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专题11.1
随机抽样（理科）
考纲要求
1.理解随机抽样的必要性和重要性；
2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.
3.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.
二、考点梳理
知识点一
简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.
知识点二
系统抽样
(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样.
(2)系统抽样的操作步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.
①先将总体的N个个体编号；
②确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k＝；
③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
④按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本.
知识点三
分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.
(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.
【知识拓展】
1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.
2.系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍.
3.分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.
三、题型分析
重难点突破1
简单随机抽样及其应用
例1.（1）.（湖南省株洲二中2019届期末）某学校为调查高三年级的240名学生完成课后作业所需的时间，采取了两种抽样调查方式：第一种由学生会的同学随机抽取24名同学进行调查；第二种由教务处对高三年级的学生进行编号，从001到240，抽取学号最后一位为3的同学进行调查，则这两种抽样方法依次为(　　)
A.分层抽样，简单随机抽样
B.简单随机抽样，分层抽样
C.分层抽样，系统抽样
D.简单随机抽样，系统抽样
（2）.
（辽宁省本溪一中2019届期中）在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　)
A.p1＝p2＜p3
B.p2＝p3＜p1
C.p1＝p3＜p2
D.p1＝p2＝p3
【变式训练1】.
（浙江省温州中学2019届模拟）福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，…，32,33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为(　　)
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A.12
B.33
C.06
D.16
重难点突破2
系统抽样及其应用
例2.
（1）.（河南省许昌一中2019届模拟）利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽取一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为(　　)
A.73
B.78
C.77
D.76
（2）.（湖北省咸宁一中2019届模拟）某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________.
【变式训练1】.
（山东省青岛二中2019届模拟）一个总体中有90个个体，随机编号0，1，2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1，2，3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________.
重难点突破3
分层抽样及其应用
例3．（2020·云南昆明一中高三（文））“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事.在中国共产党建党周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为的样本参加活动，其中高三年级抽了人，高二年级抽了人，则该校高一年级学生人数为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】.（2020·河南省开封市高三模拟（文））为应对新冠疫情，许多企业在非常时期转产抗疫急需物资，某工厂转产甲、乙、丙、丁四种不同型号的防疫物资，产量分别为件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽.取件进行检验，则应从甲种型号的产品中抽取____________件.
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精品试卷·第
2
页
（共
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专题11.1
随机抽样（理科）
考纲要求
1.理解随机抽样的必要性和重要性；
2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.
3.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.
二、考点梳理
知识点一
简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.
知识点二
系统抽样
(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样.
(2)系统抽样的操作步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.
①先将总体的N个个体编号；
②确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k＝；
③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
④按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本.
知识点三
分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.
(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.
【知识拓展】
1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.
2.系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍.
3.分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.
三、题型分析
重难点突破1
简单随机抽样及其应用
例1.（1）.（湖南省株洲二中2019届期末）某学校为调查高三年级的240名学生完成课后作业所需的时间，采取了两种抽样调查方式：第一种由学生会的同学随机抽取24名同学进行调查；第二种由教务处对高三年级的学生进行编号，从001到240，抽取学号最后一位为3的同学进行调查，则这两种抽样方法依次为(　　)
A.分层抽样，简单随机抽样
B.简单随机抽样，分层抽样
C.分层抽样，系统抽样
D.简单随机抽样，系统抽样
【答案】D　
【解析】由三种抽样方法的定义可知，题中第一种方法为简单随机抽样，第二种为系统抽样.
（2）.
（辽宁省本溪一中2019届期中）在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　)
A.p1＝p2＜p3
B.p2＝p3＜p1
C.p1＝p3＜p2
D.p1＝p2＝p3
【答案】D
【解析】由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选D.
【变式训练1】.
（浙江省温州中学2019届模拟）福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，…，32,33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为(　　)
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A.12
B.33
C.06
D.16
【答案】C　
【解析】被选中的红色球的号码依次为17,12,33,06,32,22.所以第四个被选中的红色球的号码为06.
重难点突破2
系统抽样及其应用
例2.
（1）.（河南省许昌一中2019届模拟）利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽取一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为(　　)
A.73
B.78
C.77
D.76
【答案】B　
【解析】样本的分段间隔为＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5＝78.
（2）.（湖北省咸宁一中2019届模拟）某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________.
【答案】3
【解析】系统抽样的抽取间隔为＝6.设抽到的最小编号为x，则x＋(6＋x)＋(12＋x)＋(18＋x)＋(24＋x)＝75，所以x＝3.
【变式训练1】.
（山东省青岛二中2019届模拟）一个总体中有90个个体，随机编号0，1，2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1，2，3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________.
【答案】76
【解析】由题意知m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.
重难点突破3
分层抽样及其应用
例3．（2020·云南昆明一中高三（文））“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事.在中国共产党建党周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为的样本参加活动，其中高三年级抽了人，高二年级抽了人，则该校高一年级学生人数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为的样本，其中高三年级抽人，高二年级抽人，所以高一年级要抽取人，因为该校高中学共有名学生，所以各年级抽取的比例是，所以该校高一年级学生人数为人，故选C。
【变式训练1】.（2020·河南省开封市高三模拟（文））为应对新冠疫情，许多企业在非常时期转产抗疫急需物资，某工厂转产甲、乙、丙、丁四种不同型号的防疫物资，产量分别为件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽.取件进行检验，则应从甲种型号的产品中抽取____________件.
【答案】
【解析】甲种型号的产品占总产量的百分比为：，
则抽取件进行检验时，从甲种型号的产品中抽取（件）。
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2
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