）2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年.为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部(3男4女)到三个贫困村调研走访，每个村安排男?女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有（
）
A．72种
B．108种
C．144种
D．210种
例3．（2021·山东淄博市·高三一模）有7名学生参加“学党史知识竞赛”，咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是最中间一名，乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各不相同”.那么他们7人不同的可能位次共有（
）
A．120种
B．216种
C．384种
D．504种
(二)
组合问题
例4．（2021·北京丰台区·高三期末）某校实行选科走班制度(语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科)．根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科．语文、数学、英语只排在第二节．物理、政治排在同-天．化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为（
）
A．
B．
C．
D．
例5．（2021·全国高三专题练习）某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为（
）
A．85
B．86
C．91
D．90
例6．（2021·全国高二课时练习）2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶?一个有害垃圾桶?一个厨余垃圾桶?一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（
）
A．种
B．种
C．种
D．种
例7．（2021·湖南永州市·高三二模）2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案，将采取“”模式，即语文?数学?英语必考，考生首先在物理?历史中选择1门，然后在政治?地理?化学?生物中选择2门.则某同学选到物理?地理两门功课的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
(三)
分组、分配问题
例8．（2021·山东临沂市·高三一模）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（
）
A．
B．
C．
D．
例9．（2021·辽宁沈阳市·高三一模）2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”.在此次活动中，某学校有女、男名教师报名成为志愿者，现在有个不同的社区需要进行普查工作，从这名志愿者中选派名，每人去个小区，每个小区去名教师，其中至少要有名女教师，则不同的选派方案有多少种（
）
A．种
B．种
C．种
D．种
例10．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模（理））将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多两人，则甲乙不在同一路口的分配方案共有（　　）
A．81种
B．72种
C．36种
D．24种
例11．（2021·山东德州市·高二期末）有8名学生，其中2名学生会下象棋但不会下围棋，3名学生会下围棋但不会下象棋，3名学生既会下象棋又会下围棋.现从这8名学生中选出2名学生，其中一名学生参加象棋比赛，另一名学生参加围棋比赛，则不同的选派方法有（
）
A．18
B．24
C．27
D．30
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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专题10.2
排列与组合
一、考纲要求
1.理解排列、组合的概念；
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；
3.能解决简单的实际问题.
二、考情分析
三、考点梳理
知识点一
排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
知识点二
排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
【知识必备】
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
四、题型分析
(一)
排列问题
例1．（2021·全国高三专题练习）甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（
）
A．12种
B．24种
C．48种
D．120种
【答案】B
【分析】
甲、乙相邻，利用捆绑法看作一个元素，求出总排法，再求出甲、乙相邻且在两端的排法，用总排法减去甲、乙相邻且在两端的排法即得答案.
【详解】
甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有种排法，
甲乙相邻且在两端有种排法，
故甲乙相邻且都不站在两端的排法有(种)．
故选：B．
【点睛】
方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
例2．（2021·全国高二课时练习）2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年.为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部(3男4女)到三个贫困村调研走访，每个村安排男?女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有（
）
A．72种
B．108种
C．144种
D．210种
【答案】C
【分析】
先安排男干部，再安排女干部，由排列组合以及分步乘法计数原理得出答案.
【详解】
∵每个村男?女干部各1名，∴可先安排男干部，共种，再安排女干部，共有种，∴共有种不同的安排方案
故选：C.
【点睛】
关键点睛：在从4名女干部中选3人到三个贫困村调研走访时，关键是按照先选后排的方法进行处理.
例3．（2021·山东淄博市·高三一模）有7名学生参加“学党史知识竞赛”，咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是最中间一名，乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各不相同”.那么他们7人不同的可能位次共有（
）
A．120种
B．216种
C．384种
D．504种
【答案】D
【分析】
甲的位置固定，问题转化为排头排尾有限制的排列问题，利用间接法求解.
【详解】
因为甲的成绩是中间一名，
所以只需安排其余6人位次，
因为乙不排第一名，丙不排最后一名，
所以由间接法可得,
故选：D
(二)
组合问题
例4．（2021·北京丰台区·高三期末）某校实行选科走班制度(语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科)．根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科．语文、数学、英语只排在第二节．物理、政治排在同-天．化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
分三步完成，先排语数外，再将排在同一天的“捆绑”，将捆绑后的三个元素排列，即可求出.
