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专题10.3
二项式定理
一、考纲要求
1.能用计数原理证明二项式定理；
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
二、考点梳理
知识点一
二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N
)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
知识点二
二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式系数C
当k＜(n∈N
)时，是递增的
当k＞(n∈N
)时，是递减的
二项式系数最大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与取得最大值
知识点三
各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
【知识必备】(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.
四、题型分析
例1．（2021·全国高三专题练习）的展开式中的系数为（
）
A．80
B．40
C．40
D．80
【答案】C
【分析】
先求得二项式的展开式的通项，分和两种情况讨论，即可求解.
【详解】
由题意，二项式的展开式的通项公式为，
当时，展开式中的系数为，
当时，展开式中的系数为，
所以的系数为.
故选C．
例2．（2021·全国高二课时练习）在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是（　　）
A．第8项
B．第7项
C．第9项
D．第10项
【答案】C
【分析】
由二项式展开式的性质，分别与首末项等距离的两项的二项式系数相等，即可知与第3项二项式系数相同的项
【详解】
由知：二项展开式共11项，第3项二项式系数为，
∴根据对称性，与第3项二项式系数相同的项系数为，即为第9项.
故选：C
例3．（2021·全国高二课时练习）的展开式中常数项为（
）
A．10
B．
C．5
D．
【答案】B
【分析】
根据条件将问题转化为求求的展开式中的系数，利用生成法计算结果.
【详解】
要求的展开式中的常数项，只需求的展开式中的系数.
因为的展开式中的系数为，所以的展开式中常数项为.
故选：B
例4．（2021·全国高二课时练习）在的展开式中.常数项为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先写出二项式展开式的通项，再令，求出，最后代入计算可得；
【详解】
解：二项式展开式的通项为，
令，解得，所以
故选：B
例5．（2021·广东韶关市·高三一模）已知，则（
）
A．
B．10
C．
D．45
【答案】A
【分析】
由于，求出的通项，从而可求出的值
【详解】
，.
故选：A
例6．（2021·湖北荆门市·高三月考）若的展开式中的系数为7，则展开式的常数项为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据二项展开式，得出第项，再求得，再利用展开式可求得常数项.
【详解】
的二项展开式中的第项为，
令，解得，所以的系数为7，解得，
所以的二项展开式中的第项为，
令，解得，所以展开式的常数项为，
故选：A.
【点睛】
易错点点睛：(1)本题主要考查二项式展开式的通项和指定项的求法，考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2)
二项式通项公式：
（）①它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第项；②其中叫二项式展开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数；③注意.
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专题10.3
二项式定理
一、考纲要求
1.能用计数原理证明二项式定理；
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
二、考点梳理
知识点一
二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N
)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
知识点二
二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式系数C
当k＜(n∈N
)时，是递增的
当k＞(n∈N
)时，是递减的
二项式系数最大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与取得最大值
知识点三
各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
【知识必备】(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.
四、题型分析
例1．（2021·全国高三专题练习）的展开式中的系数为（
）
A．80
B．40
C．40
D．80
例2．（2021·全国高二课时练习）在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是（　　）
A．第8项
B．第7项
C．第9项
D．第10项
例3．（2021·全国高二课时练习）的展开式中常数项为（
）
A．10
B．
C．5
D．
例4．（2021·全国高二课时练习）在的展开式中.常数项为（
）
A．
B．
C．
D．
例5．（2021·广东韶关市·高三一模）已知，则（
）
A．
B．10
C．
D．45
例6．（2021·湖北荆门市·高三月考）若的展开式中的系数为7，则展开式的常数项为（
）
A．
B．
C．
D．
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