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专题12.3
几何概型
一、考纲要求
1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；
2.了解几何概型的意义.
二、考情分析
三、考点梳理
知识点一
几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.
知识点二
几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.
知识点三
几何概型的概率公式
P(A)＝.
四、题型分析
重难点01
与长度有关的几何概型
例3．（2020届湖南省岳阳市高三第二次教学质量检测）在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为圆心，半径，直线与圆相交，所以
，解得
所以相交的概率，故选C。
【变式训练1】．（吉林省四平一中2019届期中）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由－1≤log≤1，得≤x＋≤2，解得0≤x≤，所以事件“－1≤log≤1”发生的概率为＝.
重难点02
与面积有关的几何概型
例4．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三二联）一个陶瓷圆盘的半径为，中间有一个边长为的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率的值为（精确到0.001）（
）
A．3.132
B．3.137
C．3.142
D．3.147
【答案】B
【解析】
如图，由几何概型公式可知：，故选B。
【变式训练1】．（2020届河南省驻马店市高三第二次模拟）设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则取自的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
作出中在圆内部的区域，如图所示，因为直线，的倾斜角分别为，，
所以由图可得取自的概率为，故选B。
【变式训练2】．（2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第一次调研）如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（
）
A．20
B．27
C．54
D．64
【答案】B
【解析】设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，
则，解得：。
重难点03
与体积有关的几何概型
例5.
（云南省丽江一中2019届模拟）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________.
【答案】
【解析】因为VA－A1BD＝VA1－ABD＝AA1×S△ABD＝×AA1×S矩形ABCD＝V长方体，故所求概率为
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精品试卷·第
2
页
（共
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几何概型
一、考纲要求
1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；
2.了解几何概型的意义.
二、考情分析
三、考点梳理
知识点一
几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.
知识点二
几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.
知识点三
几何概型的概率公式
P(A)＝.
四、题型分析
重难点01
与长度有关的几何概型
例3．（2020届湖南省岳阳市高三第二次教学质量检测）在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．（吉林省四平一中2019届期中）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
重难点02
与面积有关的几何概型
例4．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三二联）一个陶瓷圆盘的半径为，中间有一个边长为的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率的值为（精确到0.001）（
）
A．3.132
B．3.137
C．3.142
D．3.147
【变式训练1】．（2020届河南省驻马店市高三第二次模拟）设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则取自的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】．（2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第一次调研）如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（
）
A．20
B．27
C．54
D．64
重难点03
与体积有关的几何概型
例5.
（云南省丽江一中2019届模拟）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________.
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