【详解】
先将语文、数学、英语排在第二节，有种排法，
将物理和政治，化学和地理，生物和历史分别“捆绑”，有种排法，
将捆绑后的三个元素排在三天，有种排法，
则不同的排课方案的种数为种.
故选：D.
例5．（2021·全国高三专题练习）某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为（
）
A．85
B．86
C．91
D．90
【答案】B
【分析】
根据题意，分三类，第1类，男生甲入选，女生乙不入选，第2类，男生甲不入选，女生乙入选，第3类，男生甲入选，女生乙入选，分别求得其方法数，然后利用分类计数原理求解.
【详解】
由题意，可分三类：
第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为；
第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为；
第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为．
所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86．
故选：B
例6．（2021·全国高二课时练习）2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶?一个有害垃圾桶?一个厨余垃圾桶?一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（
）
A．种
B．种
C．种
D．种
【答案】C
【分析】
分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果.
【详解】
根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，
先选出两个垃圾桶，有种选法，
之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有种放法；
所以不同的摆放方法共有种，
故选：C.
【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：
（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有种选法；
（2）之后就相当于三个元素的一个全排；
（3）利用分步乘法计数原理求得结果.
例7．（2021·湖南永州市·高三二模）2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案，将采取“”模式，即语文?数学?英语必考，考生首先在物理?历史中选择1门，然后在政治?地理?化学?生物中选择2门.则某同学选到物理?地理两门功课的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
计算所有基本事件的个数，然后计算选到物理?地理两门功课的基本事件个数为，最后根据古典概型的概念计算即可.
【详解】
由题可知：所有基本事件的个数为：
某同学选到物理?地理两门功课的基本事件个数为：
所以所求概率为：
故选：C
(三)
分组、分配问题
例8．（2021·山东临沂市·高三一模）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
分为三人组中包含小明和小李和不包含小明和小李两类，分别计算方案种数即可得结果.
【详解】
由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，
当三人组中包含小明和小李时，安装方案有种；
当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有种，共计有种，
故选：A.
例9．（2021·辽宁沈阳市·高三一模）2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”.在此次活动中，某学校有女、男名教师报名成为志愿者，现在有个不同的社区需要进行普查工作，从这名志愿者中选派名，每人去个小区，每个小区去名教师，其中至少要有名女教师，则不同的选派方案有多少种（
）
A．种
B．种
C．种
D．种
【答案】C
【分析】
分只有一名女教师和两名女教师两种情况讨论得解.
【详解】
只有一名女教师：;
选派两名女教师：；
所以共有72+24=96种方法.
故选：C
【点睛】
方法点睛：排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
例10．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模（理））将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多两人，则甲乙不在同一路口的分配方案共有（　　）
A．81种
B．72种
C．36种
D．24种
【答案】B
【分析】
根据甲乙不在一个路口时，甲乙路口的人数进行分类，即可得到结果.
【详解】
当甲乙不在一个路口，甲乙路口都有2个人时，有种情况；
当甲乙不在一个路口，甲路口有2个人，乙路口有1人时，有种情况；
当甲乙不在一个路口，甲路口有1个人，乙路口有2人时，有种情况；
共有种情况
故选：B
例11．（2021·山东德州市·高二期末）有8名学生，其中2名学生会下象棋但不会下围棋，3名学生会下围棋但不会下象棋，3名学生既会下象棋又会下围棋.现从这8名学生中选出2名学生，其中一名学生参加象棋比赛，另一名学生参加围棋比赛，则不同的选派方法有（
）
A．18
B．24
C．27
D．30
【答案】C
【分析】
按3名学生既会下象棋又会下围棋的学生中选取人分成类进行分类讨论，由此求得不同的选派方法.
【详解】
3名学生既会下象棋又会下围棋的学生中选取人时，方法数有种.
3名学生既会下象棋又会下围棋的学生中选取人时，方法数种.
3名学生既会下象棋又会下围棋的学生中选取人时方法数种.
故总的方法数有种.
故选：C
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（共
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