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专题11.3
变量件的相互关系、统计案例
一、考纲要求
1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；
2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；
3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；
4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.
二、考情分析
三、考点梳理
知识点一
相关关系与回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.
(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.
(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.
(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系.
知识点二
线性回归方程
（1）最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
（2）回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：，其回归方程为，则注意：线性回归直线经过定点．
（3）相关系数：．
知识点三
回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心.
(3)相关系数
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关.
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.
r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.
(4)相关指数：R2＝1－.其中
(yi－i)2是残差平方和，其值越小，则R2越大(接近1)，模型的拟合效果越好.
【知识拓展】
1.求解回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用回归直线过样本中心点(，).
2.根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大.
3.根据回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.
四、题型分析
重难点突破1
相关关系的判断
例1（山西大同一中2019届质检）(1)观察下列各图形，
其中两个变量x，y具有相关关系的图是(　　)
A.①②
B.①④
C.③④
D.②③
(2)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性(　　)
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【变式训练1】.
（内蒙呼和浩特一中2019届期末）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(　　)
A.r2B.r4C.r4D.r2重难点突破2
线性回归方程及应用
例2．（2020·四川省眉山市高三二诊）细叶青萎藤又称海风藤，俗称穿山龙，属木质藤本植物，是我国常用大宗中药材，以根茎入药，具有舒筋活血、祛风止痛、止咳平喘、强身健体等医疗保健功效.通过研究光照、温度和沙藏时间对细叶青萎藤种子萌发的影响，结果表明，细叶青萎藤种子发芽率和发芽指数均随着沙藏时间的延长而提高。下表给岀了2019年种植的一批试验细叶青萎藤种子6组不同沙藏时间发芽的粒数。经计算：
沙藏时间（单位：天）
22
23
25
27
29
30
发芽数（单位：粒）
8
11
20
30
59
70
，，，.其中，分别为试验数据中的天数和发芽粒数，.
（1）求关于的回归方程（和都精确到0.01）；
（2）在题中的6组发芽的粒数不大于30的组数中，任意抽岀两组，则这两组数据中至少有一组满足“”的概率是多少？
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
【变式训练1】.
（2020·福建省漳州市高三测试）某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率利润保费收入）的频率分布直方图如图所示：
（1）试估计这款保险产品的收益率的平均值；
（2）设每份保单的保费在20元的基础上每增加元，对应的销量为（万份）．从历史销售记录中抽样得到如下5组与的对应数据：
元
25
30
38
45
52
销量为（万份）
7.5
7.1
6.0
5.6
4.8
由上表，知与有较强的线性相关关系，且据此计算出的回归方程为．
（ⅰ）求参数的值；
（ⅱ）若把回归方程当作与的线性关系，用（1）中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率，试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润，并求出最大利润．注：保险产品的保费收入每份保单的保费销量．
重难点突破3
（曲线）线性回归方程及应用
例3．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量，2，，数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
46.6
56.3
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中，
（1）若根据散点图用表示年销售量关于年宣传费的回归方程，试根据表中数据，求，的值；
（2）已知这种产品的年利率与、的关系为，根据（1）的结果回答下列问题：年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．
【变式训练1】．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响．对近六年的年宣传费和年销售量，2，3，4，5，的数据作了初步统计，得到如下数据：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年宣传费（万元）
38
48
58
68
78
88
年销售量（吨
16.8
18.8
20.7
22.4
24.0
25.5
经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨之间近似满足关系式
，即．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：
75.3
24.6
18.3
101.4
（1）根据所给数据，求关于的回归方程；
附：对于一组数据，，，，，，，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
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（共
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专题11.3
变量件的相互关系、统计案例
一、考纲要求
1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；
2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；
3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；
4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.
二、考情分析
三、考点梳理
知识点一
相关关系与回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.
(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.
(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.
(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系.
知识点二
线性回归方程
（1）最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
（2）回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：，其回归方程为，则注意：线性回归直线经过定点．
（3）相关系数：．
知识点三
回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心.
(3)相关系数
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关.
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.
r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.
(4)相关指数：R2＝1－.其中
(yi－i)2是残差平方和，其值越小，则R2越大(接近1)，模型的拟合效果越好.
【知识拓展】
1.求解回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用回归直线过样本中心点(，).
2.根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大.
3.根据回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.
