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突破12.2
古典概型
一、考纲要求
1.理解古典概型及其概率计算公式；
2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
二、考情分析
三、考点梳理
知识点一
基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
知识点二
古典概型
具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.
(2)每一个试验结果出现的可能性相同.
【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
知识点三
古典概型的概率公式
P(A)＝.
【知识必备】
概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝?，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
四、题型分析
重难点01
简单的古典概型
例1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．（2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】．（2020届山西省大同市第一中学高三一模）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
【变式训练3】．（2020·无锡市新一才智教育培训中心有限公司高二月考）一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，设此时盒中旧球个数为X，的值为（
）
A．
B．
C．
D．
重难点02
与其他知识交汇的古典概型
例2．（2020届河南省郑州市高三第二次质量预测）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则直线与圆有公共点的概率为________.
【变式训练1】．（广东广雅中学2019届模拟）设平面向量a＝(m，1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1，2，3，4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【变式训练2】．（福建三明一中2019届模拟）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________.
【变式训练3】．（2021·全国高三专题练习）琵琶?二胡?编钟?箫笛?瑟?琴?埙?笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶?二胡?编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4】．（2021·全国高三月考（理））已知江大爷养了一些鸡和兔子，晚上关在同一间房子里，数了一下共有7个头，20只脚，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
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精品试卷·第
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突破12.2
古典概型
一、考纲要求
1.理解古典概型及其概率计算公式；
2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
二、考情分析
三、考点梳理
知识点一
基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
知识点二
古典概型
具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.
(2)每一个试验结果出现的可能性相同.
【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
知识点三
古典概型的概率公式
P(A)＝.
【知识必备】
概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝?，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
四、题型分析
重难点01
简单的古典概型
例1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1，5)，(2，4)，(3，3)，
(4，2)，(5，1)，
而加数全为质数的有(3，3)，根据古典概型知，所求概率为，故选A。
【变式训练1】．（2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为。
【变式训练2】．（2020届山西省大同市第一中学高三一模）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，基本事件总数，
其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个，
其和等于的概率。
【变式训练3】．（2020·无锡市新一才智教育培训中心有限公司高二月考）一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，设此时盒中旧球个数为X，的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据题意可知是盒中旧球的个数随机变量，要求的概率，由此可知取出的三个球必为2个新球1个旧球，结合题中已知条件，即可得到答案.
【详解】
从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球的个数，即旧球的个数增加了2个，
所以，取出的3个球必为2个新球1个旧球，
所以，.
故选：A.
重难点02
与其他知识交汇的古典概型
例2．（2020届河南省郑州市高三第二次质量预测）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则直线与圆有公共点的概率为________.
【答案】
【解析】
将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数得种结果，由直线与圆有公共点可得，故满足的结果有种，由古典概型的计算公式可得：直线与圆有公共点的概率为，应填答案。
【变式训练1】．（广东广雅中学2019届模拟）设平面向量a＝(m，1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1，2，3，4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】有序数对(m，n)的所有可能情况为4×4＝16个，由a⊥(a－b)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2.由于m，n∈{1，2，3，4}，故事件A包含的基本事件为(2，1)和(3，4)，共2个，所以P(A)＝＝.
【变式训练2】．（福建三明一中2019届模拟）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________.
【答案】
【解析】依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有6×6＝36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤，即a≤b的数组(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，…，(6，6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率为＝.
【变式训练3】．（2021·全国高三专题练习）琵琶?二胡?编钟?箫笛?瑟?琴?埙?笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶?二胡?编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先求出全部的结果总数为，再求出琵琶?二胡?编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的基本事件总数为，再利用古典概型的概率求解.
【详解】
从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为；
从除琵琶?二胡?编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的个空中挑个插入琵琶?二胡?编钟三种乐器，有种情况，故琵琶?二胡?编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为：；
所求的概率，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法包括：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
【变式训练4】．（2021·全国高三月考（理））已知江大爷养了一些鸡和兔子，晚上关在同一间房子里，数了一下共有7个头，20只脚，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题意得共有鸡只，兔子只，再根据相邻问题捆绑与不相邻问题插空法计数，根据古典概型计算概率.
【详解】
设鸡的个数为,兔子的个数为，则，解得：
故共有鸡只，兔子只，
故只鸡，
只兔子走出房门，共有种不同的方案，
其中恰有2只兔子相邻走出房子共有：种，
故恰有2只兔子相邻走出房子的概率为：.
故选：D.
【点睛】
本题考查相邻问题捆绑法和不相邻问题插空法，考查运算求解能力，是中档题.
方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
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