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专题11.2
用样本估计总体
一、考纲要求
1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点；
2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；
3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释；
4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想；
5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
二、考点梳理
知识点一
频率分布直方图
(1)频率分布表的画法：
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)
横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.
知识点二
茎叶图
统计中一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.
知识点三
样本的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数.
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝，s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].
【知识扩展】
1.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
2.平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
四、题型分析
重难点突破1
茎叶图及其应用
例1．（2020届河南省郑州市高三第二次质量预测）郑州市2019年各月的平均气温数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（
）
A．20
B．21
C．20.5
D．23
【变式训练1】.（2020·河北省沧州市高三一模）某工厂为生产一种标准长度为的精密器件，研发了一台生产该精密器件的车床，该精密器件的实际长度为，“长度误差”为，只要“长度误差”不超过就认为合格．已知这台车床分昼、夜两个独立批次生产，每天每批次各生产件．已知每件产品的成本为元，每件合格品的利润为元．在昼、夜两个批次生产的产品中分别随机抽取件，检测其长度并绘制了如下茎叶图：
（1）分别估计在昼、夜两个批次的产品中随机抽取一件产品为合格品的概率；
（2）以上述样本的频率作为概率，求这台车床一天的总利润的平均值.
重难点突破2
频率分布直方图
例2．（2020·云南昆明一中高三）某学校为了解本校文、理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
甲样本数据直方图
乙样本数据直方图
已知乙样本中数据在的有个.
（1）求和乙样本直方图中的值；
（2）试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.
【变式训练1】.（2020·东北师大附中高三模拟）2019年10月1日我国隆重纪念了建国70周年，期间进行了一系列大型庆祝活动，极大地激发了全国人民的爱国热情.某校高三学生也投入到了这场爱国活动中，他(她)们利用周日休息时间到社区做义务宣讲员，学校为了调查高三男生和女生周日的活动时间情况，随机抽取了高三男生和女生各40人，对他(她)们的周日活动时间进行了统计，分别得到了高三男生的活动时间(单位：小时)的频数分布表和女生的活动时间(单位：小时)的频率分布直方图.（活动时间均在内）
活动时间
频数
8
10
7
9
4
2
（1）根据调查，试判断该校高三年级学生周日活动时间较长的是男生还是女生？并说明理由；
（2）在被抽取的80名高三学生中，从周日活动时间在内的学生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.
重难点突破3
样本的数字特征
例3．（1）（2020届湖北省高三模拟）某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所给数据均在[40，100]内．现将这些分数分成以下6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形则下列说法中有错误的是（
）
A．第三组的频数为18人
B．根据频率分布直方图估计众数为75分
C．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分
D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分
（2）．（2020届安徽省皖南八校高三第三次联考）新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A，B，C，D，E五个等级.某试点高中2019年参加“选择考”总人数是2017年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2017年和2019年“选择考”成绩等级结果，得到如图表：
针对该校“选择考”情况，2019年与2017年比较，下列说法正确的是(
)
A．获得A等级的人数不变
B．获得B等级的人数增加了1倍
C．获得C等级的人数减少了
D．获得E等级的人数不变
【变式训练1】.（2020·湖北省随州市高三调研）某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下：
男生身高频率分布表
男生身高（单位：厘米）
频数
7
10
19
18
4
2
女生身高频数分布表
女生身高（单位：厘米）
频数
3
10
15
6
3
3
（1）估计这1000名学生中女生的人数；
（2）估计这1000名学生中身高在的概率；
（3）在样本中，从身高在的女生中任取2名女生进行调查，求这2名学生身高在的概率.（身高单位：厘米）
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精品试卷·第
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页
（共
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专题11.2
用样本估计总体
一、考纲要求
1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点；
2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；
3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释；
4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想；
5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
二、考点梳理
知识点一
频率分布直方图
(1)频率分布表的画法：
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)
横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.
知识点二
茎叶图
统计中一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.
知识点三
样本的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数.
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝，s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].
【知识扩展】
1.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
2.平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
四、题型分析
重难点突破1
茎叶图及其应用
例1．（2020届河南省郑州市高三第二次质量预测）郑州市2019年各月的平均气温数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（
）
A．20
B．21
C．20.5
D．23
【答案】C
【解析】由题意得，这组数据是：01，02，15，16，18，20，21，23，23，
28，32，34，
故中位数是：，故选C。
【变式训练1】.（2020·河北省沧州市高三一模）某工厂为生产一种标准长度为的精密器件，研发了一台生产该精密器件的车床，该精密器件的实际长度为，“长度误差”为，只要“长度误差”不超过就认为合格．已知这台车床分昼、夜两个独立批次生产，每天每批次各生产件．已知每件产品的成本为元，每件合格品的利润为元．在昼、夜两个批次生产的产品中分别随机抽取件，检测其长度并绘制了如下茎叶图：
（1）分别估计在昼、夜两个批次的产品中随机抽取一件产品为合格品的概率；
（2）以上述样本的频率作为概率，求这台车床一天的总利润的平均值.
【答案】（1）昼、夜批次合格品概率估计值分别为、；（2）元.
【解析】
（1）由样本数据可知，在昼批次的个样本中有个不合格品，有个合格品，合格品的比率为，因此昼批次合格品概率估计值为.
在夜批次的个样本中有个不合格品，有个合格品，合格品的比率为，因此夜批次合格品概率估计值为；
（2）昼批次合格品的概率为，不合格品的概率为，所以件产品中合格品的均值为件，不合格品的均值为件，所以利润为（元）；
夜批次合格品的概率为，不合格品的概率为，所以件产品中合格品的均值为
件，不合格品的均值为件，所以利润为（元）．
故这台车床一天的总利润的平均值为（元）.
