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专题12.1
随机事件的概率
一、考纲要求
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；
2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
概率与频率
(1)频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率.
(2)概率：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
考点二
事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等关系
若B?A且A?B
A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝?
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝?P(A∪B)＝1
考点三
概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
【知识必备】
1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
2.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，
要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
四、题型分析
重难点题型突破一
随机事件的关系
例1．（2021·全国高一单元测试）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（
）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与至少有一个红球
C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D．至少有一个黑球与都是红球
【变式训练1-1】．（2021·甘肃省永昌县第一高级中学高二期末（文））从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（
）
A．所取的3个球中至少有一个白球
B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球
C．所取的3个球都是黑球
D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球
【变式训练1-2】．（2021·北京丰台区·高二期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（
）
A．互斥
B．相互对立
C．相互独立
D．相等
重难点题型突破二
随机事件的频率与概率
例2．（2020·全国高三专题练习（文））根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为型，型，型，型.现有一血液为型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-1】．．（2020·全国高三专题练习（理））甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】．．（2021·山东高三专题练习）某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是．同样也假定受，和感染的概率都是．在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-4】．．（2020·全国高一专题练习）某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球实验.其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇兑起来后，摸到红球次数为6000次.
（1）估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是__________；
（2）请你估计袋中红球接近__________个.
【变式训练2-5】．（2020·全国高一课时练习）容量为200的样本的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在内的频数为______，数据落在内的概率约为______.
重难点题型突破三
互斥事件与对立事件的概率
例3．（2020·余干县新时代学校高二月考（理））围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是则从中任意取出2粒不全是黑子的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1】．（2021·江西上饶市·高二期末（文））已知随机事件A，B互为对立事件，且，则___________.
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精品试卷·第
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专题12.1
随机事件的概率
一、考纲要求
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；
2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
二、考情分析
三、考点梳理
考点一
概率与频率
(1)频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率.
(2)概率：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
考点二
事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等关系
若B?A且A?B
A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝?
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝?P(A∪B)＝1
考点三
概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
【知识必备】
1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
2.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，
要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
四、题型分析
重难点题型突破一
随机事件的关系
例1．（2021·全国高一单元测试）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（
）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与至少有一个红球
C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D．至少有一个黑球与都是红球
【答案】C
【分析】
列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，逐项判断.
【详解】
A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，故错误；
B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，故错误；
C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，故正确
D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，
这两个事件是对立事件，故错误；
故选：C
【变式训练1-1】．（2021·甘肃省永昌县第一高级中学高二期末（文））从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（
）
A．所取的3个球中至少有一个白球
B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球
C．所取的3个球都是黑球
D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球
【答案】B
【分析】
根据互斥事件的定义即可判断．
【详解】
将事件的结果分为三类：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑.
事件包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根据互斥事件的定义可知，
只有事件“所取的3个球中恰有2个白球1个黑球”与事件互斥．
故选：B．
【变式训练1-2】．（2021·北京丰台区·高二期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（
）
A．互斥
B．相互对立
C．相互独立
D．相等
【答案】C
【分析】
根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义即可判断.
【详解】
显然事件A和事件B不相等，故D错误，
由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误；
因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确.
故选：C.
重难点题型突破二
随机事件的频率与概率
例2．（2020·全国高三专题练习（文））根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为型，型，型，型.现有一血液为型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由题意可知，能为型病人输血的有型和型，将对应的频率相加可得结果.
【详解】
由题意可知，能为型病人输血的有型和型，
因此，在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为.
故选：D.
【变式训练2-1】．．（2020·全国高三专题练习（理））甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用互斥事件概率的加法公式，即可求解甲不输的概率，得到答案.
【详解】
由题意，甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，
根据互斥事件的概率加法公式，可得甲不输的概率为.
故选：A.
【变式训练2-2】．．（2021·山东高三专题练习）某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是．同样也假定受，和感染的概率都是．在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据题意得出：因为直接受A感染的人至少是B，而C、D二人也有可能是由A感染的，，，中恰有两人直接受感染为事件．由此可计算出概率．
【详解】
设直接受A感染为事件B、C、D，
则事件B、C、D是相互独立的，
，，，
表明除了外，二人中恰有一人是由A感染的，
所以，
所以B、C、D中直接受A传染的人数为2的概率为，
故选：C.
【变式训练2-4】．．（2020·全国高一专题练习）某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球实验.其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇兑起来后，摸到红球次数为6000次.
（1）估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是__________；
（2）请你估计袋中红球接近__________个.
【答案】
15.
【分析】
（1）先阅读题意，再求出从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的频率，再求出其概率即可；
（2）由从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率求出袋中红球的个数即可.
【详解】
解：（1）∵20×400＝8000，
∴摸到红球的概率为：＝0.75，
因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，
所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是；
（2）设袋中红球有x个，根据题意得：
＝0.75，解得x＝15，
经检验x＝15是原方程的解.
∴估计袋中红球接近15个.
故答案为：；15.
【点睛】
本题考查了频率与概率的概念，重点考查了阅读能力，属基础题.
【变式训练2-5】．（2020·全国高一课时练习）容量为200的样本的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在内的频数为______，数据落在内的概率约为______.
【答案】64.
0.32.
【分析】
（1）根据矩形面积表示频率，再根据公式，计算频数；
（2）转化为求数据落在内的频率.
【详解】
由题图易知组距为4，故样本数据落在内的频率为，频数为，故数据落在内的概率约为0.32.
故答案为：64；0.32
【点睛】
本题考查频率分布直方图的简单应用，理解频率和概率，属于基础题型.
重难点题型突破三
互斥事件与对立事件的概率
例3．（2020·余干县新时代学校高二月考（理））围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是则从中任意取出2粒不全是黑子的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
直接利用对立事件的概率公式求解即可.
【详解】
设事件
“从围棋盒子中取出2粒都是黑子”为，则，
因为事件
“从围棋盒子中取出2粒都是黑子”与事件“从围棋盒子中取出2粒不全是黑子”是对立事件，
所以事件“从围棋盒子中取出2粒不全是黑子”
为，
因为，
所以，
故选：D.
【变式训练3-1】．（2021·江西上饶市·高二期末（文））已知随机事件A，B互为对立事件，且，则___________.
【答案】
【分析】
根据对立事件的概率关系可求.
【详解】
因为随机事件A，B互为对立事件，故，而故，
故，
故答案为：.
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2
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