四、题型分析
重难点突破1
相关关系的判断
例1（山西大同一中2019届质检）(1)观察下列各图形，
其中两个变量x，y具有相关关系的图是(　　)
A.①②
B.①④
C.③④
D.②③
(2)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性(　　)
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【答案】(1)C　(2)D
【解析】(1)由散点图知③中的点都分布在一条直线附近.④中的点都分布在一条曲线附近，所以③④中的两个变量具有相关关系.
(2)在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大；残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现了A，B两变量有更强的线性相关性.
【变式训练1】.
（内蒙呼和浩特一中2019届期末）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(　　)
A.r2B.r4C.r4D.r2【答案】A
【解析】由散点图知图(1)与图(3)是正相关，故r1>0，r3>0，图(2)与图(4)是负相关，故r2<0，r4<0，且图(1)与图(2)的样本点集中在一条直线附近，因此r2重难点突破2
线性回归方程及应用
例2．（2020·四川省眉山市高三二诊）细叶青萎藤又称海风藤，俗称穿山龙，属木质藤本植物，是我国常用大宗中药材，以根茎入药，具有舒筋活血、祛风止痛、止咳平喘、强身健体等医疗保健功效.通过研究光照、温度和沙藏时间对细叶青萎藤种子萌发的影响，结果表明，细叶青萎藤种子发芽率和发芽指数均随着沙藏时间的延长而提高。下表给岀了2019年种植的一批试验细叶青萎藤种子6组不同沙藏时间发芽的粒数。经计算：
沙藏时间（单位：天）
22
23
25
27
29
30
发芽数（单位：粒）
8
11
20
30
59
70
，，，.其中，分别为试验数据中的天数和发芽粒数，.
（1）求关于的回归方程（和都精确到0.01）；
（2）在题中的6组发芽的粒数不大于30的组数中，任意抽岀两组，则这两组数据中至少有一组满足“”的概率是多少？
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
【答案】（1）（2）
【解析】（1），，
所以..
所以关于的回归方程为。
（2）在题中的6组发芽的粒数不大于30的组数有4组，设为，，，，则
列出选出2组的所有可能如下：
，，，，
，共6种情况.
在这两组数据中至少有一组满足“”的情况有：
，
，，，共5种情况，故所求概率是。
【变式训练1】.
（2020·福建省漳州市高三测试）某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率利润保费收入）的频率分布直方图如图所示：
（1）试估计这款保险产品的收益率的平均值；
（2）设每份保单的保费在20元的基础上每增加元，对应的销量为（万份）．从历史销售记录中抽样得到如下5组与的对应数据：
元
25
30
38
45
52
销量为（万份）
7.5
7.1
6.0
5.6
4.8
由上表，知与有较强的线性相关关系，且据此计算出的回归方程为．
（ⅰ）求参数的值；
（ⅱ）若把回归方程当作与的线性关系，用（1）中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率，试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润，并求出最大利润．注：保险产品的保费收入每份保单的保费销量．
【答案】（1）;（2）（ⅰ）;（ⅱ）99万元
【解析】（1）收益率的平均值为．
（2）（ⅰ）；
由，得．解得．
（ⅱ）设每份保单的保费为元，则销量为．
则这款保险产品的保费收入为万元．
于是，．
所以，当，即每份保单的保费为60元时，保费收入最大为360万元．
预计这款保险产品的最大利润为万元．
重难点突破3
（曲线）线性回归方程及应用
例3．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量，2，，数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
46.6
56.3
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中，
（1）若根据散点图用表示年销售量关于年宣传费的回归方程，试根据表中数据，求，的值；
（2）已知这种产品的年利率与、的关系为，根据（1）的结果回答下列问题：年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．
【答案】见解析
（2）由（1）知，当时，年销售量的预报值，
年利润的预报值，
根据（1）的结果可知，年利润的预报值，
当时，年利润的预报值最大，为66.36千元．
【变式训练1】．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响．对近六年的年宣传费和年销售量，2，3，4，5，的数据作了初步统计，得到如下数据：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年宣传费（万元）
38
48
58
68
78
88
年销售量（吨
16.8
18.8
20.7
22.4
24.0
25.5
经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨之间近似满足关系式
，即．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：
75.3
24.6
18.3
101.4
（1）根据所给数据，求关于的回归方程；
附：对于一组数据，，，，，，，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
【答案】见解析
【解析】解：（1）由，，
得，
令，，得，
由数据可得：，，
，，
于是，
，得，
故所求回归方程为；
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2
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