重难点突破2
频率分布直方图
例2．（2020·云南昆明一中高三）某学校为了解本校文、理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
甲样本数据直方图
乙样本数据直方图
已知乙样本中数据在的有个.
（1）求和乙样本直方图中的值；
（2）试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.
【答案】（1），；（2）81.5，82.5.
【解析】
（1）由直方图可知，乙样本中数据在的频率为，而这个组学生有人，则，得，由乙样本数据直方图可知，故。
（2）甲样本数据的平均值估计值为
.
由（1）知，故乙样本数据直方图中前三组的频率之和为
，
前四组的频率之和为，
故乙样本数据的中位数在第组，则可设该中位数为，
由得
，故乙样本数据的中位数为.
根据样本估计总体的思想，可以估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为.
【变式训练1】.（2020·东北师大附中高三模拟）2019年10月1日我国隆重纪念了建国70周年，期间进行了一系列大型庆祝活动，极大地激发了全国人民的爱国热情.某校高三学生也投入到了这场爱国活动中，他(她)们利用周日休息时间到社区做义务宣讲员，学校为了调查高三男生和女生周日的活动时间情况，随机抽取了高三男生和女生各40人，对他(她)们的周日活动时间进行了统计，分别得到了高三男生的活动时间(单位：小时)的频数分布表和女生的活动时间(单位：小时)的频率分布直方图.（活动时间均在内）
活动时间
频数
8
10
7
9
4
2
（1）根据调查，试判断该校高三年级学生周日活动时间较长的是男生还是女生？并说明理由；
（2）在被抽取的80名高三学生中，从周日活动时间在内的学生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.
【答案】（1）女生，理由见解析；（2）
【解析】（1）该校高三年级周日活动时间较长的是女生，
理由如下：列出女生周日活动时间频数表
活动时间
频数
6
7
12
10
4
对比男生和女生活动时间频数表，可以发现：
活动时间在2小时及其以上的男生有22人，女生有34人；
活动时间在3小时及其以上的男生有15，女生有26人；
都是女生人数多于男生人数，所以该校高三年级周日活动时间较长的是女生；
（2）被抽到的80学生中周日活动时间在内的男生有2人，分别记为，，女生有4，分别记为，，，，
从这6人中抽取2.共有以下15个基本事件，分别为：
，，，，，，，，，，，，，；
其中恰为1男1女的共有8种情形，所以所求概率。
重难点突破3
样本的数字特征
例3．（1）（2020届湖北省高三模拟）某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所给数据均在[40，100]内．现将这些分数分成以下6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形则下列说法中有错误的是（
）
A．第三组的频数为18人
B．根据频率分布直方图估计众数为75分
C．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分
D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分
【答案】C
【解析】对于A，因为各组的频率之和等于1，所以分数在[60，70）内的频率为：f＝1﹣10（0.005+0.015+0.030+0.025+0.010）＝0.15，
所以第三组[60,70）的频数为120×0.15＝18（人），故正确；
对于B，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故正确；对于C，又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：45×（10×0.005）+55×（10×0.015）+65×（10×0.015）+75×（10×0.03）+85×（10×0.025）+95×（10×0.01）＝73.5（分），故错误；
对于D，因为（0.05+0.15+0.15）×10＝0.35＜0.5，（0.05+0.15+0.15+0.3）×10＞0.5，所以中位数位于[70,80）上，所以中位数的估计值为：7075，故正确；
故选C。
（2）．（2020届安徽省皖南八校高三第三次联考）新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A，B，C，D，E五个等级.某试点高中2019年参加“选择考”总人数是2017年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2017年和2019年“选择考”成绩等级结果，得到如图表：
针对该校“选择考”情况，2019年与2017年比较，下列说法正确的是(
)
A．获得A等级的人数不变
B．获得B等级的人数增加了1倍
C．获得C等级的人数减少了
D．获得E等级的人数不变
【答案】D
【解析】设2017年参加“选择考”总人数为，则2019年参加“选择考”总人数为；
则2017年获得A等级有人，2019年获得A等级有，排除A；
2017年获得B等级有人，2019年获得B等级有，排除B；
2017年获得C等级有人，2019年获得C等级有，排除C；
2017年获得E等级有人，2019年获得E等级有，人数不变，
故选D。
【变式训练1】.（2020·湖北省随州市高三调研）某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下：
男生身高频率分布表
男生身高（单位：厘米）
频数
7
10
19
18
4
2
女生身高频数分布表
女生身高（单位：厘米）
频数
3
10
15
6
3
3
（1）估计这1000名学生中女生的人数；
（2）估计这1000名学生中身高在的概率；
（3）在样本中，从身高在的女生中任取2名女生进行调查，求这2名学生身高在的概率.（身高单位：厘米）
【答案】（1）400名；（2）0.49；（3）.
【解析】
（1）由频率分布表可得样本中男生为60名，女生为40名，估计这1000名学生中女生的人数大约是（名）.
（2）由表知，样本中身高在的人数为，样本容量是100，
样本中身高在的概率为，
估计这1000名学生中身高在的概率为0.49.
（3）依题意，身高在的女生有3名，记为，，，身高在的女生有3名，记为，，，则从身高在的女生中任取2名，所有情况有：，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中2名学生的身高都在的情况有，，共3种，这2名学生身高都在的概率为。
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精品试卷·第
2
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